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微专题 2 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见
题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高
考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.
考点一 基本初等函数的运算、图象与性质
指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的图
a
象和性质分01两种情况，着重关注两种函数图象的异同.
( 1)
例1 (1)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=log x+ 的图象一定经过( )
a a
A.一、二象限 B.一、三象限
C.二、四象限 D.三、四象限
答案 D
1
解析 当x=0时，y=log =-1，
aa
则当01时，函数图象过一、三、四象限，
( 1)
所以函数y=log x+ 的图象一定经过三、四象限.
a a
(2)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1，+∞) M，则实数a的取值范围是( )
( 1] ⊆
A. -∞，
4
[ 1]
B. 0，
4
( 1] [1 )
C. -∞，- ∪ ，+∞
4 4[1 )
D. ，+∞
4
答案 B
解析 当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意；
当a≠0时，因为函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M，且满足(1，+∞)
M，
由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值y
min
≤ ⊆0，
4a-1 1
当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值 ≤0，即00，即a>2.
若a>2，则当x≥1时，ax-2≥a-2>0，所以f(x)在[1，+∞)上有定义，
再由a>2知ax-2在R上单调递增，所以f(x)在[1，+∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，+∞).
1 1 5
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1，且 - =- ，则a= .
log a log 4 2
8 a
答案 64
1 1
解析 由题知a>1，则log a>0， -
2 log a log 4
8 a
3 1 5
= - log a=- ，
log a 2 2 2
2
整理得(log a)2-5log a-6=0，
2 2
则log a=-1(舍去)或log a=6，
2 2
所以log a=6=log 26，
2 2
故a=26=64.
考点二 函数的零点判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两
个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点个数的判断
( π) π
例2 (2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos 2x+ 的图象向左平移 个单位长度得到，则
6 6
1 1
y=f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为( )
2 2
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
( π) π [ ( π) π] ( π)
解析 因为y=cos 2x+ 向左平移 个单位长度所得函数为y=cos 2 x+ + =cos 2x+ =-sin 2x，
6 6 6 6 2
所以f(x)=-sin 2x，
1 1 ( 1)
而y= x- 显然过 0，- 与(1，0)两点，
2 2 2
1 1
作出y=f(x)与y= x- 的大致图象如图所示，
2 2
3π 3π 7π
考虑2x=- ，2x= ，2x= ，
2 2 2
3π 3π 7π 1 1
即x=- ，x= ，x= 处f(x)与y= x- 的大小关系，
4 4 4 2 2
3π ( 3π) ( 3π)
当x=- 时，f - =-sin - =-1，
4 4 2
1 ( 3π) 1 3π+4
y= × - - =- <-1；
2 4 2 8
3π (3π) 3π
当x= 时，f =-sin =1，
4 4 2
1 3π 1 3π-4
y= × - = <1；
2 4 2 87π (7π) 7π
当x= 时，f =-sin =1，
4 4 2
1 7π 1 7π-4
y= × - = >1.
2 4 2 8
1 1
所以由图可知，f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为3.
2 2
考向2 求参数的值或范围
( x )
例3 (2024·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m) 43-m-1 恰有3个零点，则m的取值范围是
.
答案 (-1，0)∪(0，3)∪(3，4)
( x )
解析 令f(x)=(x2-4x+m) 43-m-1 =0，
得m=-x2+4x或
x
m= 43-1.
x
令g(x)=-x2+4x，h(x)= 43-1，作出两函数的大致图象，如图所示，
这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x) =4，h(x)>-1，
max
所以由图可知m的取值范围是(-1，0)∪(0，3)∪(3，4).
[规律方法] 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)
和y=g(x)恰有一个交点，则a等于( )
1
A.-1 B.
2
C.1 D.2
答案 D
解析 方法一 令f(x)=g(x)，
即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，
令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos x，
原题意等价于当x∈(-1，1)时，
曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
注意到F(x)，G(x)均为偶函数，
可知该交点只能在y轴上，
可得F(0)=G(0)，
即a-1=1，解得a=2，
若a=2，令F(x)=G(x)，
可得2x2+1-cos x=0，
因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，
可得2x2+1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，
则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，
即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
所以a=2符合题意.
方法二 令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)
=ax2+a-1-cos x=h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)=a-2=0，解得a=2，
若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，x∈(-1，1)，
又因为2x2≥0，1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，
所以a=2符合题意.
