文档内容
第五节 对数与对数函数
核心素养立意下的命题导向
1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．
2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素
养．
3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和
数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．对数
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记
概念 作x＝log N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log N叫做对
a a
数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x ＝ log N
a
性质
log 1＝0，log a＝1，alog N＝N
a a a
log (M·N)＝log M ＋ log N
a a a
运算
log ＝log M － log N a>0，且a≠1，M>0，N>0
a a a
法则
log Mn＝ n log M(n∈R)
a a
换底
log b＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
a
公式
2．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
当00
在区间(0，＋∞)上是增函数 在区间(0，＋∞)上是减函数
3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，
如图，00且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于
a
直线 y ＝ x 对称．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
log 3 1
1．(对数式的计算)计算：2 1 ＋lg 8＋lg 25＋ ＝________.
2 2
答案：5
2．(换底公式的应用)log 25·log 4·log 9＝________.
2 3 5
答案：8
3．(对数函数图象过定点问题)已知函数y＝log (x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标
a
是________．
答案：(4，－1)
4．(对数函数的定义域)函数y＝的定义域为________．
答案：[2，＋∞)
5．(对数型函数的单调性)函数y＝log1 (3x－1)的单调递减区间为________．
2
答案：
二、易错点练清
1．(对数的运算性质不熟悉)有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝
10；④若 log 2＝x，则 x＝1；⑤若 log n·log m＝2，则 n＝9.其中正确结论的序号是
2 m 3
____________．
答案：①②③④⑤
2．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
答案：4
3．(忽视对底数的讨论)若函数y＝log x(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a
a
＝________.
答案：2或考点一 对数式的化简与求值
[典例] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设alog 4＝2，则4－a＝( )
3
A. B.
C. D．
(2)计算下列各式的值：
①log 35＋2log1 －log －log 14；
5 5 5
2
②[(1－log 3)2＋log 2·log 18]÷log4.
6 6 6 6
[解析] (1)选B 因为alog 4＝2，所以log 4a＝2，
3 3
则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
1
(2)①原式＝log 35＋log 50－log 14＋2log1 2
5 5 5 2
2
＝log ＋log1 2＝log 53－1＝2.
5 5
2
②原式＝[(log 6－log 3)2＋log 2×log (2×32)]÷log4
6 6 6 6 6
＝÷log22
6
＝[(log 2)2＋(log 2)2＋2log 2×log 3]÷2log2
6 6 6 6 6
＝log 2＋log 3＝log (2×3)＝1.
6 6 6
[方法技巧]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变
形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
[针对训练]
1．(多选)(2021·山东临沂期末)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
解析：选ACD 由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故
A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg，∵lg 10＝1>lg>lg 6，∴1>b－a>lg 6，故B错误，D正确；ab＝
4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确．故选A、C、D.
2．计算：＝________.
解析：原式＝
＝＝＝＝＝1.
答案：1
3．已知log 3＝a,3b＝7，则log 2的值为________．
2 3
解析：由题意3b＝7，所以log 7＝b.
3
所以log 2＝log＝＝＝＝.
3
答案：
考点二 对数函数的图象及应用
考法(一) 对数函数图象的辨析
[例1] (2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝log (a>0，且a≠1)的图象可能是
a
( )
[解析] 法一：当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，
函数y＝log 的图象过定点，在上单调递增．
a
显然A、B、C、D四个选项都不符合．
当01或01 时不满足条件，当
a
0，所
a
以a的取值范围为.
[答案] B[方法技巧]
与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应
用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题．
[针对训练]
1．(2021·岳阳模拟)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝log x的图象可能是(
a
)
解析：选A 易知g(x)的图象过点(1,0)．若00)单调递增，且递增趋势
越来越慢，函数g(x)＝log x单调递减．显然四个选项不满足条件．
a
若a>1，则函数g(x)＝log x单调递增，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增且递增趋势越来越快，显然
a
只有选项A满足条件．故选A.
2．(2021·宜昌五校联考)已知函数f(x)＝|ln x|.若0g(1)＝5.
