文档内容
第 2 讲 基本初等函数及其应用
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：指数与对数运算
突破二：基本初等函数的图象与性质
突破三：函数的零点及其应用
角度1：确定函数零点的个数或范围
角度2：根据函数零点求参数的取值范围
突破四：函数模型应用
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、函数的零点与方程的根之间的联系
（1）函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横
坐标，即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
（2）函数 的零点就是方程 的根,即函数 的图象与函数
的图象交点的横坐标.
2、确定函数零点的常用方法:
①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
第二部分：重难点题型突破
突破一：指数与对数运算1．（2022·全国·模拟预测）已知 ，若 ，则 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·吉林·抚松县第一中学一模）设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
突破二：基本初等函数的图象与性质
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）函数 的图象大致为( )
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数 的定义域为 ，如果
，使得 在 上的值域为 ，则称函数 在 上为“等域函数”，若定义域为 的
函数 （ ， ）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该
细菌繁殖的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细菌数
与时间 （单位：小时，且 ）满足回归方程 （其中 为常数），若 ，且前3个小时
与 的部分数据如下表：
1 2 3
3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数 与时间 （单位：小时，且
）满足关系式： ，在 时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减
少，则 的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过 ．一杯茶泡好后置于室
内， 分钟、 分钟后测得这杯茶的温度分别为 、 ，给出三个茶温 （单位： ）关于茶泡好后
置于室内时间 （单位：分钟）的函数模型：① ；② ；③
．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温 （单位： ）
关于茶泡好后置于室内时间 （单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时
间为（ ）（参考数据： ， ）
A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟
5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（文））若函数 的值域为 ，则 的取
值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2022·河南信阳·一模（理））已知函数 在 上单调递减，则实数 的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆·模拟预测）若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·宁夏六盘山高级中学一模（理））已知 是函数 的零点， 是函数
的零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数 ，若 是函数 的最大值，
则实数 的取值范围为_______．
10．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若 ，不等式 恒成立，则实数 的
取值范围为___________.
突破三：函数的零点及其应用
角度1：确定函数零点的个数或范围
1．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））函数 在 上的零点个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·四川成都·模拟预测（文））函数定义在 上的奇函数 满足在 ，则 在
上的零点至少有（ ）个
A．6 B．7
C．12 D．13
3．（2022·山西·模拟预测（理））已知 若 ，则 在
内的零点个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R的奇函数 满足 ，当
时， ，则函数 在 上零点的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．（2021·上海市控江中学三模）方程 在区间 上的解的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．（多选）（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
角度2：根据函数零点求参数的取值范围
一、单选题
1．（2020·山东烟台·模拟预测）函数 的一个零点在区间 内，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·山西·一模（理））函数 在区间 和区间 上分别存在一个零点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
3．（2022·全国·模拟预测）函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西上饶·二模（文））已知函数 ，若 恰有3个正整数解，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·安徽蚌埠·三模（理））已知函数 ，若函数 在区间
内存在零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2022·陕西西安·二模（文））已知函数 ，若关于 的方程 在 内有
唯一实根，则实数 的取值范围是___________.
7．（2015·浙江·二模（文））设 是方程 的解，且 ，则 =___．[
8．（2022·安徽省含山中学三模（文））若函数 在区间 上存在零点，则实数m的最小值是_________．
突破四：函数模型应用
1．（2022·吉林·抚松县第一中学一模）某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均
相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃， ）近似满足函数模
型 ．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据： ）（ ）
A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1
2．（2022·全国·模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血
红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般
不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度
降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：
描述血氧饱和度 （单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱
和度，K为参数．已知 ，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧
时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1， ， ， ）
A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.7小时
3．（2022·全国·模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运
费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法
每期租金R的表达式为 （其中P为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半
年、年计；i为折现率；r为附加率）．某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末
支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%，附加率为4%，若每年年末应付租金为24.08万元，则该
设备的租期为（ ）
A．4年 B．5年 C．6年 D．7年
4．（2022·全国·模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体
亮度，可用 近似表示绝对星等 、目视星等 和观测距离d（单位：光年）之间的关系．
已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为 ，目视星等为 ，则观测
者与织女星和大角星间的距离的比值约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川绵阳·一模（理））某地锰矿石原有储量为 万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的
（ ，且 为常数）倍，那么第 （ ）年在开采完成后剩余储量为 ，并按该计划方
案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（ ）
