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专题5.23 相交线与平行线（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022下·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期末）在下列四个汽车标志图案中,可以
看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图， 的内错角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）如图， ，直线 经过点C，已知
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）将一副常规的三角尺如图放置，则图中 的度数是
（ ）A． B． C． D．
5．（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假命题
的反例是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列所给的 和 中，是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021下·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，直线 与直线 交于点 ，与直线 交于点 ，
， ，若将直线 绕点 按逆时针方向旋转到直线 ，当 时，旋转角的大小为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·河北邯郸·八年级校考期中）如图，直线 ，则直线a，b之间的距离是（ ）A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段AD的长度 D．线段CE的长度
10．（2022下·山东淄博·六年级统考期末）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种
介质时会发生折射．如图，水面 与水杯下沿 平行，光线 从水中射向空气时发生折射，光线变成
，点G在射线 上，已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024上·湖南株洲·八年级统考期末）定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是
．
12．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图，图中,∠B的同旁内角除了∠A还有
.
13．（2023下·福建福州·七年级统考期中）如图，在 中， 平分 交 于点D，过点D
作 交 于点E，若 ，则 的度数是 ；14．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图， 的
边 长为 ，将 沿着 方向平移 得到 ，且 ．则阴影部分的面积是
．
15．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）如图， ， ，若 ，则
的度数为
16．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相
同的三角板画平行线 、 ，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：
“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
17．（2019下·江苏南京·七年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，直线AB∥CD，直线l与直
线AB、CD相交于点E、F，P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将 EFP沿PF折叠，便顶点E
△落在点Q处．若∠PEF＝54°，且∠CFQ＝ ∠CFP，则∠PFE的度数是 ．
18．（2024下·全国·七年级假期作业）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架 与底座
垂直，支架 ， 为固定支撑杆，当灯体 与底座 平行时， ， ，则
的度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2019·吉林长春·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：AB
CD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴AB CD（ ）．20．（8分）（2023下·江西吉安·七年级统考期中）如图所示，直线 与 相交于点
．
（1）图中 的余角是_________；（写一个即可）
（2） _________；（写一个即可）
（3）如果 ，那么根据________，可得 ________；
（4）如果 ，求 的度数．
21．（10分）（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）如图，直线 分别与直线 、 交于
点 和点 ． ，射线 、 分别与直线 交于点 ， ．且 ，则 与 有何数
量关系？并说明理由．22．（10分）（2022下·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知 ．求证：
．
23．（10分）（2023·全国·七年级专题练习）如图， ， ， ，试探索 与
有怎样的数量关系，并说明理由．24．（12分）（2019下·湖南益阳·七年级统考期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助
构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图 ，点P在 、 内部，探究 ， ， 的关系．小明
过点P作 的平行线，可得到 ， ， 之间的数量关系是： ________________.
（2）如图2，若 ，点P在AC、BD外部， ， ， 的数量关系如何？
为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点P
作 ．
∴ （________________________________）
∵ ，
∴ （________________________________）
∴ ，
∵ ，
∴ ________________.（________________）
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．如图3，在小学中我们已知道，三角形ABC中，．试构造平行线说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是D．
解：A、通过旋转得到，故本选项错误；
B、通过轴对称得到，故本选项错误；
C、通过旋转得到，故本选项错误；
D、通过平移得到，故本选项正确．
故选D．
【点拨】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移、旋转、轴对称的性质是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据内错角的定义找出即可．
解： 的内错角是∠3．
故选：C．
【点拨】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
3．B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到 ，再利用平角解题即可．
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
4．C
【分析】由题意可得 ， ，再由角的和差进行求解即可．
解：由题意得： ， ，
则 .
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角的和差的计算，解题的关键是要知道常规三角尺的每个角的度数.