(2)(2024·茂名模拟)若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin
πx|-f(x)在区间[-1，5]内的所有零点的和是( )
A.20 B.18C.16 D.14
答案 A
解析 若f(x)为R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，且f(x)=f(4-x)，
则f(-x)=f(4-x)，f(x)的周期T=4，
当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，
(1) x
则当x∈[-2，0)时，f(x)= -1，即可画出函数f(x)的图象；
2
函数y=3sin πx的周期是2，最大值为3，把函数y=3sin πx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到
y=3|sin πx|的图象.
由图可知y=f(x)与y=3|sin πx|的图象在区间[-1，5]内一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线x=2对称，
所以g(x)在区间[-1，5]内的所有零点的和是20.
考点三 函数模型及其应用
例4 (1)(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出
n+1
现的概率为P (n)=log ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据
b b n
此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的
倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A.5.5 B.6
C.6.5 D.7
答案 C
解析 由题意，以n开头的数出现的概率为
n+1
P (n)=log ，可得P (1)=lg 2，
b b n 10
10
P (9)=lg =lg 10-lg 9=1-2lg 3，
10 9
P (1) lg2
10
所以 = ≈6.5.
P (9) 1-2lg3
10
(2)(2024·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬
的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y=eax+b(a，b为常数)，若该果蔬在7
℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程
中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( )
A.14 ℃ B.15 ℃C.13 ℃ D.16 ℃
答案 A
{e7a+b=288,
解析 依题意，
e21a+b=32,
1 1
则e14a= ，即e7a= ，显然a<0，
9 3
设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃，
于是eat+b≥96=3e21a+b=e-7a·e21a+b=e14a+b，
解得at+b≥14a+b，因此t≤14，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃.
[易错提醒] 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型.
(2)构建的函数模型有误.
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
跟踪演练3 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”.用声强来度量声音的强弱，
t
假设讲话瞬间发出声音的声强为W
0
，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W
0e
-
τ，
其中τ是一个常
数.把混响时间T 定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间，则T 约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln
R R
5≈1.6)( )
A.6.7τ B.8.3τ
C.13.8τ D.14.8τ
答案 C
T T
解析 由题意，W(T R )=10-6W 0 ，即 e - τ R =10-6，等号两边同时取自然对数得ln e - τ R =ln 10-6，
T
即- R=-6ln 10，
τ
所以T =τ×6ln 10=τ×6×(ln 2+ln 5)≈13.8τ.
R
专题强化练
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，√2)，则f(16)等于( )
A.√2 B.21
C.4 D.
2
答案 C
解析 设幂函数y=f(x)=xα，因为f(x)的图象经过点(2，√2)，
1
所以2α=√2，解得α= ，
2
1 1
所以f(x)= x2， 所以f(16)=1 62=4.
{2x+2-x,x≤2,
2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)= 则f(log 12)等于( )
f(x-1),x>2, 2
10 13
A. B.
3 3
35 37
C. D.
6 6
答案 A
解析 f(log 12)=f(log 12-1)=f(log 6)=f(log 6-1)=f(log 3)
2 2 2 2 2
1 1 10
=2log 2 3+ =3+ = .
2log 2 3 3 3
2
3.函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
x
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
答案 C
2
解析 由题，显然函数f(x)=2x- -a的图象在区间(1，2)内连续，因为f(x)的一个零点在区间(1，2)内，所以
x
f(1)f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，解得01.
c
g g
故lo 1cb0=1，
g
故lo 1c0)，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为R ，则(2T)2=kR3，
1 1
(R ) 3
两式相比得4= 1 ，
R
(R ) 3 R 2ln2
即ln 4=ln 1 ，ln 1= ≈0.462，
R R 3
R
故
1≈e0.462≈1.587，
R
故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587.
{x2-2x+3,x>0,
6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)= 则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是( )
2x,x≤0,
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 C
解析 作出函数y=f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0，2))与函数y=f(x)的图象
交点的个数，由图可知，当a=0时，直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y=ax+2
与函数y=f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点，所以直线y=ax+2
与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点.3
7.(2024·广州模拟)已知a= ，3b=5，5c=8，则( )
2
A.alog
3
5=b，所以a>b，
(lg5) 2
b lg5 lg5 (lg5) 2 4(lg5) 2 (lg25) 2
因为 = × = >(lg3+lg8) 2= = >1，所以b>c，故a>b>c.
