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第八节 函数模型及其应用
核心素养立意下的命题导向
1.利用给出的具体函数模型解决实际问题，凸显数学运算的核心素养．
2．给出具体实际问题，借助所学基本初等函数的特点，建立恰当的函数模型解决实际问题，
凸显数学建模、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．几类常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种基本初等函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)上的
单调递增 单调递增 单调递增
单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大，逐渐表 随x的增大，逐渐表 随n值变化而各
图象的变化
现为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行 有不同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有log x0)型函数模型
[例3] 某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上
修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC
上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|
AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再
把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．
(1)试用x表示S，并求S的取值范围；
(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；
(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?
[解] (1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝ (30－
x)，
∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10,20]，
由x(30－x)≤2＝225，
可知当x＝15时，S取得最大值为225，
当x＝10或20时，S取得最小值为200，
∴S的取值范围为[200，225]．
(2)矩形AMPN健身场地造价T＝37k，
1
又∵△ABC的面积为450，
∴草坪造价T＝(450－S)．
2
∴总造价f(S)＝T＝T＋T＝25k，200≤S≤225.
1 2
(3)∵＋≥12，
当且仅当＝，即S＝216时等号成立，
此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.
故选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．
[方法技巧]
“y＝x＋(a>0)”型函数模型的求解策略
(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，
建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．
(2)求函数解析式时要先确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要
特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用
基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．
考法(四) 构建分段函数模型
[例4] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收
费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人
数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设每团人数为x，由题意得0，lg(100.7)＝0.7>lg 3，∴100.7>3，10－0.7<，∴<<.
3．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：
元)的函数解析式为q(x)＝当每件衣服的利润为多少元时，该服装厂所获效益最大？并求出
最大值．
解：设该服装厂所获效益为f(x)元，
则f(x)＝100xq(x)＝
当00，f(x)单调递增，
当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.
综上，当每件衣服的利润为80元时，该服装厂所获效益最大，且最大值为240 000元．
1．有一组实验数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝log x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
a
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log x＋b(a>1)
a
解析：选C 由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函数的
增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x>1时，y随x的增大而
增大，且增长速度越来越快．故选C.
2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第
四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的
是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log x＋100
2
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两
年生产总值的年平均增长率为( )
A. B．
C. D．－1
解析：选D 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝－
1，故选D.4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最
初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量
达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选CD 设经过n次过滤这种溶液的含量达到市场要求，则×n≤，即n≤，
两边取对数得nlg≤－lg 20，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7.4，故选C、D.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基
0
本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新
冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)
的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R ＝
0 0 0
3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
解析：选B ∵R ＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
0
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t)＝2I(t)，即e0.38t2＝2e0.38t1，
2 1
∴e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t－t)＝ln 2≈0.69，
2 1
解得t－t≈1.8，故选B.
2 1
6．(2021·安徽淮北月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有
“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推
广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优
方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机
场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把每个
人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽
检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能
需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，
若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分为2组，
选其中一组4人的样本混合检查……依此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过
检测的次数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
解析：选B 先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分为2
组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，
此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分为2组，选其中一组2人的样本混合检
查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这
组的2人中一人进行样本检查，若为阴性，则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此
时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B.
7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙
的距离分别是4 m和a m(00)，则y＝.当x＝10时，y＝＝2，所以m＝20.因为每月车载
1 1
货物的运费y 与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y＝nx，当x＝10
2 2
时，y＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y＋y＝＋≥ 2 ＝8，当且仅当＝，即
2 1 2
x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.
11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，
良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在测定遗
址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N
随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N·2(N 表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳
0 0
14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的
至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg
2≈0.30，lg 7≈0.85，lg 3≈0.48)
t
解析：∵N＝N·2 ，∴当t＝5 730时，N＝N·2－1＝N.∴经过5 730年后，碳14的质量变为
0 5730 0 0
原来的.
t
由题意可知2 >，
5730
t
两边同时取以2为底的对数得，log 2 >log ，
2 5730 2
∴>＝≈－1.2，∴t<6 876，
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．
答案： 6 876
12．已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入 R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数且
a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广
告费应为________．(用常数a表示)
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.
答案：
13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间
t(小时)的关系为P＝Pe－kt，P 为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污染物，
0 0
那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．解析：由题设可得(1－0.1)P＝Pe－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P＝Pe－kt，即
0 0 0 0
0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10.
答案：10
14.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形
温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地
面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝(x－
2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－
×＝1 808－≤1 808－2 ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S
取得最大值时，y＝＝45.
答案：45
15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围网”
养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度x(单
位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当480时，y>5，不满足条件②，故该函数模型不符合公司要求．
对于函数模型(ⅱ)y＝log x－2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①；
2
x＝100时，y ＝log 100－2＝2log 5<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②；
max 2 2
设h(x)＝log x－2－x，则h′(x)＝－，
2
又x∈[10,100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10,100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log 10－4<0，即f(x)≤恒成立，满足条件
2
③.
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log x－2符合公司要求．
2
