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第八章 平面解析几何（基础卷）（模块综合调研卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线 与直线 垂直，
则 ，解得 ，
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知直线 与圆 交于 两点，且 ，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.
【详解】由题意可得圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ．因为 ，
所以 ，即 ，解得 .
故选：D.
3．在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与双曲线 的两条渐近线相交于 两点，若线段 的中点是 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线 与两渐近线方程，得到
点坐标，结合 的中点为 ，可得结论．
【详解】
直线 的斜率不存在时， 应该在 轴上，不符合题意，
直线 的斜率为0时， 两点重合，不符合题意，
所以直线 的斜率存在且不为0，设直线 ，
双曲线的两条渐近线方程分别为 ，
联立 解得 ，不妨令 ，
联立 ，解得 ，则 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，即 ，
②式两边分别平方得 ③，将①代入③并化简可得 ，
所以离心率 .
故选：D．4．已知圆 ，直线 .则直线 被圆 截得的弦长的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出直线 所过的定点 ，数形结合得到当 时，直线 被圆 截得的弦长最小，再由
垂径定理得到最小值.
【详解】直线 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
且 ，即 在圆内，
当 时，圆心 到直线 的距离最大为 ，
此时，直线 被圆 截得的弦长最小，最小值为 .
故选：A.
5．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．
假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远
的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 ，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四
号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率 ，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则
故选：B
6．设 分别是直线 和 上的动点，且满足 ，则 的中点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假设 ， ， ,利用中点坐标公式与两点距离公式代入即可求得轨迹方程.
【详解】设 ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，故 ， ，又因为，所以 ，即 ，所以点M的轨迹方程为
．
故选: A.
7．已知点 分别是抛物线 和圆 上的动点，若抛物线 的焦点为 ，
则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将 转化为 的形式，寻求定点 ，使得 恒成立，
转化为 ，当且仅当 在一条直线上时， 取得最小值，即可求
解.
【详解】由抛物线 ，可得焦点坐标为 ，
又由圆 ，可化为 ，
可得圆心坐标为 ，半径 ，
设定点 ，满足 成立，且
即 恒成立，
其中 ，代入两边平方可得：
，解得 ，
所以定点 满足 恒成立，
可得 ，
如图所示，当且仅当 在一条直线上时，
此时 取得最小值 ，
即 ，设 ，满足 ，
所以 ，
，
当 时，等号成立，
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可
求解.
8．设椭圆 与双曲线 有相同的焦距，它们的离心率分
别为 ， ，椭圆 的焦点为 ， ， ， 在第一象限的交点为 ，若点 在直线 上，且
，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为 ，先根据题意得出点P的坐标 ，再将点P分
别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.
【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为 ，则 ，
又 ，所以 ，
又点P在第一象限，且在直线 上，
所以 ，又点P在椭圆上，
所以 ，即 ，
整理得 ，两边同时除以 ，得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
同理可得点P在双曲线上，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，
则（ ）
A．圆 的半径为3
B．圆 和圆 相离
C． 的最小值为
D．过点 做圆 的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆 关于 对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断
C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
对于A，圆 的半径为 ，A错误；
对于B， ，圆 和圆 相离，B正确；
对于C，圆 关于 轴对称的圆为 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，
由圆的性质得，
，当且仅当点 与 重合，
且 是线段 分别与圆 和圆 的交点时取等号，C错误；
对于D，设点 ，过点 的圆 的切线长 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BD10．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以
为直径的圆过焦点F， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 D． ，则
【答案】ACD
【分析】由题意，利用抛物线的定义以及相似即可判断AB；结合抛物线的定义及三角形全等即可判断BD.
【详解】设 在 上的投影为 ， 与 轴交于点 ，
因为 ， 两点均在抛物线 上，
所以 ，因为 ， ,故 ,
所以 ，解得 ，故选项A正确；
对于B， 时， ， ,
结合 ， , ,
所以 ，解得 ，故B错误；
对于C:设点 在 上的投影为 ，此时 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，
则 为等腰直角三角形，
此时 ，故C正确；
对于D，设点 在 上的投影为 ，此时 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 为等边三角形，
此时 ，则 , ，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛： 以及垂直关系得 .
