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第八周
周一
1.(2024·厦门质检)已知集合P={x∈Z|-20)的左、右焦点，M是双曲线C右支
1 2 4 b2
上的一个动点，且|M F |2 -|M F |2的最小值是8√6，则双曲线C的渐近线方程为( )
1 2
1
A.y=± x B.y=±√2x
2
√2 √3
C.y=± x D.y=± x
2 2
答案 C
解析 方法一 不妨设F (-c，0)，F (c，0)，M(x ，y )，且x ≥2，
1 2 0 0 0
则|M F |2 -|M F |2 =(x +c) 2 +y2 -[(x -c) 2 +y2 ]=4cx ≥8c，
1 2 0 0 0 0 0
√2
所以8c=8√6，解得c=√6，b=√2，故双曲线C的渐近线方程为y=± x.
2
方法二 |M F |2 -|M F |2
1 2
=(|MF |-|MF |)(|MF |+|MF |)
1 2 1 2
=4(|MF |+|MF |)
1 2
=4(4+2|MF |)≥4[4+2(c-2)]=8c，
2
所以8c=8√6，解得c=√6，b=√2，
√2
故双曲线C的渐近线方程为y=± x.
2
3.(多选)(2024·云南333联考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y满足f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)
+yf(x)，下列说法正确的是( )
A.若f(x)为一次函数，则f(0)=0
B.若f(x)为一次函数，则f(1)=1C.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(-1)=-1
D.若f(x)不是一次函数且f(0)=0，则f(1)=1
答案 BCD
解析 若f(x)为一次函数，令f(x)=ax+b，
由f(x+f(x+y))+f(xy)=f(x+a(x+y)+b)+f(xy)=ax+a2x+a2y+ab+b+axy+b，
又由x+f(x+y)+yf(x)=x+a(x+y)+b+axy+by，
因为f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)，
{
a2=1,
可得a2(x+y)+(a+1)b=x+(a+b)y，即 a2=a+b,
(a+1)b=0,
解得a=1，b=0或a=-1，b=2，
当a=1，b=0时，f(x)=x；当a=-1，b=2时，f(x)=2-x，
所以当f(x)为一次函数时，f(0)=0或f(0)=2，所以A不正确；
令x=1，可得f(1)=1，所以B正确；
令y=1，则f(x+f(x+1))=x+f(x+1)，因为f(0)=0，
令x=-1，所以f(-1)=-1，所以C正确；
令y=-1，则f(x+f(x-1))+f(-x)=x+f(x-1)-f(x)，
由f(0)=0，令x=1，所以f(1)=1，所以D正确.
4.(2024·葫芦岛模拟)甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少
有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是 .
1
答案
3
解析 4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，由分步乘
法计数原理，将4人分成3组，再全排，共有C2A3
=36(种)方法，
4 3
甲不单独参加活动，且乙不参加A活动，乙从B，C两项活动选一项参加有C1
种，除甲、乙外两人在乙参
2
加外的两项活动中全排有A2 种，然后甲从A，B，C这三项活动选一项参加有C1
种，
2 3
则由分步乘法计数原理，共有C1A2C1
=2×2×3=12(种)方法，
2 2 3
12 1
则甲不单独参加活动，且乙不参加A活动的概率是 = .
36 3
5.(2024·承德模拟)如图1，在Rt△APB中，∠APB=90°，点C为PB的中点，PA=PC=1，取AC的中点D，
连接PD，BD，现把△APC沿着AC翻折，形成三棱锥P-ABC如图2所示，此时PB=√3，取BC的中点
E，连接PE，DE，记平面PAB和平面PDE的交线为l，Q为l上异于点P的一点.(1)求证：PD⊥平面ABC；
√10
(2)若直线AQ与平面PDB所成角的正弦值为 ，求PQ的长度.
15
(1)证明 由题意知△ACP为等腰直角三角形，又点D为AC的中点，
1 √2 3π
所以PD= AC= ，∠ACB= ，PD⊥AC，
2 2 4
BC2+CD2-BD2
由cos∠BCA=
2BC·CD
2
1+
(√2)
-BD2
2 √2
= =- ，
√2 2
2×1×
2
√5
解得BD= ，
2
当PB=√3时，有PD2+BD2=PB2，即PD⊥BD，
而BD∩AC=D，BD，AC 平面ABC，故PD⊥平面ABC.
(2)解 以DA，DP所在直⊂线分别为x轴、z轴，过点D作平面PAC的垂线为y轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
(√2 ) ( √2)
则D(0，0，0)，A ，0，0 ，P 0，0， ，
2 2
BD2+CD2-BC2
又cos∠BDC=
2BD·CD
2
5
+
(√2)
-12
2 2 2√5
= = ，
√10 √2 5
2× ×
2 2
√5
所以sin∠BDC=√1-cos2∠BDC= ，
5
所以x =-BDcos∠BDC
B
√10 2√5
=- × =-√2，
2 5
√10 √5 √2
y =BDsin∠BDC= × = ，
B 2 5 2( √2 )
所以B -√2， ，0 ，
2
于是
( √2 √2)
⃗PB= -√2， ，- ，
2 2
( √2)
⃗PD= 0，0，- ，
2
设平面PDB的法向量为n=(x ，y ，z )，
0 0 0
{ ⃗PD·n=- √2 z =0,
2 0
则
√2 √2
⃗PB·n=-√2x + y - z =0,
0 2 0 2 0
不妨取x =1，解得n=(1，2，0)，
0
( √2)
设Q(x ，y ，z )，则⃗PQ= x ，y ，z - ，
1 1 1 1 1 1 2
( 3√2 √2 )
⃗AB= - ， ，0 ，
2 2
因为点E为BC的中点，点D为AC的中点，所以AB∥DE，
又AB⊄平面PDE，DE 平面PDE，所以AB∥平面PDE，
平面PAB和平面PDE的⊂交线为l，AB 平面PAB，
所以AB∥l，又Q为l上异于点P的一⊂点，
所以AB∥PQ，即⃗PQ与⃗AB共线，
设⃗PQ=k⃗AB，
3√2 √2 √2
则x =- k，y = k，z = ，
1 2 1 2 1 2
( 3√2 √2 √2)
故Q - k， k， ，
2 2 2
( 3√2 √2 √2 √2)
因此⃗AQ= - k- ， k， .
2 2 2 2
设直线AQ与平面PDB所成的角为θ，| 3√2 √2 |
- k- +√2k
|n·⃗AQ| 2 2 √10
则sin θ=|cos〈⃗AQ，n〉|= = = ，
|n||⃗AQ|
√5×
√ (3√2
k+
√2) 2
+
1
k2+
1 15
2 2 2 2
5
化简得11k2-6k-5=0，解得k=1或k=- ，
11
( 3√2 √2 )
当k=1时，⃗PQ=⃗AB= - ， ，0 ，
2 2
√9 1
则|⃗PQ|=|⃗AB|= + =√5，
2 2
5 5
当k=- 时，⃗PQ=- ⃗AB，
11 11
5 5√5
则|⃗PQ|= |⃗AB|= ，
11 11
5√5
因此|PQ|=√5或|PQ|= .
11
