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周二
( π) (π )
1.(2024·临沂模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ) |φ|< 图象的一个对称中心为 ，0 ，则( )
2 6
[ π π]
A.f(x)在区间 - ， 上单调递增
8 3
5π
B.直线x= 是f(x)图象的一条对称轴
6
[ π π] [ √3]
C.f(x)在 - ， 上的值域为 -1，
6 4 2
5π
D.将f(x)图象上的所有点向左平移 个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
12
答案 D
π
解析 由题意可得2× +φ=kπ(k∈Z)，
6
π
解得φ=- +kπ(k∈Z)，
3
π π
又|φ|< ，故φ=- ，
2 3
( π)
即f(x)=sin 2x- .
3
[ π π]
对于A，当x∈ - ， 时，
8 3
π [ 7π π]
2x- ∈ - ， ，
3 12 3
[ 7π π]
由函数y=sin x在 - ， 上不单调，
12 3
[ π π]
故f(x)在区间 - ， 上不单调，故A错误；
8 3
5π π 4π
对于B，当x= 时，2x- = ，
6 3 3
4π
由直线x= 不是函数y=sin x图象的对称轴，
3
5π
故直线x= 不是f(x)图象的对称轴，故B错误；
6
[ π π]
对于C，当x∈ - ， 时，
6 4π [ 2π π]
2x- ∈ - ， ，
3 3 6
[ 1]
则f(x)∈ -1， ，故C错误；
2
5π
对于D，将f(x)图象上的所有点向左平移 个单位长度后，
12
( 5π π) ( π)
可得y=sin 2x+2× - =sin 2x+ =cos 2x，
12 3 2
该函数图象关于y轴对称，故D正确.
2.(2024·福州质检)若直线y=ax+b与曲线y=ex相切，则a+b的取值范围为( )
A.(-∞，e] B.[2，e]
C.[e，+∞) D.[2，+∞)
答案 A
解析 对于y=ex，有y'=ex，令切点坐标为(m，em)，则切线方程为y=em(x-m)+em，
即y=emx+(1-m)em，即有a+b=em+(1-m)em=(2-m)em.
令f(x)=(2-x)ex，则f'(x)=(1-x)ex，
当x<1时，f'(x)>0，当x>1时，f'(x)<0，
故f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
故f(x)≤f(1)=(2-1)e1=e.
又当x趋向于正无穷大时，f(x)趋向于负无穷大，
故f(x)∈(-∞，e]，即a+b的取值范围为(-∞，e].
3.(多选)(2024·菏泽模拟)已知复数z满足|z+i2-i3|=|z|，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A.x-y-1=0
B.x+y+1=0
√2
C.|z|的最小值为
2
1
D.|z|的最小值为
2
答案 AC
解析 由题意可得z=x+yi(x，y∈R)，
则|z+i2-i3|=|x+yi-1+i|=|x-1+(y+1)i|=|x+yi|，
所以√(x-1) 2+(y+1) 2=√x2+ y2，
整理得x-y-1=0，故A项正确，B项错误；
|z|=√x2+ y2=√x2+(x-1) 2=√2x2-2x+1= √ 2 ( x- 1) 2 + 1 ，
2 21 √2
当x= 时，|z|取得最小值 ，
2 2
故C项正确，D项错误.
4.(2024·浙江五校联考)已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将△ABC绕点O逆时针旋转θ角
( 2π) 2√6
0<θ< ，然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至△A'B'C'，使得两三角形所在平面的距离为 ，
3 3
连接AA'，AC'，BA'，BB'，CB'，CC'，得到八面体ABCA'B'C'，则该八面体体积的取值范围为
.
( 8√2]
答案 2√2，
3
解析 先证明一个引理：如图所示，在三棱柱ABC-A B C 中，A C =AB=a，∠C A B =∠CAB=α，三棱柱
1 1 1 1 1 1 1 1
ABC-A B C 的高为h，
1 1 1
1
则三棱锥的体积为V = a2hsin α.
C 1 A 1 -AB 6
引理的证明如下：
1 1
V =V = V = (V -V )
三棱锥C 1 A 1 -AB 三棱锥C 1 -A 1 AB 2 四棱锥C 1 -A 1 ABB 1 2 三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 三棱锥C 1 -ABC
1( 1 )
= V - V
2 三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 3 三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1
1
= V
3 三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1
=
1
·
(1 a2sinα )
h
3 2
1
= a2hsin α，引理得证.