c lg3 lg8 lg3×lg8 (lg24) 2 (lg24) 2
2
8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )
1 1
A. B.
8 4
1
C. D.1
2
答案 C
解析 方法一 由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)，
令x+a=0，解得x=-a；
令ln(x+b)=0，解得x=1-b，
若-a≤-b，当x∈(-b，1-b)时，
可知x+a>0，ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不符合题意；
若-b<-a<1-b，当x∈(-a，1-b)时，
可知x+a>0，ln(x+b)<0，
此时f(x)<0，不符合题意；
若-a=1-b，当x∈(-b，1-b)时，
可知x+a<0，ln(x+b)<0，此时f(x)>0；
当x∈[1-b，+∞)时，
可知x+a≥0，ln(x+b)≥0，
此时f(x)≥0，可知-a=1-b，符合题意；
若-a>1-b，当x∈(1-b，-a)时，
可知x+a<0，ln(x+b)>0，
此时f(x)<0，不符合题意，
综上所述，-a=1-b，即b=a+1，
则a2+b2=a2+(a+1)2
( 1) 2 1 1
=2 a+ + ≥ ，
2 2 2
1 1
当且仅当a=- ，b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2
方法二 由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)，
令x+a=0，解得x=-a；
令ln(x+b)=0，解得x=1-b，
则当x∈(-b，1-b)时，ln(x+b)<0，
若f(x)≥0，则x+a≤0，所以1-b+a≤0；
当x∈(1-b，+∞)时，ln(x+b)>0，
若f(x)≥0，则x+a≥0，所以1-b+a≥0；
故1-b+a=0，即b=a+1，
则a2+b2=a2+(a+1)2
( 1) 2 1 1
=2 a+ + ≥ ，
2 2 2
1 1
当且仅当a=- ，b= 时，等号成立，
2 2
1
所以a2+b2的最小值为 .
2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·重庆南开中学统考)若log b<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=log (a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是
a b
( )答案 BC
解析 因为log b<0=log 1，
a a
所以当01，
所以y=ax在定义域上单调递减，且f(x)=ax+b>b>1，当x趋近于+∞时，f(x)趋近于b，
函数g(x)=log (a-x)的定义域为(-∞，a)，
b
且由简单函数μ(x)=a-x，g(μ)=log μ复合而成，
b
由复合函数的单调性可知g(x)=log (a-x)在定义域上单调递减，
b
且当x趋近于a时，g(x)趋近于-∞，故B正确，D错误；
当a>1时，得0b，
当x趋近于-∞时，f(x)=ax+b无限趋近于b<1，
此时g(x)=log (a-x)在(-∞，a)上单调递增，
b
且当x趋近于a时，g(x)趋近于+∞，故C正确，A错误.
10.已知c>0，且2a=3b=5c，则( )
A.a>b>c
B.ac
a b c
D.若a+c=ac，则b=log 10
3
答案 ACD
解析 设2a=3b=5c=k，因为c>0，所以k>1.
对于A，易知a>b>c，选项A正确.
对于C，因为a=log k，b=log k，c=log k，
2 3 5
1 1 1
所以 =log2， =log3， =log5，
a k b k c k
1 1 1
于是 + =log2+log3=log6>log5= ，选项C正确.
a b k k k k c
1 1
对于D，若a+c=ac，则 + =1，即log2+log5=log10=1，则k=10.
a c k k k
则b=log 10，选项D正确.
32 2
对于B，取k=3，则b2=1，由3log 2=log 8<2，知log 2< ，由3log 3=log 27>2知，log 3> ，
3 3 3 3 5 5 5 3
所以log 2b2，选项B错误.
11.(2024·河北省“五个一”名校联盟联考)已知函数f(x)=ex+2x-2，g(x)=2ln x+x-2的零点分别为x ，x ，则(
1 2
)
A.2x
1
+x
2
=2 B.x
1
x
2
=ex 1+ln x
2
4
C.x +x > D.2x x <√e
1 2 3 1 2
答案 ACD
解析 对于A，由题知ex 1+2x -2=0，2ln x +x -2=0，
1 2 2
所以ex 1+2x =2ln x +x =2，即ex 1+2ln ex 1=2ln x +x =2，
1 2 2 2 2
所以ex 1=x ，故2x +x =2x +ex 1=2，故A正确；
2 1 2 1
1
对于B，由f(x)=0，g(x)=0得ex=-2x+2，ln x=- x+1，
2
1
故函数y=ex与y=-2x+2的图象交点的横坐标和y=ln x与y=- x+1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的
2
零点x ，x ，
1 2
1
如图，由图象性质可知0 > ，故C正确；
1 2 2 2 2 2 2 2 3
1
对于D，由A，B得ex 1=x ，01时，y=2log (3x+1)的图象过点A(2，1)，所以1=2log (3×2+1)，解得a=49；
a a
当0