3．已知函数f(x)＝|log1 x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
2
解析：作出f(x)＝|log1 x|的图象(如图)，可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意
2
结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
考点三 对数函数的性质及应用
考法(一) 与对数函数有关的函数定义域问题
[例1] 若函数y＝log (mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
2
A．(0,3) B．[0,3)
C．(0,3] D．[0,3]
[解析] 由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解
得00，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0
a
讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．
考法(二) 与对数函数有关的比较大小问题
[例2] (1)(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log 0.8，则a，b，c的大小关系为( )
0.7
A．a30.7＝a>30＝1，所以c1进
行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
考法(四) 对数函数性质的综合问题
[例4] 已知函数f(x)＝log (3－ax)．
a
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存
在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解] (1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.
又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，
所以3－2a>0，所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以y＝log t为增函数，
a
所以a>1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log (3－a)，
a
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
[方法技巧]
解决对数函数性质的综合问题的3个注意点
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上
进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[针对训练]
1．(多选)设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝对称
解析：选AD ∵x2－x＋1＝2＋>0恒成立，
∴函数的定义域为R，A正确．
函数y＝ln(x2－x＋1)在x>时是增函数，在x<时是减函数，B错误．
由x2－x＋1＝2＋≥可得y＝ln(x2－x＋1)≥ln，∴函数的值域为，C错误．
易知函数的图象关于直线x＝对称，D正确．故选A、D.
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log 3，b＝log 5，c＝log 8，则( )
5 8 13
A．a0 时，f(x)>f(0)＝0，当 x>x>0 时，
1 2
f(x)>f(x)>0，∴xf(x)>xf(x)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，
1 2 1 1 2 2
∴a＝g(－log 5.1)＝g(log 5.1)．∵20的实数a的取值范围是________．
解析：当x≥0时，f(x)＝log (x＋1)，
2
则f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且f(15)＝log (15＋1)＝4.
2
又函数f(x)为奇函数，且函数f(x)是R上的连续函数，
则f(x)在R上为增函数．
因为f(a－2a2)＋4>0，即f(a－2a2)>－4，
所以f(a－2a2)>f(－15)，即a－2a2>－15，解得－1时，y＝log x为增
a a a a
函数，得a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．答案：∪(1，＋∞)创新思维角度——融会贯通学妙法
指数式、对数式比大小
类型(一) 利用指数函数、对数函数的图象与性质比较大小
比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，
要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用．
[例1] 设a＝5－0.7，b＝log2 ，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是( )
3
A.a>b>c B．a>c>b
C.b>c>a D．b>a>c
[解析] 结合函数y＝5x，y＝log2 x，y＝lg x的图象易知0log2 ＝
3 3 3
1，c＝lg a>c.故选D.
[答案] D
[名师微点]
利用指数函数、对数函数的图象与性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”的大小关
系，以便比较大小．
1
[例2] 若a＝－0.3，b＝log 2，c＝e ，则( )
5 2
A.a1；结合对数函数y＝log x在(0，＋∞)上单调
5
1
递增可知b＝log 21，则x＝，y＝，z＝.因为k>1，所以lg k>0，所以2x－3y＝－＝＝>0，故2x>3y，
又2x－5z＝－＝＝<0，
故2x<5z.所以3y<2x<5z.
法二：作商法
令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，
则x＝，y＝，z＝.
因为＝×＝>1，所以2x>3y，
又＝×＝>1，所以5z>2x.
所以5z>2x>3y.
法三：中间值法
令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝，y＝，z＝.
所以3y＝，2x＝，5z＝.
因为＝>＝，＝>＝，
所以lg>lg>lg>0.
又k>1，所以lg k>0，
所以3y<2x<5z.
法四：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log 5，y＝log 5，所以2x＝log 253y.
2 2
综上可得，3y<2x<5z，故选A.
[答案] A
[名师微点]
本例可利用特例法或设元法求解，利用特例法，显得简洁、明了；关键根据对数换底公式，将
x，y，z写成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比较，也可借助中
间值比较大小．当然解题时也可直接取一个固定的k值．
[例4] 设x，y，z为正实数，且log x＝log y＝log z>0，则，，的大小关系不可能是( )
2 3 5
A.<< B．<<
C.＝＝ D．<<
[解析] 法一：取x＝2，则由log x＝log y＝log z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正
2 3 5
确．
取x＝4，则由log x＝log y＝log z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时选项A正确．
2 3 5
取x＝ ，则由log x＝log y＝log z得y＝，z＝，此时易知<<，此时选项D正确．
2 3 5
综上，利用排除法可知本题应选B.
