文档内容
专题 29 尺规作图与定义、命题、定理
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：尺规作图............................................................................................................................................2
考点二：定义、命题、定理............................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................5
考点一：尺规作图............................................................................................................................................5
题型一：尺规作图-作线段...........................................................5
题型二：尺规作图-作角度...........................................................7
题型三：尺规作图-作三角形（含特殊三角形）........................................15
题型四：尺规作图-作三角形的中线与高..............................................18
题型五：尺规作图-作垂直平分线....................................................20
题型六：尺规作图- 画圆...........................................................22
题型七：尺规作图-过圆外一点作圆的切线............................................25
题型八：尺规作图-作外接圆........................................................26
题型九：尺规作图-作内切圆........................................................27
题型十：尺规作图-作圆内接正多边形................................................28
题型十一：尺规作图-格点作图......................................................30
考点二：定义、命题、定理..........................................................................................................................32
题型一：命题的判断...............................................................32
题型二：判断命题真假.............................................................32
题型三：举反例说明命题为假命题...................................................33
题型四：写出命题的逆命题.........................................................34
题型五：反证法证明中的假设.......................................................34
题型六：反证法证明命题...........................................................35专题 29 尺规作图与定义、命题、定理
模块一：基础知识
考点一： 尺规作图
1.尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2.五种基本作图：
类型 图示 作图依据
a
作一条线段等
于已知线段 圆上的点到圆心的距离等于半径.
A
P
O
B'
作一个角等于 N
已知角 Q 1)三边分别相等的两个三角形全等；
α 2)全等三角形的对应角相等；
O O' A'
G M
3)两点确定一条直线.
B
作一个角的平
分线 N P
A
O
M
M
作一条线段的
垂直平分线 1)到线段两个端点距离相等的点在这条
线段的垂直平分线上；
A B 2)两点确定一条直线.
N
M
过一点作已知 P
直线的垂线 1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
A BA B
P
N
3.根据基本作图作三角形
类型 图示a
已知三角形的三边，求作三角形
b b a
c
c
a
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
b
a
α
b
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 A
α β
m α β
B m C
a a
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直
角三角形 c c
4.根据基本作图作圆
类型 图示
B
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆） A
C
O
A
作三角形的内切圆
O
B C
D
5.尺规作图的关键:
（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
（3）切记作图中一定要保留作图痕迹．
考点二 ： 定义、命题、定理类别 相关内容
定 义 与 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
命题 2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的
事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题
设，“那么”后接的部分是结论．
真 命 1．正确的命题叫做真命题．
题 、 假 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、
命题 证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
逆命题 1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命
题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个
命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
公 理 与 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原
定理 始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进
一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
互 逆 命 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定
题 理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定
理等都是互逆定理．
反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断
定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、
定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．模块二：题型分类
考点一 ： 尺规作图
题型一：尺规作图-作线段
1.如图，已知线段a，b．
（1）请用尺规作图法，在射线OA上作OB=a，OC=b；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，延长BC到点D，使BC=CD．如果线段a，b的长度分别是3cm和4cm，求线
段OD的长度．
2.尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
3.如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．4.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
5.如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，
则∠QPN＝ ．
6.如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
7.已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括
痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
8.（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a−b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．题型二：尺规作图-作角度
题组一：作一个角等于已知角
1.如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．
（保留作图痕迹．不写作法）
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使
∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A． B． C． D．
3.“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线4.如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
5.如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留
作图痕迹，不得使用量角器）
题组二：尺规作角的和、差
1.如图为一副三角尺，其中∠α=60°,∠β=45°，作∠ABC=120°,∠≝=15°．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）2.如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）
(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
3.已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α−∠β．
4.如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规
作图，不写作法，保留作图痕迹）
5.已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作
图痕迹）
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作
1
一点D，使得∠ADE= ∠C．（保留作图痕迹，不写作法）
2题组三：过直线外一点作这条线的平行
1.如图，在 ABC中，AC＝3，AB=5，请用尺规作图法，在BC上求作一点O，使得S AOC：S AOB＝
△ △
3：5．（不△写作法，保留作图痕迹）
2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
(1)尺规作图：过点D作DE∥AB，DE交BC于E；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形ABED是菱形．
3.如上2图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径
作弧，分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为
圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若
∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
4.如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上结论都不正确5.下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，
CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
