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周三
1.(2024·福州质检)设函数f(x)=3|a-2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是( )
A.(-∞，2] B.(-∞，4]
C.[2，+∞) D.[4，+∞)
答案 D
解析 函数y=3x在R上单调递增，而函数f(x)=3|a-2x|在区间(1，2)上单调递减，所以y=|2x-a|在区间(1，2)上
a
单调递减，所以 ≥2，解得a≥4.
2
2.(2024·衡水模拟)已知正数a，b，c满足ea=1.13，5b2+10b-3=0，ec=1.3，则( )
A.a-1，
2
-x2
显然f'(x)= ≤0，
x+1
故f(x)是减函数，又f(0)=0，故当x>0时，f(x)<0，
1
所以ln(x+1)>x- x2，x>0.
2
1 1 x3
再令g(x)=x- x2+ x3-ln(x+1)，x>-1，g'(x)= ，当x>0时，g'(x)>0，
2 3 1+x
故g(x)在(0，+∞)上单调递增，又g(0)=0，
故当x>0时，g(x)>0，
1 1
所以ln(x+1)0.
2 3
1 1
则c=ln 1.3=ln(1+0.3)<0.3- ×0.09+ ×0.027=0.264，
2 3
( 1 )
a=3ln 1.1>3× 0.1- ×0.01 =0.285，
2
所以(a+1)2>(1+0.285)2=1.651 225，
8
(b+1)2= =1.6，
5
(c+1)2<(1+0.264)2=1.597 696，故(a+1)2>(b+1)2>(c+1)2，
因为a，b，c都是正数，所以a>b>c.
3.(多选)(2024·海口模拟)已知☉C：(x-4)2+y2=4，A，B是☉C上的两个动点，且|AB|=2√3.设A(x ，y )，
1 1
B(x ，y )，线段AB的中点为M，则( )
2 2
π
A.∠ACB=
3
B.点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=1
C.x x +y y 的最小值为6
1 2 1 2
D.|x -y +1|+|x -y +1|的最大值为10+√2
1 1 2 2
答案 BC
解析 A选项，由题意得C(4，0)，半径r=2，
( |AB| ) 2 |CM| 1
由垂径定理得CM⊥AB，则|CM|2+ =r2，解得|CM|=1，由于 = ，
2 r 2
π
则∠ACM=∠BCM= ，
3
2π
故∠ACB= ，A错误；
3
B选项，由A选项可得，|CM|=1，故点M的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆，
故点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=1，B正确；
C选项，由题意得⃗OA+⃗OB=2⃗OM，⃗OA-⃗OB=2⃗BM，
两式分别平方后相减得，⃗OA·⃗OB=|⃗OM|2-|⃗BM|2=|⃗OM|2-3，
其中⃗OA·⃗OB=x x +y y ，又点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=1，
1 2 1 2
所以|⃗OM|的最小值为|OC|-1=4-1=3，故x x +y y =|⃗OM|2-3的最小值为9-3=6，C正确；
1 2 1 2
|x - y +1|
1 1
D选项， 可看作点A到直线x-y+1=0的距离，
√2
|x - y +1|
2 2
同理， 可看作点B到直线x-y+1=0的距离，
√2
|x - y +1|+|x - y +1|
1 1 2 2
故 可看作点M到直线x-y+1=0的距离，
2√2
又点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=1，
故点M到直线x-y+1=0距离的最大值为圆心C到直线x-y+1=0的距离加上半径，
|4-0+1| 5√2
即 +1= +1，
√1+1 2|x - y +1|+|x - y +1| 5√2
故 1 1 2 2 ≤ +1，
2√2 2
所以|x -y +1|+|x -y +1|≤10+2√2，故最大值为10+2√2，D错误.
1 1 2 2
b
4.(2024·焦作模拟)已知数列{a }的前n项和S =n2-3n，b =a ·(√3) -a n，若 k是b ，b 的等差中项，则k=
n n n n 2 k+1 k+2
.
答案 3
解析 当n=1时，a =S =1-3=-2，
1 1
当n≥2时，a =S -S =n2-3n-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4，
n n n-1
显然a =-2也满足，故a =2n-4.
1 n
则b =a ·(√3) -a n=(2n-4)·(√3)-2n+4
n n
2n-4
=(2n-4)·3-n+2= ，
3n-2
b
因为 k 是b ，b 的等差中项，
2 k+1 k+2
所以b=b +b ，
k k+1 k+2
2k-4 2k-2 2k
即 = + ，
3k-2 3k-1 3k
2k-2 2k
则2k-4= + ，解得k=3.
3 9
5.(2024·邢台五岳联盟模拟)为建设“书香校园”，某学校图书馆对该校所有学生开放图书借阅，可借阅的
图书分为“期刊”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书
1
借阅，若前一次选择借阅“期刊”，则下次也选择借阅“期刊”的概率为 ，若前一次选择借阅“文献书
3
3
籍”，则下次选择借阅“期刊”的概率为 .
5
(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊”的次数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借阅哪类图书的可能性更大，并说明理由.
解 (1)设A表示第i次借阅“期刊”，A 表示第i次借阅“文献书籍”，i=1，2，
i i
1
则P(A )=P(A )= ，
1 1 2
1 3
P(A |A )= ，P(A |A )= .
2 1 3 2 1 5
依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.
P(X=0)=P(A A )=P(A )P(A |A )
1 2 1 2 1
1 ( 3) 1
= × 1- = ，
2 5 5P(X=1)=P(A A ∪A A )=P(A A )+P(A A )
1 2 1 2 1 2 1 2
=P(A )P(A |A )+P(A )P(A |A )
1 2 1 1 2 1
1 ( 1) 1 3 19
= × 1- + × = ，
2 3 2 5 30
P(X=2)=P(A A )=P(A )P(A |A )
1 2 1 2 1
1 1 1
= × = .
2 3 6
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
1 19 1
P
5 30 6
1 19 1 29
所以E(X)=0× +1× +2× = .
5 30 6 30
(2)若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊”的可能性更大.理由如下：
P(A )=P(A A )+P(A A )
2 1 2 1 2
=P(A )P(A |A )+P(A )P(A |A )
1 2 1 1 2 1
1 2 1 2 8
= × + × = .
2 3 2 5 15
若第一次借阅“期刊”，
P(A A )
则P(A |A )= 1 2
1 2 P(A )
2
1 2
×
P(A )P(A |A ) 2 3 5
1 2 1
= = = .
P(A ) 8 8
2
15
若第一次借阅“文献书籍”，
P(A A ) P(A )P(A |A )
则P(A |A )= 1 2 = 1 2 1
1 2 P(A ) P(A )
2 2
1 2
×
2 5 3
= = .
8 8
15
5 3
因为 > ，所以小明第一次选择借阅“期刊”的可能性更大.
8 8