5．D
【分析】直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
解：A、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
C、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
D、已知 ，那么AB∥CD，不能推出AD∥BC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．平行线的判定定理：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6．B
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出
结论的即为说明命题是假命题的反例．
解：当 时，满足条件 ，但不能得出 的结论，
能说明命题“如果 ，那么 ”是假命题的反例是 ，
故选：B．7．C
【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公
共顶点即可解答．
解：A、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故A项错误；
B、 的反向延长线并不是 的两边，不符合对顶角的定义，故B项错误；
C、 的反向延长线是 的两边，且两角有公共顶点，符合对顶角的定义，故C项正确；
D、两个角没有公共顶点，不符合对顶角的定义，故D项错误．
故选：C．
8．A
【分析】先根据邻补角的定义得到 ，根据平行线的判定当 与 所夹的锐角为 时， ，
由此得到直线 绕点 逆时针旋转 ．
解： ，
，
，
当 时， ，
直线 绕点 逆时针旋转 ，即这个旋转角是 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，邻补角定义，掌握同位角相等，两直线平行是解题
的关键．
9．B
【分析】直接根据平行线间的距离的定义解答即可．
解：∵直线a//b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间距离．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离的定义成为解答本题的关键．
10．A
【分析】根据平行线的性质，得到 的度数，进而即可求出 的度数．解： ， ，
，
，
，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同
旁内角互补．
11．两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了命题与定理，写出命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，据此求解即可．
解：定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，内错角相等”，
故答案为：两直线平行，内错角相等．
12．∠ACB，∠ECB
解：∠B的同旁内角有∠A，∠ACB，∠ECB．
故答案为∠ACB，∠ECB．
13． /31度
【分析】本题考查角平分线的定义和平行线的性质，先根据角平分线得到 的度数，然后根据平
行线的性质得到 是解题的关键．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．8
【分析】根据平移特点得出 ，得出阴影部分的面积 长方形 的面积，据此求解
即可．
解：∵将 沿着 方向平移 得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是长方形，∴
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据题意得出阴影部分的面积 长方形 的
面积．
15． / 度
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质得到 ， ，即
可求出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意， ，得出 ，即可求解．
解：∵根据题意， ，
∴ ，依据为：内错角相等，两直线平行
故答案为：内错角相等，两直线平行．
17．54°．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠EFC的度数，再求出∠CFQ，即可求出∠PFE的度数．
解：∵AB∥CD，∠PEF＝54°，
∴∠PEF+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣54°＝126°，
∵将 EFP沿PF折叠，便顶点E落在点Q处，
∴∠P△FE＝∠PFQ，
∵∠CFQ＝ ∠CFP，
∴∠CFQ＝ ∠EFC＝ ×126°＝18°，
∴∠PFE＝ ∠EFQ＝ （∠EFC﹣∠CFQ）＝ （126°﹣18°）＝54°．故答案为：54°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确掌握平行线的性质和轴对称的
性质是解题的关键．
18．74
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点 作 ，过点 作
，先由垂线的定义得到 ，则由两直线平行内错角相等得到 ，证明
得到 ，再根据两直线平行同旁内角互补得到 ，则
．
解：如图所示，过点 作 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
19．见分析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
解：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴AB CD（同位角相等，两条直线平行）．
【点拨】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平
行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
20．（1） ；（2） 或 ；（3）对顶角相等， ；（4）
【分析】（1）根据余角的定义、性质，可得答案；
（2）根据同一个角的余角相等的性质，可得答案；
（3）根据对顶角相等即可求得 ．
解：（1）图中 的余角有 ， ， ；
（2）∵ ， ，
∴ ．
或者根据（1）， 的三个余角均相等： ；
（3）根据对顶角相等，可得 ．
（4）∵ ，
且 ，
∴ ，
求得： ．
【点拨】本题考查对顶角、邻补角，利用余角的性质，对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握相关
概念是解题关键．
21． 与 的数量关系为 ，理由见分析
【分析】由 得到 ，则 ． 得到 ，由
即可得到 ．
解： 与 的数量关系为 ，
理由如下：
∵ ，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定和性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是
解题的关键．
22．见分析
【分析】先证 ，再根据平行线的性质可得 ，再由 ，可得 ，根
据内错角相等，两直线平行可得 ．
解：证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
23． ，证明见分析．
【分析】要找∠A与∠F的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得∠1+∠2=180°，则CE∥BD；根
据平行线的性质，可得∠C=∠ABD，结合已知条件，得∠ABD=∠D，根据平行线的判定，得AC∥DF，从而
求得结论．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ （同旁内角互补，两直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵ ，
∴ ，
∴ （同旁内角互补，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），故答案为： ．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正
确答题的关键．
24．（1） ；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得 ， ， 之间的数量关系；（2）过点P作
，易知 ，根据两直线平行内错角相等可得 ， 等量代换可得结论；
（3）过点A作直线 ，由两直线平行内错角相等可得 ， ，由平角的定义知
，等量代换即可.
解：（1）如图，过点P作 ．
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
所以 ， ， 之间的数量关系是：
（2）过点P作 ．
∴ （两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条件直线也平行）
∴ ，
∵ ，
∴ ．（等量代换）
（3）过点A作直线 ，∵ .
∴ ， （两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ （等量代换）
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，通过构造平行线将角进行拆分或合并是解题的关键.