7.已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴B´C=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．8.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l9.如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上
方．（保留作图痕迹，不写作法）
10.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点
上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
题组四：作角平分线
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．3.如下1图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交
1
AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP
2
交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S :S 的值是（ ）
△BDE △CDE
A．1:2 B．1:√3 C．2:5 D．3:8
4.如上2图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于点
1
D和E；②分别以点D,E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于
2
点G；④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则∠HGB=（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5.如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
6.如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．题型三：尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
1.（1）已知线段m,n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°,CA=m,CB=n；（请用尺规作图，保留作图
痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，
写出已知、求证与证明．）
2.知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个△ABP，使PA=PB；
(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．
3.如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，
不写作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
4.（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和
圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如上图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候
车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹)．5.已知：∠MON，A为射线ON上一点．
1
求作：△AOB，使得点B在射线OM上，且∠BAO= ∠MON．
2
作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E；
②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P；
③连接AP，交射线OM于点B．
所以△AOB就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
1
∴∠PAE= ∠POE．（______）（填写推理的依据）
2
∵在⊙O中，PE=AF，
∴∠MON=______．（______）（填写推理的依据）
1
∴∠BAO= ∠MON．
2
6.我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄
金三角形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．7.如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
5
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为 （画出一个即可）．
2
8.如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺
和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
9.求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，
使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
10.如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要
的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．题型四：尺规作图-作三角形的中线与高
1.在平面直角坐标系中，画出点A(0,2)，点B(4,0)，点C与点A关于x轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．
2.如图，在 △ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC． 请用尺规作图法，在BC边上求作点 D，使
1
AD= BD．（保留作图痕迹，不写作法）
2
3.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知∠a和线段a、b
求作：（1）△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
（2）在（1）的条件下，作AB边上的中线CD．
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得
△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．5.如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）
(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△≝¿；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
6.如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得
S =4S .（保留作图痕迹，不写作法）
△ABC △ADP
8.图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，
在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．(1)网格中∠B的度数是 ___________°；
(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在
1
BC、AB边上，位似比为 ．
3
题型五：尺规作图-作垂直平分线
1.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．
2.如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH>HG B．FH=HG C．EF>FH D．EF=FH
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若
1
CE= AE=1，则CD＝ ．
31
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，
2
两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为 ．
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．按照如下步骤作图：
1
①分别以点A,B为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；
2
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD,BE．
下列说法错误的是( )
1 CE 3
A．AD=DE B．∠CBE= ∠A C．BC2=AC⋅CD D． =
2 CD 51
6.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径作弧，
2
两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______．
(2)求证：四边形AEDF是菱形．
1
7.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交
2
于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=AC，∠A=56°，则∠ACB的度数为
（ ）
A．90° B．93° C．100° D．112°
8.如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数．
9.如图，在▱ABCD中，AC为对角线．
(1)求证：△ABC≌△CDA．
(2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长．
题型六：尺规作图- 画圆
1.已知：如图，A、B、C三个点．求作：⊙O，使⊙O经过A、B、C三点．2.如图，在△ABC中，∠ABC是钝角
(1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
(2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2AB=4AD求证：AB是⊙O的切线
3.已知：△ABC．．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上，
4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB
都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
5.已知：△ABC及AB边上一点E．求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
6.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径．
7.张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，
交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
8.考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要
先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交
CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=√70,BC=4，求⊙O的半径．
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
(1)在AB边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=2√3，求⊙O的半径．题型七：尺规作图-过圆外一点作圆的切线
1.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
2.如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法
和证明）
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)在（1）的条件下，求证：PQ= BD，
2
4.如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，
交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图
痕迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
(3)当点O是AB中点时，请直接写出此时线段DE的长．
题型八：尺规作图-作外接圆