6事实上，上述引理等价于，若三棱锥C -A AB满足A C =AB=a，异面直线C A ，AB所成的角为α，且异面
1 1 1 1 1 1
1
直线C A ，AB之间的距离为h，则三棱锥的体积为V = a2hsin α.
1 1 三棱锥C 1 A 1 -AB 6
从而由上述引理有V =V +V +V +V
八面体ABCA'B'C' 三棱锥A'-ABC 三棱锥C-A'B'C' 三棱锥A'B'-BC 三棱锥A'C'-AC
1 √3 2√6 1 ( π) 2√6 1 2√6
= × ×22× ×2+ ×2×2×sin θ+ × + ×2×2×sin θ×
3 4 3 6 3 3 6 3
4√2[ √3 ( π) √3 ]
= 1+ sin θ+ + sinθ
3 3 3 3
4√2( √3 1 )
= 1+ sinθ+ cosθ
3 2 2
4√2[ ( π)]
= 1+sin θ+ .
3 6
2π π π 5π
若0<θ< ，则 <θ+ < ，
3 6 6 6
( π) (1 ]
从而sin θ+ 的取值范围是 ，1 ，
6 2
4√2[ ( π)] ( 8√2]
V = 1+sin θ+ 的取值范围是 2√2， .
八面体ABCA'B'C' 3 6 3
x2
5.(2024·杭州质检)已知A，B是椭圆E： +y2=1的左、右顶点，点M(m，0)(m>0)与椭圆上的点的距离的最
4
小值为1.
(1)求点M的坐标；
(2)过点M作直线l交椭圆E于C，D两点(与A，B不重合)，连接AC，BD并延长交于点G.
①证明：点G在定直线上；
②是否存在点G使得CG⊥DG，若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.
(1)解 设P(x ，y )是椭圆上一点，
0 0
x2
则
0+y2
=1，
4 0
因为|PM|=√(m-x ) 2+ y2
0 0
√3
= x2-2mx +m2+1
4 0 0
= √3( x - 4 m ) 2 - 1 m2+1(-2≤x ≤2)，
4 0 3 3 0
3 4
①若0 ，则 m>2，当x =2时，|PM|有最小值，
2 3 0
√3
|PM| = ×4-4m+m2+1=1，
min
4
解得m=1(舍去)或m=3，
所以点M的坐标为(3，0).
(2)①证明 由题意知直线l的斜率不为0，
设直线l：x=ty+3，C(x ，y )，D(x ，y )，
1 1 2 2
由题意知，x ，x ≠±2，y ，y ≠0.
1 2 1 2
{
x=ty+3,
由
x2
+ y2=1,
4
得(t2+4)y2+6ty+5=0，
由Δ=16t2-80>0，得t>√5或t<-√5，
6t 5
所以y +y =- ，y y = ，
1 2 t2+4 1 2 t2+4
6
所以y +y =- ty y . ①
1 2 5 1 2
由已知得A(-2，0)，B(2，0)，
y
1
所以直线AC的方程为y= (x+2)，②
x +2
1
y
2
直线BD的方程为y= (x-2)， ③
x -2
2
x+2 (x +2)y (t y +5)y t y y +5 y
联立②③，消去y，得 = 1 2 = 1 2 = 1 2 2 ， ④
x-2 (x -2)y (t y +1)y t y y + y
2 1 2 1 1 2 1
5
- (y + y )+5 y
x+2 6 1 2 2
联立①④，消去ty y ，则 = =-5，
1 2 x-2 5
- (y + y )+ y
6 1 2 1
4 4
解得x= ，即点G在直线x= 上.
3 3
②解 假设存在点G使得CG⊥DG，即AG⊥BG，由图可知，点G在以AB为直径的圆上.(4 ) (4) 2
设G ，n ，则 +n2=4，
3 3
2√5 (4 2√5)
所以n=± ，即G ，± .
3 3 3
√5
故直线AC的方程为y=± (x+2)，
5
将直线AC的方程与椭圆方程联立，得9x2+16x-4=0，因为x =-2，
A
4 ( 1) 2
所以x =- × - = ，
1 9 2 9
4√5
所以y =± ，
1 9
4√5
又M(3，0)，则k=k =± .
l MC 25
4√5
所以存在点G使得CG⊥DG，直线l的斜率为± .
25
