文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点突破 03 二次函数中的线段、周长与面积
的最值问题及定值问题
目 录
题型01 利用二次函数解决单线段的最值问题
题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题
题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题
题型07 利用二次函数解决图形面积的最值问题
类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题
类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题
类型三 构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题
题型08 利用二次函数解决定值问题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 利用二次函数解决单线段的最值问题
【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：
1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函
数性质求解．求最值时应注意：
①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围
应确定正确．
1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于
点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的
速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y
轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，
M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021·山东泰安·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(−4,0)，B(1,0)，
与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点
D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；
PQ
（3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
QB
4．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(−3,0)，B(1,0)，交y
轴于点C．点P(m,0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，
请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2020·天津·中考真题）已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0）与x
轴的一个交点．
（1）当a=1,m=−3时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直
线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=2√2．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点F的坐标；
√2
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是 ？
2
1
6．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A，B，
4
与y轴交于点C，其中B(3,0)，C(0,−3)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，
Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，
并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
题型 02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：
2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方
法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.
【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.
方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离
为线段AB’的长。
7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴
于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2015·四川自贡·统考中考真题）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且
y=ax2+bx+c(a≠0) x=−1
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的
坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标.
1
9．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
2
1
C，直线y=− x+2过B、C两点，连接AC．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M(3,2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线
BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
3
10．（2023·山东德州·校考一模）如图，已知抛物线y=ax2− x+c与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，与
2
y轴交于点C．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理
由；
(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似
时，求点P的坐标．
11．（2021·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与 BCM相似？若存在；
若不存在，请说明理由． △
1 1
12．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y=− x2+ (m−1)x+m（m是常数，且m>0）的图
4 2
象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、
PA、PC．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)当PA+PC的最小值等于4√5时，求m的值及此时点P的坐标；
(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．
题型 03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决
这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值
方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB
【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为
AB’
13．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，x，y的部分对应值如下表，点
P(t，0)是x轴上一动点．
x … -1 0 1 3 …
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
y … 0 3 m 0 …
(1)表格中m=______，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A，顶点为B，求|PA−PB|的最大值及此时点P的
坐标；
(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=ax2＋bx＋c(x≥0)的图象只有一个公共点，求t
的取值范围．
14．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值
15．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E(1，4)的抛物线
y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为C(0，3)，P是抛物线对称轴右侧图
象上的一点，且在x轴的上方．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当|BD−CD|取得最大值时，求点P的坐标；
(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S ，S ，
1 2
判断2S +S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1 2
16．（2020上·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A，B
两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知△ABC的面积为
2√3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为抛物线对称轴上的点，当PA−PC取最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S :S =1:2时，直接写出点E的坐标．
△BDE △BDP
17．（2019·云南红河·统考一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且对称
轴为x＝1．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．
题型 04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
18．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x
轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(−4,5)两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四
边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是
否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线
y=−x2+bx+c经过A，C(4,−5)两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式：
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若
存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
20．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线y= (x+h) 2+k．点A(−1,2)在抛物线的对称轴
4
( 5)
上，B 0, 是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
4
(1)直接写出h，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为(3,m)，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求
DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
题型 05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题
21．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−3,0),B(1,0)，与y轴交于点
C．
(1)
(2)求抛物线的解析式
(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
22．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1,0)，B(4,0)，与y轴
相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
PA
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求 的值；
PC
1
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB= ？若存在，求出点Q的坐标；
2
若不存在，请说明理由．
4
23．（2023·四川资阳·统考二模）如图，直线y=− x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
3
4
y=− x2+bx+c过A、B两点．
3
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF∥y轴交AB于点F，当△≝¿的
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
周长最大时，求点D的坐标；
(3)G是平面内的一点，在（2）的条件下，将△≝¿绕点G顺时针旋转α得到△D'E'F'，当α=∠OBA时，
△D'E'F'的两个顶点恰好落在抛物线上，求点D'的横坐标．
24．（2023·湖北恩施·统考一模）已知直线y=x−1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线
y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x−1交于D且OB=OC，
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；
(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点P的坐
标．
25．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴
交于点A(−1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，−3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标．
题型 06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题
26．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点F(3,a)是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点
M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图像与y轴交于点C，
(9 )
与x轴交于点A(1,0)、B ,0 ．
2
(1)求a、b的值；
(2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠PAB=∠OCA，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿
6
x轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．
13
28．（2022·安徽六安·校考一模）如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c
经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y 轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作
FG⊥CD于点G；
①若设E（t，0），试用含t的式子表示 DE的长度；
②试求四边形 EFGD的周长取得最大值．
题型 07 利用二次函数解决图形面积的最值问题
【解题思路】抛物线中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：
一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题
29．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，
B两点，A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
30．（2012下·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(−4,0)，
B(0,−4)，C(2,0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关
系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=−x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶
点的四边形为平行四边形（要求PQ∥OB），直接写出相应的点Q的坐标．
31．（2021·河南驻马店·校联考二模）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3，抛物线与x
轴交于A(−2,0)、B两点，与y轴交于点C(0,4)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使△PBC的面积最大？最大面积是多少？
32．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c+(a<0)与x
轴分则点A和点B(1,0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1，且OA=OC，P为抛物线上一动点．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？
若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二 利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题
4
33．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
3
y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的
坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的
菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
轴交于点C，且过点D(2,−3)．点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求ΔPOD面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当ΔOBE与ΔABC相似时，求点Q的坐标．
35．（2018·辽宁阜新·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，
0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
36．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3交x轴于点A(−1,0)，
2
B(3,0)，过点B的直线y= x−2交抛物线于点C．
3
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） 若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直
线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点
A,B，与y轴交于点C，且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段
OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若
存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
1
38．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y= x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交
2
于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)点P(m,n)(0