法二：设log x＝log y＝log z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
2 3 5
所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.又易知k>0，接下来对k与1的大小关系加以讨论．
若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确．
若03k－1>5k－1，所以<<，所以选
项D有可能正确．
若k>1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1<3k－1<5k－1，所以<<，所以选项
A有可能正确．
综上，利用排除法可知选B.
[答案] B
[名师微点]
本例可取特例，在特例的基础上，结合排除法解答；也可借助设元变形，先将目标问题等价转
化为考查2k－1,3k－1,5k－1的大小，再对幂函数f(x)＝xk－1的单调性加以讨论分析．
[提醒] 幂函数y＝xa在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若a>0，则单调递增；②若a
＝0，则为常数函数；③若a<0，则单调递减．
一、基础练——练手感熟练度
1．log 9·log 2＋log ＋log (a>0，且a≠1)的值为( )
2 3 a a
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 原式＝2log 3×log 2＋log ＝2×1＋log a＝3.
2 3 a a
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D．
解析：选D 由log2 (2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒0且x≠0，解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，＋
2
∞)，故A正确；因为x＋≥2，所以f(x)≤－1，故B错误；因为f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)不是奇函数，故C错误；当x∈(0,1)时，y＝x＋单调递减，y＝log1 x也单调递减，故
2
f(x)在(0,1)上单调递增，故D正确．故选A、D.
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝log (2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，
a
则f(x)＝________.
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝log (2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α
a
＝，故幂函数为f(x)＝x.
答案：x
6．函数y＝log |x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
2
解析：作出函数y＝log x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log |x|
2 2
的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log |x＋1|的图
2
象(如图所示)．由图知，函数y＝log |x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，
2
单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数f(x)＝lg(＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f＝( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选A 由函数f(x)的解析式可得：
f(x)＋f(－x)＝lg(＋2x)＋2＋lg(－2x)＋2＝lg(1＋4x2－4x2)＋4＝4，
∴f(ln 2)＋f＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4.故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝(log x)2－log x2－3，则下列说法正确的是( )
2 2
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC A正确，f(4)＝(log 4)2－log 42－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log x＋1)
2 2 2
(log x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log x－
2 2
1)2－4(x＞0)，所以当log x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
2
3．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
解析：选A 由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－x＜2y－y.
设f(x)＝2x－x，则f(x)＜f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，
所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，
则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，
所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.
4．设函数f(x)＝log |x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(
a
)
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
5．(多选)(2021·青岛模拟)如果函数f(x)＝log |x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )
a
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选AD 由|x－1|＞0得，函数y＝log |x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则
a
g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以
f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝log |x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞1，
a
所以f(x)＝log |x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝log |－x－1|
a a
＝log |x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选A、D.
a
6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog .它表示：在受噪声干扰的信道中，
2
最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功
率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至
2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
解析：选A 将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了＝≈≈10%，故选A.
7．已知函数f(x)＝log (2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
a
A. B．
C. D．
解析：选A 当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以log (1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时
a
无解．综上所述，实数a的取值范围是.
8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x－x2)的单调递增区
间为________．
解析：由题意得f(x)＝ln x(x>0)．则f(4x－x2)＝ln(4x－x2)，00，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取
a
值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得
a
f(x) ＝log (8－2a)>1，解得11在区间[1,2]
min a
上恒成立，得f(x) ＝log (8－a)>1，解得a>4，且00且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝
a
________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝log (－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)在[－
a
2,0]上单调递减，∴无解；当00时，f(x)＝log1 x.
2
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝log1 (－x)．
2
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以当x<0时，f(x)＝log1 (－x)，
2
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log1 4＝－2，f(x)是偶函数，
2
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<|x2－1|<4，解得－－2，
所以x∈(－，)．12．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x) ＝f(2)＝lg .
min
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x) ＝h(2)＝2.
max
故当a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
三、自选练——练高考区分度
1．已知正实数a，b，c满足a＝log a，b＝log b，c＝log1 c，则a，b，c的大小关系为( )
2 2
2
A．a
