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周五
1.(2024·郑州模拟)已知数列{a }为等比数列，且a =1，a =16，设等差数列{b }的前n项和为S ，若b =a ，
n 1 9 n n 5 5
则S 等于( )
9
A.-36或36 B.-36
C.36 D.18
答案 C
解析 数列{a }为等比数列，设公比为q，且a =1，a =16，
n 1 9
a
9
则 =q8=16，则q4=4，
a
1
则b =a =a q4=4，
5 5 1
(b +b )×9
则S = 1 9 =9b =36.
9 2 5
2.(2024·新乡模拟)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分
得一本，则不同的分法有( )
A.248种 B.168种
C.360种 D.210种
答案 D
解析 根据题意进行分类，
第一类：甲、乙、丙每人分得2本，N
=C2C2C2
=15×6×1=90(种)；
1 6 4 2
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，N
=C2C1C3A2
=15×4×1×2=120(种).
2 6 4 3 2
所以由分类加法计数原理可得共有N=N +N =90+120=210(种)不同的分法.
1 2
3.(多选)(2024·邵阳联考)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)的导函数为g(x).若f(x)=4-f(x+2)，g(2x-1)为奇函数，
则下列说法正确的有( )
A.g(1)=0 B.f(2)=0
2024
C.f(2)=f(8) D. Σ f(i)=4 048
i=1
答案 ACD
解析 对于D，由f(x)+f(x+2)=4，
所以f(x+2)+f(x+4)=4，
即f(x)=f(x+4)，
所以y=f(x)的一个周期为4，
且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=[f(1)+f(3)]+[f(2)+f(4)]=8，2024 4
所以 Σ f(i)=506 Σ f(i)=4 048，故D正确；
i=1 i=1
对于A，由g(2x-1)为奇函数知g(x)关于(-1，0)对称，所以g(-1)=0，
由f(x)+f(x+2)=4得f'(x)+f'(x+2)=0，即g(x)+g(x+2)=0，
故g(x)的一个周期为4且g(-1)+g(1)=0，可得g(1)=0，故A正确；
对于B，C，因为g(x)的一个周期为4且g(x)关于(-1，0)对称，所以g(x)也关于(3，0)对称，
则有g(x)+g(6-x)=0，即f'(x)+f'(6-x)=0，所以f(x)-f(6-x)=c，
令x=3，得c=0，故f(x)-f(6-x)=0，所以f(x)关于x=3对称，
又f(2)+f(4)=4，所以f(2)=f(4)=2，故B错误；
又f(4)=f(8)，所以f(2)=f(8)，故C正确.
4.(2024·郑州模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=√2，b=4，ccos B+a=0，则c=
3π
，点D在线段AB上，且∠CDA= ，则CD= .
4
4√5
答案 √10
5
a2+c2-b2
解析 由余弦定理得c· +a=0，
2ac
即3a2+c2-b2=0，
∴c2=b2-3a2=16-6=10，
解得c=-√10(舍)或c=√10.
b2+c2-a2
在△ABC中，由余弦定理得cos A=
2bc
16+10-2 3√10
= = ，
8√10 10
√10
∴sin A=√1-cos2A= ，
10
4
b √10 4√5
在△ADC中，由正弦定理得CD= ·sin A=√2× = .
sin∠CDA 10 5
2
5.(2024·岳阳质检)已知A(-2，0)，B(2，0)，设动点Q满足直线AQ，BQ的斜率之积为4，记动点Q的轨迹
为曲线E.
(1)求曲线E的方程；(2)点P为直线x=-1上的动点，直线PA与曲线E交于点C(不同于点A)，直线PB与曲线E交于点D(不同于
点B).证明：直线CD过定点.
y y
(1)解 设Q(x，y)，则k = ，k = ，
AQ x+2 BQ x-2
y y y2
由k ·k = · = =4，
AQ BQ x+2 x-2 x2-4
x2 y2
整理得 - =1(x≠±2).