1.已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)作Rt△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图形中，过点C作⊙O的切线CD，求证：∠A＝∠DCB．4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，求作⊙O，使得⊙O经过△ABC的三个
顶点．
题型九：尺规作图-作内切圆
1.如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆⊙O. (只保留作图痕迹，不写作法和证
明)
2.已知：在△ABC及AB边上一点E．求作：⊙O，使它分别于AB，BC相切，且点E为其中一个切点．
3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线．请用尺规作图法，求作△ABC的内切圆．
（保留作图痕迹，不写作法）5.如图，已知△ABC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用
图2）
题型十：尺规作图-作圆内接正多边形
1.如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图
的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
2.已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．3.如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．
4.如图，已知⊙O．
(1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若⊙O半径为6，求A´B的长度（结果保留π）．
5.如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作
图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
6.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作
图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这
个圆锥底面圆的半径等于_______．题型十一：尺规作图-格点作图
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M,Q在格点上，点N为小正方形边的中点，连接MN．
(1)MN的长为_________
(2)点P为线段MN上一点，当∠MPQ=45°时，请用无刻度的直尺在网格中画出点P，并简要说明点P
的位置是如何找到的（不要求证明）
2.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，
仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．
1
(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的 ．
2
1
(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 ．
2
(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．
3.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．4.如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕
迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线CD．
(2)在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使CE=BE．
10
(3)在图③中，在AC边上找一点F，连结BF，使△BFC的面积为 ．
3
5.用无刻度直尺作图：
(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45°；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在BC上作点N，使CN=5BN；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC．
6.如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直
尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
考点二 ： 定义、命题、定理
题型一：命题的判断
1.以下不是命题的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段AB=5cmD．全等三角形对应角相等
2.下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a=b，a=c，那么b=c
3.如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线l平行
B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直
C．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短
D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条
4.下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
题型二：判断命题真假
1.已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的
图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称
轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
2.命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
3.下列命题中是假命题的是（ ）
A．同位角相等 B．单项式3a2b的次数是3
C．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．若三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．相等的弧所对的弦相等 D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是
05.下列命题中的假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形
B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形
C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形
D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形
6.下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
7.下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形
8.下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9.下面a，b的取值，能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣3，b＝﹣5 D．a＝﹣3，b＝5
题型三：举反例说明命题为假命题
1.能说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是 ．
2.能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是 ．
3.要说明命题“若a2>b2，则a>b是假命题”，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=−2，b=−1 C．a=−1，b=−2 D．a=2，b=−1
4.“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，a= ，b=
．5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线．要说明
“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE和△BCD D．△ACD和△BCD
题型四：写出命题的逆命题
1.命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是 ．
2.请写出命题“如果|a|>|b|，那么a>b”的逆命题是 ．
3.下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
4.下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果a=b，那么a2=b2
5.命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
6.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等
题型五：反证法证明中的假设
1.用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设（ ）
A．a与b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a不垂直于c
2.用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
3.用反证法证明“若ab2”时，应假设（ ）
A．a≤b B．a≥b C．a2≤b2 D．a2≥b2
4.命题：已知△ABC，AB=AC．求证：∠B<90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设
（ ）成立
A．AB≠AC B．∠B>90° C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
5.若要运用反证法证明“若a>b>0，则√a<√b”，首先应该假设（ ）
A．√a≥√b B．√a>√b C．√a≤√b D．√a<√b题型六：反证法证明命题
1.求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若AB//CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO'D
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
②依据理论依据1，可得A'B'//CD，
③假设∠AOF≠∠EO'D，
④∴∠AOF=∠EO'D．
⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
2.数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°．
老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
3.阅读下列材料：“为什么√32不是有理数”，完成问题．
证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32=
，则___________．
m
∵n3是2的倍数，
∴____________________，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴_____________，即4t3=m3，
∴__________________，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①8t3=2m3； ②n3=2m3； ③m是2的倍数； ④n是2的倍数．4.在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一
性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充
完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2
∴A'B' ∥CD（ ）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴∠1=∠2．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的
两条直线互相平行．5.阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所
以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m-3=0 有两个实根x 和x ．
1 2
求证：x ≠x ．
1 2
