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微专题 3 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考
查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、
填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等，属综合性问题.
考点一 导数的几何意义与计算
1.导数的几何意义
(1)函数在x=x 处的导数即曲线在点(x ，f(x ))处的切线的斜率.
0 0 0
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上，又在曲线上.
2.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'=y' ·u'.
x u x
例1 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=
.
(2)已知函数f(x)=(x+a)2+ln x的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f(x)在点A，B处的切线都与直
线x+2y=0垂直，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，1-√2) B.(1-√2，0)
C.(-∞，1+√2) D.(0，1+√2)
[易错提醒] 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，
点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
ex+2sinx
跟踪演练1 (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)= ，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所
1+x2
围成的三角形的面积为 ( )
1 1
A. B.
6 3
1 2
C. D.
2 3
(2)过坐标原点作曲线f(x)=ex(x2-2x+2)的切线，则切线共有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
考点二 利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y=f(x)的定义域.
(2)求f(x)的导数f'(x).(3)求出f'(x)的零点，划分单调区间.
(4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号.
a
例2 已知函数f(x)=(x-2)ex+ x2-ax.讨论函数f(x)的单调性.
2
[规律方法] (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视定义域的限制.
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论.
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
跟踪演练2 已知函数f(x)=x[1-ln(kx)].
(1)若f(x)在x=e处的切线与直线y=x垂直，求实数k的值；
(2)讨论f(x)的单调性.
考点三 单调性的简单应用
1.函数f(x)在区间I上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈I上恒成立.
2.函数f(x)在区间I上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈I上有解.
例3 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
(2)(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=(x-1)3+sin(x-1)+5，则不等式f(2x+1)+f(1-x)≥10的解集为 ( )
A.[0，+∞) B.[1，+∞)
C.[2，+∞) D.[3，+∞)
[规律方法] 利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究
函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)=log (2x+2-x)-cos x，设a=f(log 2)，b=f(-1.5)，c=f(3-0.2)，则 ( )
2 3
A.b0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
②当-e0，
所以f(x)在(-∞，ln(-a))，
(1，+∞)上单调递增；
若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)<0，所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减.
③当a=-e时，ln(-a)=1，
对∀x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增.
④当a<-e时，ln(-a)>1，
若x∈(-∞，1)∪(ln(-a)，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增；
若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)<0，所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，
在(1，+∞)上单调递增；
当-e0时，f(x)的定义域为(0，+∞)，令f'(x)=0得x= ，
k
( 1)
当x∈ 0， 时，f'(x)>0，
k
(1 )
当x∈ ，+∞ 时，f'(x)<0，
k
( 1) (1 )
所以f(x)在 0， 上单调递增，在 ，+∞ 上单调递减；
k k
当k<0时，f(x)的定义域为(-∞，0)，
1
令f'(x)=0得x= ，
k
( 1)
当x∈ -∞， 时，f'(x)<0，
k
(1 )
当x∈ ，0 时，f'(x)>0，
k
( 1) (1 )
所以f(x)在 -∞， 上单调递减，在 ，0 上单调递增.
k k
( 1) (1 )
综上所述，当k>0时，f(x)在 0， 上单调递增，在 ，+∞ 上单调递减；
k k
( 1) (1 )
当k<0时，f(x)在 -∞， 上单调递减，在 ，0 上单调递增.
k k
例3 (1)C (2)A
跟踪演练3 (1)C (2)B
