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周四
1.(2024·六盘水诊断)抛物线x2=-4y的焦点坐标为( )
A.(-1，0) B.(1，0)
C.(0，1) D.(0，-1)
2.(2024·九江模拟)已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面
半径分别为1和2，且其表面积为(5+3√2)π，则球O的体积为( )
32π
A. B.5π
3
20√5π 5√5π
C. D.
3 3
3.(多选)(2024·邯郸模拟)已知复数z，z是其共轭复数，则下列命题正确的是( )
A.z>z
B.若|z|=1，则|z+√3-i|的最小值为1
|z|2
C.z= (z≠0)
z
D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=5
4.(2024·承德模拟)已知等差数列{a }(公差不为0)和等差数列{b }的前n项和分别为S ，T ，如果关于x的实
n n n n
系数方程1 003x2-S x+T =0有实数解，则以下1 003个方程x2-ax+b=0(i=1，2，…，1 003)中，有实数
1 003 1 003 i i
解的方程至少有 个.
a
5.(2024·开封质检)已知函数f(x)=ln x- .
x
(1)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
x2 ( 1) e2
(2)函数g(x)= ，若方程f(x)=f(g(x))在x∈ 0， 上存在实根，试比较f(a2)与ln 的大小.
1-x 2 4答案精析
1.D 2.C 3.BC
4.502
1 003(a +a )
解析 因为S = 1 1 003 =1 003a ，
1 003 2 502
1 003(b +b )
T = 1 1 003 =1 003b ，
1 003 502
2
代入S2 -4×1 003T ≥0，
1 003 1 003
得a2 -4b ≥0，要使方程x2-ax+b=0(i=1，2，…，1 003)有实数解，
502 502 i i
则a2 -4b≥0(i=1，2，…，1 003)，
i i
显然第502个方程有解，设方程x2-a x+b =0与方程x2-a x+b =0的判别式分别为Δ ，Δ ，
1 1 1 003 1 003 1 1 003
(a +a ) 2
则Δ +Δ =(a2 -4b )+(a2 -4b )=a2 +a2 -4(b +b )≥ 1 1 003 -4×2b ，
1 1 003 1 1 1 003 1 003 1 1 003 1 1 003 2 502
(2a ) 2
即Δ +Δ ≥ 502 -8b =
1 1 003 502
2
2(a2 -4b )≥0，等号成立的条件为a =a ，
502 502 1 1 003
所以Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，
1 1 003
同理可得Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，…，Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，且Δ ≥0，
2 1 002 501 503 502
综上，在所给的1 003个方程中，有实数解的方程最少有502个.
a
5.解 (1)函数f(x)=ln x- 的定义域为(0，+∞)，
x
1 a x+a
又f'(x)= + = ，
x x2 x2
当a≥0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值，
当a<0时，令f'(x)=0，
解得x=-a，
所以当x∈(0，-a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(-a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=-a时，f(x)取到极小值f(-a)=ln(-a)+1，无极大值，
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值；
当a<0时，f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)上单调递增，极小值为ln(-a)+1，无极大值.
x2 1
(2)因为g(x)= ，00，
2
g(x)单调递增，
(1)
所以g(0)0，
-a a2 a2
( 1 )
所以m(a)在 - ，0 上单调递增，
2
( 1) 1 e2 e2
所以m(a)>m - =2ln +2=ln ，所以f(a2)>ln .
2 2 4 4
