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第八周
周一
1.(2024·厦门质检)已知集合P={x∈Z|-20)的左、右焦点，M是双曲线C右支
1 2 4 b2
上的一个动点，且|M F |2 -|M F |2的最小值是8√6，则双曲线C的渐近线方程为( )
1 2
1
A.y=± x B.y=±√2x
2
√2 √3
C.y=± x D.y=± x
2 2
3.(多选)(2024·云南333联考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y满足f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)
+yf(x)，下列说法正确的是( )
A.若f(x)为一次函数，则f(0)=0
B.若f(x)为一次函数，则f(1)=1
C.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(-1)=-1
D.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(1)=1
4.(2024·葫芦岛模拟)甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少
有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是 .
5.(2024·承德模拟)如图1，在Rt△APB中，∠APB=90°，点C为PB的中点，PA=PC=1，取AC的中点D，
连接PD，BD，现把△APC沿着AC翻折，形成三棱锥P-ABC如图2所示，此时PB=√3，取BC的中点
E，连接PE，DE，记平面PAB和平面PDE的交线为l，Q为l上异于点P的一点.
(1)求证：PD⊥平面ABC；
√10
(2)若直线AQ与平面PDB所成角的正弦值为 ，求PQ的长度.
15答案精析
1.D 2.C 3.BCD
1
4.
3
解析 4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，由分步乘
法计数原理，将4人分成3组，再全排，共有C2A3
=36(种)方法，
4 3
甲不单独参加活动，且乙不参加A活动，乙从B，C两项活动选一项参加有C1
种，除甲、乙外两人在乙参
2
加外的两项活动中全排有A2 种，然后甲从A，B，C这三项活动选一项参加有C1
种，则由分步乘法计数原
2 3
理，共有C1A2C1
=2×2×3=12(种)方法，
2 2 3
12 1
则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是 = .
36 3
5.(1)证明 由题意知△ACP为等腰直角三角形，又点D为AC的中点，
1 √2 3π
所以PD= AC= ，∠ACB= ，PD⊥AC，
2 2 4
BC2+CD2-BD2
由cos∠BCA=
2BC·CD
2
1+
(√2)
-BD2
2 √2
= =- ，
√2 2
2×1×
2
√5
解得BD= ，
2
当PB=√3时，有PD2+BD2=PB2，即PD⊥BD，
而BD∩AC=D，BD，AC 平面ABC，故PD⊥平面ABC.
(2)解 以DA，DP所在直⊂线分别为x轴、z轴，过点D作平面PAC的垂线为y轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
(√2 )
则D(0，0，0)，A ，0，0 ，
2
( √2)
P 0，0， ，
2
BD2+CD2-BC2
又cos∠BDC=
2BD·CD2
5
+
(√2)
-12
2 2 2√5
= = ，
√10 √2 5
2× ×
2 2
√5
所以sin∠BDC=√1-cos2∠BDC= ，
5
所以x =-BDcos∠BDC
B
√10 2√5
=- × =-√2，
2 5
y =BDsin∠BDC
B
√10 √5 √2
= × = ，
2 5 2
( √2 )
所以B -√2， ，0 ，
2
( √2 √2)
于是⃗PB= -√2， ，- ，
2 2
⃗PD=
( √2)
0，0，- ，
2
设平面PDB的法向量为n=(x ，y ，z )，
0 0 0
{ ⃗PD·n=-
√2
z =0,
2 0
则
√2 √2
⃗PB·n=-√2x + y - z =0,
0 2 0 2 0
不妨取x =1，解得n=(1，2，0)，
0
设Q(x ，y ，z )，
1 1 1
( √2)
则⃗PQ= x ，y ，z - ，
1 1 1 2
( 3√2 √2 )
⃗AB= - ， ，0 ，
2 2
因为点E为BC的中点，点D为AC的中点，所以AB∥DE，
又AB⊄平面PDE，DE 平面PDE，所以AB∥平面PDE，
平面PAB和平面PDE的⊂交线为l，AB 平面PAB，所以AB∥l，又Q为l上异于点P的一点，
所以AB∥PQ，即⃗PQ与⃗AB共线，
⊂设⃗PQ=k⃗AB，
3√2 √2 √2
则x =- k，y = k，z = ，
1 2 1 2 1 2
( 3√2 √2 √2)
故Q - k， k， ，因此
2 2 2
( 3√2 √2 √2 √2)
⃗AQ= - k- ， k， .
2 2 2 2
设直线AQ与平面PDB所成的角为θ，
|n·⃗AQ|
则sin θ=|cos〈⃗AQ，n〉|=
|n||⃗AQ|
| 3√2 √2 |
- k- +√2k
2 2
=
√5×
√ (3√2
k+
√2) 2
+
1
k2+
1
2 2 2 2
√10
= ，化简得11k2-6k-5=0，
15
5
解得k=1或k=- ，
11
当k=1时，
( 3√2 √2 )
⃗PQ=⃗AB= - ， ，0 ，
2 2
√9 1
则|⃗PQ|=|⃗AB|= + =√5，
2 2
5 5
当k=- 时，⃗PQ=- ⃗AB，
11 11
5 5√5
则|⃗PQ|= |⃗AB|= ，
11 11
5√5
因此|PQ|=√5或|PQ|= .
11