4 16
(2)证明 方法一 设P(-1，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，
0 1 1 2 2
y
则l ：y= 0 (x+2)=y (x+2)，
PC -1+2 0
{ y= y (x+2),
0
联立l 与曲线E的方程 x2 y2
PC - =1(x≠±2),
4 16
得(y2 -4)x2+4y2 x+4(y2 +4)=0且y2
-4≠0，
0 0 0 0
2(y2+4)
0
解得x =-2(舍去)或x =- ，
1 1 y2-4
0
2(y2+4)
0
将x =- 代入y=y (x+2)，
1 y2-4 0
0
[ 2(y2+4) ] -16 y
得y =y - 0 +2 = 0 ，
1 0 y2-4 y2-4
0 0
( 2(y2+4) -16 y )
所以C - 0 ， 0 ，其中y2 -4≠0.
y2-4 y2-4 0
0 0
(2(y2+36) -48 y )
同理，可解得D 0 ， 0 ，
y2-36 y2-36
0 0
其中y2
-36≠0.
0
2(y2+4) 2(y2+36)
当-
0
=
0 时，y2
=12，
y2-4 y2-36 0
0 0
2(y2+4) 2(y2+36)
0 0
此时- = =-4，
y2-4 y2-36
0 0
所以此时直线CD的方程为x=-4；
2(y2+4) 2(y2+36)
0 0
当- ≠ 时，
y2-4 y2-36
0 016 y
0
直线CD的方程为y+
y2-4
0
-48 y 16 y
0 + 0
y2-36 y2-4 [ 2(y2+4)]
=
0 0 x+ 0
2(y2+36) 2(y2+4) y2-4
0 + 0 0
y2-36 y2-4
0 0
-8 y [ 2(y2+4)]
= 0 x+ 0 ，
y2-12 y2-4
0 0
-8 y
0
整理得y= (x+4)，所以直线CD过定点(-4，0).
y2-12
0
方法二 设P(-1，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，
0 1 1 2 2
y y y y
则由P，A，C及P，B，D三点共线得 0 = 1 ， 0 = 2 ，
-1+2 x +2 -1-2 x -2
1 2
将上面两式相除，再平方可得
y2 (x -2) 2
9= 1 · 2 ， ①
(x +2) 2 y2
1 2
因为C(x ，y )，D(x ，y )均在曲线E上，
1 1 2 2
故满足y2 =4(x2 -4)，y2 =4(x2 -4)， ②
1 1 2 2
将②代入①可得
4(x2-4) (x -2) 2 x -2 x -2
1 2 1 2
9= · = · ，
(x +2) 2 4(x2-4) x +2 x +2
1 2 1 2
整理可得2x x +5(x +x )+8=0. ③
1 2 1 2
当直线CD的斜率存在时，设l ：y=kx+m，
CD
x2 y2
将直线CD的方程代入曲线E： - =1(x≠±2)得
4 16
(k2-4)x2+2kmx+m2+16=0且k2-4≠0，
-2km
由根与系数的关系得x +x = ，
1 2 k2-4
m2+16
x x = ，
1 2 k2-4
将上式代入③式可得m2-5km+4k2=0，
解得m=k(舍去)或m=4k，
故直线CD的方程为y=kx+4k=k(x+4)；
当直线CD垂直于x轴时，易求得此时CD的方程为x=-4，所以直线CD过定点(-4，0).
方法三 设P(-1，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，
0 1 1 2 2易知直线CD不垂直于y轴，所以设直线CD的方程为
x=my+t，
由P，A，C及P，B，D三点共线得
y
k =k = 0 =y ，
AC AP -1+2 0
y y
k =k = 0 =- 0，
BD BP -1-2 3
由上式可得k =-3k ，
AC BD
y y
1 2
即 =-3· ，
x +2 x -2
1 2
将x =my +t，x =my +t代入可得y (my +t-2)=-3y (my +t+2)， ①
1 1 2 2 1 2 2 1
因为C(x ，y )，D(x ，y )为曲线E上的点，
1 1 2 2
由(1)可知，k k =k k =4，
AC BC AD BD
y y
2 1
所以k =-3k ，即 =-3· ，
AD BC x +2 x -2
2 1
将x =my +t，x =my +t代入可得y (my +t-2)=-3y (my +t+2)， ②
1 1 2 2 2 1 1 2
①，②式相减可得(t+4)(y -y )=0，
1 2
又易知y ≠y ，所以t=-4，所以直线CD的方程为x=my-4，
1 2
故直线CD过定点(-4，0).
