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周六
1.(2024·沈阳联考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0，
可得a2=b2，即|a|=|b|，
可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|，
若a=b或a=-b，
可得|a|=|b|，即(a+b)·(a-b)=0，可知必要性成立；
若(a+b)·(a-b)=0，即|a|=|b|，无法得出a=b或a=-b，
例如a=(1，0)，b=(0，1)，满足|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，可知充分性不成立，
综上所述，“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
2.(2024·南通调研)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限
的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为( )
√3 1
A. B.
2 2
√3 2
C. D.
3 3
答案 A
解析 根据题意可得抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程为x=-1，
则A(-1，0)，设直线MN的方程为y=k(x+1)，k>0，
{y=k(x+1),
联立
y2=4x,
可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0，
则Δ=(2k2-4)2-4k2·k2=-16(k-1)(k+1)>0，得-1<k<1，故0<k<1.4-2k2
设M(x ，y )，N(x ，y )，0<x <x ，x +x = ，x x =1，
1 1 2 2 2 1 1 2 k2 1 2
M到准线的距离为|MM'|，N到准线的距离为|NN'|，又|FM|=3|FN|，有|MM'|=3|NN'|，
即1+x =3(1+x )，得x =2+3x ，
1 2 1 2
∴x x =(2+3x )x =1，
1 2 2 2
1
又0<x <x ，解得x = ，x =3，
2 1 2 3 1
4-2k2 1 √3
∴x +x = =3+ ，又k>0，∴k= .
1 2 k2 3 2
1
3.(多选)(2024·辽宁重点中学协作体模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+ ，a为实数，下列说法正确的
x
是( )
A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值
B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点
C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立
( 2]
D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为 -∞，
e
答案 AC
解析 对于A，当a=1时，
1
f(x)=x-ln x，g(x)=ln x+ ，x>0，
x
1 x-1 1 1 x-1
f'(x)=1- = ，g'(x)= - = ，
x x x x2 x2
当0<x<1时，f'(x)<0，g'(x)<0，此时f(x)，g(x)均单调递减，
当x>1时，f'(x)>0，g'(x)>0，此时f(x)，g(x)均单调递增，
所以当x=1时，f(x)，g(x)均各自取到相应的极值，且f(1)=g(1)=1，
所以当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；
lnx
f(x)=ax-ln x=0 a= (x>0)，
x
1 ⇔ 1
g(x)=aln x+ =0 a=- (x>0，x≠1)，
x xlnx
lnx ⇔ 1-lnx
令u(x)= (x>0)，则u'(x)= ，
x x2
当0<x<e时，u'(x)>0，u(x)单调递增，
当x>e时，u'(x)<0，u(x)单调递减，
当x→0时，u(x)→-∞，当x→+∞，u(x)→0，1
当x=e时，u(x)有极大值u(e)= ，
e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示，
1 lnx
所以当且仅当0<a< 时，方程a= (x>0)有两个根.
e x
1
令v(x)=- (x>0，x≠1)，
xlnx
lnx+1
则v'(x)= ，
x2ln2x
1
当0<x< 时，v'(x)<0，v(x)单调递减，
e
1
当 <x<1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
e
当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，v(x)趋于负无穷，
当x>1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
e-t
令x=et，t→-∞，则x→0，v(x)=- →+∞，当x→+∞时，v(x)→0，
t
1 (1)
所以当x= 时，v(x)有极小值，v =e，
e e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示，
1
当且仅当a>e时，方程a=- (x>0，x≠1)有两个根.
xlnx
综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点，故B错误；
1
设F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-aln x- ，x∈[1，e]，a∈(0，1)，
x
F(1)=a-1<0<1，
1
F(e)=ae-ln e-aln e-
e
1 1
=a(e-1)-1- <e-1-1-
e e1
=e-2- <1，
e
a+1 1 ax2-(a+1)x+1
F'(x)=a- + =
x x2 x2
(x-1)(ax-1)
= ，
x2
1
当x∈[1，e]，a∈(0，1)时，显然 >1.
a
1 1
若1< <e，即 <a<1，
a e
1
当1<x< 时，F'(x)<0，F(x)单调递减，
a
1
当 <x<e时，F'(x)>0，F(x)单调递增，
a
1
(1) 1 1 1
F =a· -ln -aln -1
a a a a
a
=1+(a+1)ln a-a≤F(x)≤max{F(1)，F(e)}<1，
1 1 1
所以当 <a<1时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立；若 ≥e，即0<a≤ ，
e a e
当1<x<e时，F'(x)<0，F(x)单调递减，
所以F(x)<F(1)<0<1，
1
所以当0<a≤ 时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，
e
综上所述，当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，故C正确；
对于D，若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，
(x-1)(ax-1)
则F'(x)= ≤0对x∈[1，e]恒成立，
x2
1
即ax-1≤0对x∈[1，e]恒成立，即a≤ 对x∈[1，e]恒成立，
x
1 1 ( 1]
又y= 在[1，e]上单调递减，所以a≤ ，所以a的取值范围为 -∞， ，故D错误.
x e e
4.(2024·浙江精诚联盟联考)某工厂生产的一批零件的使用寿命X(单位：年)近似服从正态分布N(80，δ2).若
2
P(60≤X≤100)= ，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60年的概率是 .
3
1
答案
6
2 1 ( 2) 1
解析 由P(60≤X≤100)= ，X服从正态分布N(80，δ2)，故P(X<60)= × 1- = .
3 2 3 65.(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B.
(1)证明：a2-b2=bc；
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？
(1)证明 因为sin B+sin C=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
a2+c2-b2
再由余弦定理得b+c=2a· ，
2ac
整理得a2-b2=bc.
(2)解 因为∠ABC，∠CBD互补，
所以cos∠ABC+cos∠CBD=0，
结合余弦定理可得
a2+c2-b2 a2+BD2-CD2
+ =0，
2ac 2a·BD
因为c=AB=3，BD=1，
a2+9-b2 a2+1-CD2
则 + =0，
3 1
整理得4a2-b2+12-3CD2=0，
又a2=b2+bc=b2+3b，
4 1
则CD2= a2- b2+4
3 3
4 1
= (b2+3b)- b2+4=b2+4b+4=(b+2)2，
3 3
从而CD=b+2，
故CD-CA=2为定值.
