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第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ·考查复合函数的单调性及定义域)
已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
解析：选D ∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
2．(2020·全国卷Ⅱ·考查函数的单调性、奇偶性)
设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
解析：选D 由⇒x≠±，∴函数f(x)的定义域为，关于原点对称，
又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除
A、C；当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝－＝>0，∴f(x)在单调递增，排除B；
当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝－＝<0，∴f(x)在单调递减，∴D正确．
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查函数的性质及解不等式)
若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范
围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
解析：选D 法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.
当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；
当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显
然符合题意．
综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，不符合题意，排
除A、C.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅱ·考查由函数的奇偶性求解析式)
设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
解析：选D 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
5．(2019·全国卷Ⅲ·考查抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)
设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f>f>f
B．f>f>f
C．f>f>f
D．f>f>f
解析：选C 因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log 4)＝f(log 4)．
3 3
2 3
又因为log 4>1>2 >2 >0且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
3 3 2
3 2
所以f(2 >f(2 )>f.故选C.
2 3
6．(2020·江苏高考·考查由函数的奇偶性求值)
2
已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x ，则f(－8)的值是________．
3
2 2
解析：由函数f(x)是奇函数得f(－8)＝－f(8)＝－8 ＝－(23) ＝－4.
3 3
答案：－4
[把脉考情]
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调
区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
常规 2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇
角度 偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周
期性求值等
创新 函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇
角度 命题
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是( )
A. B.和[2，＋∞)C．(－∞，1]和 D.和[2，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝|x2－3x＋2|＝如图所示，函数的单调递增区间是和[2，
＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和.故选B.
(2)令u＝x2＋x－6，
则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是
增函数，
所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．
答案：(1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]
(3)法一：定义法
设－10，xx＋1>0，(x－1)·(x－1)>0.又a>0，∴f(x)－f(x)>0，
1 2 2 1 1 2 1 2
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：导数法
f′(x)＝
＝＝＝－.
∵a>0，x∈(－1,1)，∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写
图象法
出它的单调性
导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝，若a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
[解析] ∵f(x)＝，
∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，
又∵ln 2>0，－<0，ln <0，∴b>0，a<0，c<0.
又－＝－ln ，ln ＝－ln 3，且－ln >－ln 3，∴－>ln ，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴fa，∴b>c>a，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量
的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行
求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x－x)·[f(x )－f(x )]>0，x≠x，且f(a2－a)>f(2a－
1 2 1 2 1 2
2)，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[0,2)
C．[0,1) D．[－1,1)
[解析] 因为函数f(x)满足(x－x)[f(x )－f(x )]>0，x≠x，所以函数在[－2,2]上单调递增，
1 2 1 2 1 2
所以－2≤2a－20在[1,2]上恒成立．
∴解得4≤a<5，
∴实数a的取值范围为[4,5)．
(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋
1≤2，即a≤1或a≥4.[答案] (1)[4,5) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间
比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的
大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝－x2 B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
解析：选C 选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数
是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)
上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f()，b＝f(2)，c
＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．bg(1)，则x
的取值范围是( )
A．(0,10) B．(10，＋∞)
C. D.∪(10，＋∞)
解析：选C ∵g(－x)＝－f(|－x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lg x)>g(1)，∴g(|lg x|)>g(1)，∴|lg x|<1，∴0成立，则实数a的取值范围为________．
1 2
解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不
高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得a∈[4,8)．答案：[4,8)
题型二 函数最值的求法
[典例] (1)函数f(x)＝x－log (x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
2
(2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2－的最小值为________．
[解析] (1)(单调性法)由于y＝x在R上单调递减，y＝log (x＋2)在[－1,1]上单调递增，
2
所以f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(2)(利用单调性和基本不等式求解)因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调
递增，所以当x≤1时，f(x) ＝f(0)＝0.
min
当x>1时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，此时f(x) ＝2－6.
min
又2－6<0，所以f(x) ＝2－6.
min
(3)(换元法)令＝t，t≥1，则x2＝t2－1，
∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1)．
∵y＝2t2－t－2(t≥1)的对称轴t＝，
∴y ＝2×12－1－2＝－1，
min
∴函数f(x)的最小值为－1.
[答案] (1)3 (2)2－6 (3)－1
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法
结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立
的条件．
[针对训练]
1．(单调性法)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，所以
即所以所以a＋b＝6.
