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专题 02 基本初等函数及其性质
一、单选题
1．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
2．（2020•北京卷）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .故选：D.3．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
4．（2022·北京·高考真题）己知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．5．（2022·全国·高考真题（文））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可得 ，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，
所以 ．综上， ．
故选：A.
6．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】
根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解
出．
【详解】
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ，
， ，所以一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故选：A．
7．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
8．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ，若 恰有两个零点，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】
函数 ， 均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分
布处理．
【详解】
∵ ，则二次函数 有两个零点
若 恰有两个零点，则 ，得
此时 无零点，则 ，解得
则
若 无零点，则 ，得
此时 有两个零点，则 ，得
则
若 有且仅有一个零点，则 得 ，
或 ，得 或 ，经检验 不合题意
则
此时 有且仅有一个零点，则 ，解得 且
则 且
综上所述：
故选：B．
9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数 ，若 是奇函数
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由 是奇函数，可以得到关于a的方程组，解之即可得到a的值.
【详解】
由 是奇函数,知 ，
即 ，
由x的任意性，得 ，
得 ，解得 ．经检验符合题意.
故选：A
10．（2022·上海浦东新·二模）已知 ， ， ，实数 满足 ，设
， ，现有如下两个结论：
①对于任意的实数 ，存在实数 ，使得 ；
②存在实数 ，对于任意的 ，都有 ；
则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】C
【分析】
对①，根据 ， 的几何意义，判断得出 与 一定有
两个交点分析即可
对②，通过化简 ，将题意转换为：存在实数 ，使得 在 上为减函数，
再分析出当 时函数有增区间，推出矛盾即可
【详解】
对①， 的几何意义为 与 两点间的斜率，同理 的几
何意义为 与 两点间的斜率.
数形结合可得，当 时，存在 ；当 时，存在 ，使得
，即 成立.即对于任意的实数 ，存在实数 ，使得 ，故①正确；
对②，若存在实数 ，对于任意的 ，都有 ，即 ，
即 ，即 .即存在实数 ，对于任意的
， 恒成立.设 ，则 ，即
为减函数.故原题意可转化为：存在实数 ，使得 在
上为减函数.因为当 时， ，因为 对称轴为 ，故当
时 一定为增函数，故不存在实数 ，使得 在 上为减函
数.故②错误
故选：C
二、填空题
11．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】
根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】
取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.故答案为： （答案不唯一， 均满足）
12．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】
由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情形，利用
方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，
求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
