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周六
1.(2024·沈阳联考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，
可得a2=b2，即|a|=|b|，
可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|，
若a=b或a=-b，
可得|a|=|b|，即(a+b)·(a-b)=0，可知必要性成立；
若(a+b)·(a-b)=0，即|a|=|b|，无法得出a=b或a=-b，
例如a=(1，0)，b=(0，1)，满足|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，可知充分性不成立，
综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
2.(2024·南通调研)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限
的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为( )
√3 1
A. B.
2 2
√3 2
C. D.
3 3
答案 A
解析 根据题意可得抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程为x=-1，
则A(-1，0)，设直线MN的方程为y=k(x+1)，k>0，
{y=k(x+1),
联立
y2=4x,
可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0，
则Δ=(2k2-4)2-4k2·k2=-16(k-1)(k+1)>0，得-10，∴k= .
1 2 k2 3 2
1
3.(多选)(2024·辽宁重点中学协作体模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+ ，a为实数，下列说法正确的
x
是( )
A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值
B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点
C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立
( 2]
D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为 -∞，
e
答案 AC
解析 对于A，当a=1时，
1
f(x)=x-ln x，g(x)=ln x+ ，x>0，
x
1 x-1 1 1 x-1
f'(x)=1- = ，g'(x)= - = ，
x x x x2 x2
当01时，f'(x)>0，g'(x)>0，此时f(x)，g(x)均单调递增，
所以当x=1时，f(x)，g(x)均各自取到相应的极值，且f(1)=g(1)=1，
所以当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；
lnx
f(x)=ax-ln x=0 a= (x>0)，
x
1 ⇔ 1
g(x)=aln x+ =0 a=- (x>0，x≠1)，
x xlnx
lnx ⇔ 1-lnx
令u(x)= (x>0)，则u'(x)= ，
x x2
当00，u(x)单调递增，
当x>e时，u'(x)<0，u(x)单调递减，
当x→0时，u(x)→-∞，当x→+∞，u(x)→0，1
当x=e时，u(x)有极大值u(e)= ，
e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示，
1 lnx
所以当且仅当00)有两个根.
e x
1
令v(x)=- (x>0，x≠1)，
xlnx
lnx+1
则v'(x)= ，
x2ln2x
1
当00，v(x)单调递增，
e
当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，v(x)趋于负无穷，
当x>1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
e-t
令x=et，t→-∞，则x→0，v(x)=- →+∞，当x→+∞时，v(x)→0，
t
1 (1)
所以当x= 时，v(x)有极小值，v =e，
e e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示，
1
当且仅当a>e时，方程a=- (x>0，x≠1)有两个根.
xlnx
综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点，故B错误；
1
设F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-aln x- ，x∈[1，e]，a∈(0，1)，
x
F(1)=a-1<0<1，
1
F(e)=ae-ln e-aln e-
e
1 1
=a(e-1)-1- 1.
a
1 1
若1< 0，F(x)单调递增，
a
1
(1) 1 1 1
F =a· -ln -aln -1
a a a a
a
=1+(a+1)ln a-a≤F(x)≤max{F(1)，F(e)}<1，
1 1 1
所以当