答案：6
2．(换元法)函数f(x)＝x－的最小值为________．
解析：令＝t(t≥0)，则x＝t2－1，所以y＝t2－t－1(t≥0)．又y＝t2－t－1(t≥0)的图象是对称轴
为直线t＝，开口向上的抛物线的一部分，所以y ＝2－－1＝－，故函数f(x)的最小值为－.
min
答案：－3．(分离常数法)当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
解析：由y＝，可得y＝－.∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，∴≤y≤3.∴所求函数的最小值为.
答案：
题型三 函数奇偶性的判断及应用
考法(一) 函数奇偶性的判断
[例1] (2021·广州名校联考)函数y＝x2lg的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[解析] 记f(x)＝x2lg，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)2lg＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg的图象关于原点对称．故选B.
[答案] B
[方法技巧] 函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，
1 2
偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二) 函数奇偶性的应用
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log (x＋2)－1，则 f(－6)
2
＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[解析] (1)根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log (6＋2)＝1－3log 2＝－2.故选C.
2 2
(2)函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得ln＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e2ax＋3x＝1，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
[答案] (1)C (2)－
[方法技巧] 利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值 将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性
求解析式
的定义求出
求解析式 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，
中的参数 由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象 利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值 利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值
[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选ABC ∵f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．易知A、B、C正确．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．
2．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：选C f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)的定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－
g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x) ＋g(x) ＝0.因为M＝f(x) ＝2＋g(x) ，m＝f(x) ＝2
max min max max min
＋g(x) ，所以M＋m＝2＋g(x) ＋2＋g(x) ＝4.
min max min
3．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
解析：由f(－1)＝－f(1)得＝－，解得k＝±1.经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数．
答案：±1
题型四 函数周期性的判断及应用
[典例] (1)(2021·湖南六校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当
x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log x，则f(2 020)＝( )
2
A．5 B.
C．2 D．－5
(2)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
[解析] (1)由f(x)＝－f(x＋2)，
得f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)＝－f(0＋2)
＝－(22＋log 2)＝－5.
2
(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函数f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos ＝.
[答案] (1)D (2)
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函
数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要
注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
解析：选ABC 因为f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)关于(1,0)和(2,0)中心对称，所以
f(x)的周期为2，所以f(x)的对称中心为(k,0)(k∈Z)，所以f(x)为奇函数．因为周期为2，所以
f(x＋3)＝f(x＋1＋2)＝f(x＋1)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2)，所以f(x＋3)，f(x＋4)都为奇函
数，故选A、B、C.
2．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log x＋1，则f(2 021)的值为( )
2
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 因为f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，又2 021＝
2×1 010＋1，且x∈[1，3)时，f(x)＝log x＋1，因此f(2 021)＝f(1)＝1.
2
3．(2021·重庆八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，
f(x)＝x，则f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x解析：选B 对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln
＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)
＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜
f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f，
所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确
的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数
D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：选CD ∵f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误．
对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误．
对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确．
对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
解析：选D 因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续
的曲线．
因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，
当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，
所以函数f(x)是定义在R上的增函数．
因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，
即x2＋x－2<0，解得－21.
所以a的取值范围是(1，＋∞)．
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)6的
2 020
解集为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：选A ∵函数y ＝2 020x－2 020－x为奇函数，函数y ＝log (＋x)为奇函数，∴函数
1 2 2 020
g(x)＝2 020x－2 020－x＋log (＋x)为奇函数且在R上单调递增，∴f(1－2x)＋f(x)>6，即g(1
2 020
－2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x－1)，∴x>2x－1，∴x<1，∴不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解
集为(－∞，1)．
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
解析：选D 由函数f(x)为奇函数可知f(－x)＝－f(x)，因此<0可化为
不等式<0，故有或再由f(2)＝0，可得f(－2)＝0，由函数f(x)在(0，＋∞)
上为增函数，可得函数f(x)在(－∞，0)上也为增函数，结合函数f(x)的
单调性，作出示意图可得，所求不等式的解集为{x|－20且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x0，x－x<0，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)<0，即f(x)0，x－x>0，所以要使f(x)－f(x)>0，
2 1 1 2
只需(x－a)(x－a)>0恒成立，
1 2
所以a≤1.故a的取值范围为(0,1]．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0,2)时，－1≤f(x)<0；
当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4；
当－10且方程ax2＋bx＋1＝0中Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，
∴a＝1.
从而b＝2，f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