11．已知双曲线C： 的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，
该垂线与另一条渐近线的交点为B，若 ，则C的离心率e可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】设出直线 方程，分别与两渐近线联立，求得A,B两点坐标，根据两点间距离公式代入条件即
可求解.
【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为 ，依题意，直线 的斜率为 ，
且 ，F(c,0)，则 ： ，
设 ，联立 ，可得 ， ,设A(x ,y )，联立 ，可得 ， ，
1 1
因为 ，即 ，
化简得 ，又 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 或 .
故选：BD.
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得点 的坐标，从而得到关于 的齐次方程，进而得解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．过双曲线 的右支上一点 ，分别向⊙ 和⊙ 作切线，切
点分别为 ，则 的最小值为 .
【答案】17
【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为 的最小值问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可
求得最小值.
【详解】由 ，得 ，所以双曲线的焦点坐标为 ，
由圆的方程知：圆 圆心的坐标为C (−5,0)，半径 ，
1
圆 圆心的坐标为C (5,0)，半径 ，
2
分别为两圆切线，
，
，
为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为 ，
又 （当为双曲线右顶点时取等号），
，
即 的最小值为 .
故答案为：17.
13．已知P、Q为椭圆 上关于原点对称的两点，点P在第一象限， 、 是椭圆C
的左、右焦点， ，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合题目条件可得四边形 是矩形，设 ，由 可得 ，又
，化简计算即可得解.【详解】如图， ，
显然四边形 是矩形，所以 ，
由题意， ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
又点P在第一象限，所以 ，
故 ，即 ，所以 ，
椭圆C的离心率
，
由 可得 ，
又 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
14．已知A，B是抛物线 上异于原点的两点，且以 为直径的圆过原点，过 向直线
作垂线，垂足为H，求 的最大值为 .
【答案】
【分析】结合向量垂直的性质，推得 ，设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，运用韦达定
理，求出直线 所过定点，再结合圆的性质，即可求解，
【详解】依题意，设 ， ，以|AB|为直径的圆过原点，则 ，解得 ，
易知直线 的斜率不为0，不妨设直线 的方程为 ，
联立 ，化简整理可得 ，
所以 ，解得 ，
故直线 恒过定点 ，
因为 ， ，则 ， ， ， 四点共圆，
即点 在以 为直径的圆（除原点外）上运动，
此时该圆直径为 ，
故 的最大值为该圆的直径，即 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量垂直的性质与韦达定理求得直线 所过定点，从而
得解.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知双曲线C: ，圆 ，其中 .圆 与双曲线 有且仅有两个交点
，线段 的中点为 .
(1)记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 .
(2)当直线 的斜率为3时，求 点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到 ，而由 可得 ，两式相比即可得解；
（2）设直线 ，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示 的坐标为 ，由
得 斜率，由此可列方程求出参数 ，进而得解.
【详解】（1）
因为 ，所以 .
又设 ，因为 ，
所以 .
而圆心 不在坐标轴上，从而 ，
所以 .
所以 ，
又 ，所以 .
（2）设直线 ，与 联立，化简并整理得： ，
其中 .
设 ，
所以 ，
即 点坐标为 .
因为 ，所以 ，而 ，
即 ，解得 .因此 ，所以 .
16．已知 分别是椭圆 的左右焦点，如图，抛物线
的焦点为F (−c,0)，且与椭圆在第二象限交于点 ，延长 与椭圆交于
1
点 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设 和 的面积分别为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线 的焦点为F (−c,0)，知 ，由 结合抛物线的
1
定义表示出点 的坐标，将点 的坐标代入椭圆方程化简求解离心率即可，
（2）设出椭圆的方程，设直线 为 代入椭圆方程化简，转化求解 的横坐标，然后求
解面积之比即可.
【详解】（1）由抛物线 的焦点为F (−c,0)，知 ，
1
所以抛物线方程为 ，准线方程为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，点 在椭圆上，
所以 ， ，所以 ， ，
化简整理得 ，
所以 ， ，
解得 （舍去），或 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
所以椭圆方程为 ，
因为 的坐标为 ，F (−c,0)，
1
所以 ，
所以直线 为 ，
由 ，得 ，
化简整理得 ，
所以 ，得 ，或 ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和抛物线的综合问题，考查椭圆离心率的求法，考查直线与椭圆的位
置关系，考查椭圆中的面积关系，第（2）问解题的关键是将 转化为 ，考查数学转化思
想和计算能力，属于较难题.