年．（参考数据： ）A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理）） 年 月 日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀
鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某
种植物生长面积 （单位： ）与时间 （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型 （
， ， 且 ）．已知第一个月该植物的生长面积为 ，第 个月该植物的生长而积为
，给出下列结论：
①第 个月该植物的生长面积超过 ；
②若该植物的生长面积达到 ，则至少要经过 个月；
③若 ，则 成等差数列；
④若 成等差数列， ， ，则 ．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果
物体的初始温度为 ，空气温度为 ，则 分钟后物体的温度 （单位：℃）满足：
.若常数 ，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的
时间为（ ）（参考数据： ）
A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟
8．（2014·江苏南通·二模）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的
净化剂，空气中释放的浓度 单位：毫克/立方米 随着时间 单位：天 变化的关系如下：当
时， ；当 时， 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的
净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 毫克/立方米 时，它才
能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒 个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够
持续有效净化，试求a的最小值． 精确到 ，参考数据： 取第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·河南·安阳37中高一期中）已知函数 ，有 ，则实数
（ ）
A． 或4 B． 或2 C．2或9 D．2或4
2．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数 满足 （其中 ），则函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设函数 ，则满 的x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄州一中、南漳一中、河口一中）2022-2023
学年高三上学期期中联考数学试题）我们可以把 看作每天的“进步”率都是 ，一年后是
；而把 看作每天的“落后”率都是 ，一年后是 ．可以计算得到，一年后的“进
步”是“落后”的 倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是 ，大约经过（ ）天
后，“进步”是“落后”的10000倍．（ ， ）
A．17 B．18 C．21 D．23
5．（2022·北京海淀·高三期中）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长
度为 的线段，第 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第 次操作，将留下的两段分别
三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 ，则 的最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）对函数 ，如果存在 ，使得 ，则
称 与 为函数图象的一组奇对称点.若 （ 为自然数的底数）存在
奇对称点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（北京市大兴区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）已知 为定义在 上的奇函数，且
，当 时， ，则当 时， 的所有解的和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖北·广水市第二高级中学高一期中）已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时，
，如果关于 的方程 恰有7个不同的实数根，那么
的值等于（ ）
A．5 B．－4 C．4 D．－5
9．（2022·河北保定·高三阶段练习）已知 ，函数 ， ，
的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 满足 ，当
时， ，则 在 上的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
11．（2022·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育
运动能增强身体机能，提高抗病能力.对于 岁的青少年，每天进行中等强度的运动有助于提高睡眠质
量，使第二天精神充足，学习效率更高.是否达到中等强度运动，简单测量方法为 ，其中 为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值， 为每个个体的体质健康系数.若 介于 之间，
则达到了中等强度运动；若低于25，则运动不足；若高于28，则运动过量.已知某同学正常时心率为78，
体质健康系数 ，他经过慢跑后心率（单位：次/分）满足 为慢跑里程（单位：
米）.已知学校运动场每圈400米，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的慢跑圈数为（ ）（e为自
然对数的底数， ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比
拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数
定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物
体原来的温度是 （℃），空气的温度是 （℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式
得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室
中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（ ）参考数据： ， .
A．3.048分钟 B．4.048分钟 C．5.048分钟 D．6.048分钟
二、多选题
13．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数 ，若 （ 互
不相等），则 的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
14．（多选）（2020·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， ．已知函数
，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 在R上是增函数 D． 的值域是
15．（多选）（2022·湖南·汉寿县第二中学高三阶段练习）已知函数 是R上的单调
函数，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（多选）（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知 为定义在 上的奇函数，且，当 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在区间 最多有三个解
C． 的最小值为-1
D． 在区间 最多有五个解
17．（多选）（2022·广东·广州六中高二期中）设定义在R上的连续函数 满足 ，
， ，下列命题正确的有（ ）（注：函数 在区间D上连续指的是在区间
D上函数 的图象连续不断）
A．10为 的一个周期 B． 是 的一条对称轴
C．函数 有无数个对称中心 D．方程 在区间 上至少有405个解
18．（多选）（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知 、 为函数 的两个不相同的零点，
则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
19．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 件（单位：件）（
∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2 ，生产x件所需成本C＝100＋30 （单位：
元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________
20．（2022·上海市彭浦中学高三期中）已知函数 ，a为实数．若对于任意的 ，都有
，则a的取值范围为________．
21．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数 ，其中 ，
若方程 有三个不同的实数根，则实数k的取值范围_____________．
22．（2022·浙江温州·高一期中）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表
明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温
度是 ℃，经过一定时间t min后的温度 （单位：℃）可由公式 求得，其中 表
示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85°C的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min．那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间
__________min，才能达到最佳饮用口感．