17．已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线 与圆 的另一个交点为 ，点
在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ， 都在 轴上方，问：在 轴上是否存在定
点 ，使得 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得点 在以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线上，且焦距为 ，从而可求
出曲线 的方程；
（2）由条件可设 ： ，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当 时，可求得
，则 的平分线为定直线 ，从而可得结论.
【详解】（1）圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 在以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为 ，
则 ， .
所以 ， ，
又 不可能在 轴上，所以曲线 的方程为 .
（2）在 轴上存在定点 ，使得 的内心在一条定直线上.
证明如下：由条件可设 ： .代入 ，得 ，
设 ， ，则
，得m2≠2，
所以
所以 ，
取 ，
则
又 ， 都在 轴上方，所以 的平分线为定直线 ，
所以在 轴上存在定点 ，使得 的内心在定直线 上.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关
键是取 ，通过计算 ，可得定直线为 ，考查数学计算能力，属于较难题.
18．已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 ， 两点，当 点
的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线 ，
的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）关键抛物线的定义可得 ，求出p即可求解；
（2）设 ，将直线 和直线
BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示 ， ，进而可得 、
，由中点坐标公式与斜率公式可得 和 ，则 ，当时 最大，由两角差的正切公式和换元法可得 ，结合基本不
等式计算即可求解.
【详解】（1）抛物线的准线为 ，
由抛物线的定义知， ，又 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）由（1）知， ，
设 ，
则 ，设直线 ，
由 可得 ，
，
则 ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ， ，
又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，需使 最大，则 ，设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关
系后，设 ，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.
19．在平面直角坐标系 中，点 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点，上顶点，若 的
离心率为 ，且 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，其中点 在第一象限，点 在 轴下方且不在 轴上，
设直线 ， 的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值，并求出该定值；
（ii）设直线 与 轴交于点 ，求 的面积 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析， ；（ii）
【分析】（1）根据题意求出 ，即可得解；
（2）（i）设直线 的方程为 ，其中 ，且 ，设直线 与椭圆 交于点
，联立方程，利用韦达定理求出 ， ，再结合斜率公式化简即可得出结论；
（ii）法一：直线 的方程为 ，设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，分别
求出 的坐标，联立方程组 求出 ，即可得 的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合
基本不等式即可得解.
法二：直线 的方程为 ，设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，分别求出
的坐标，易得点 是线段 的中点，则 ，其中 为点 到直线 的距离，求
出 的最大值即可.【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 ，
据 ，得 ，即 .
所以直线 的方程为 ，即 ，
因为原点 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）（i）设直线 的方程为 ，其中 ，且 ，即 ，
设直线 与椭圆 交于点 ，
联立方程组 整理得 ，
所以 ， ，
（i）所以
为定值，得证；
（ii）法一：直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ，
设直线 与 轴交于点 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，故联立方程组 整理得 ，
解得 或0（舍）， ，
所以 的面积
，
由（i）可知， ，故 ，代入上式，
所以 ，
因为点 在 轴下方且不在 轴上，故 或 ，得 ，
所以 ，
显然，当 时， ，
当 时， ，
故只需考虑 ，令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，不等式取等号，
所以 的面积的最大值为 .
法二：直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ，
设直线 与 轴交于点 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，故 ，由（i）可知， ，故 ，
所以点 是线段 的中点，
故 的面积 ，其中 为点 到直线 的距离，
思路1 显然，当过点 且与直线 平行的直线 与椭圆 相切时， 取最大值，
设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 整理得 ，
据 ，解得 （正舍），
所以平行直线 ： 与直线 ： 之间的距离为
，即 的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 .
思路2 因为直线 的方程为 ，
所以 ，
依题意， ， ， ，故 ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，故 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，故 ，
所以 ，
即 的面积的最大值为 .
思路3 因为直线 的方程为 ，
所以 ，因为 在椭圆 上，故 ，
设 ， ，不妨设 ，
所以 ，
当 ， ， 时， ，
即 的面积的最大值为 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
