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专题一 微专题 3 导数的几何意义及函数的单调性
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·海口模拟)已知函数f(x)=x3-x+2sin x，则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为( )
A.x-y=0 B.y=1
C.2x+y=0 D.2x-y=0
2.(2024·成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x(1-ln x)，则当x<0时，f(x)的单
调递增区间为( )
A.(-∞，-e) B.(-e，0)
C.(-∞，0) D.(-1，0)
3.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示，则( )
A.g'(-1)<0<f'(-1)
B.f'(-1)<0<g'(-1)
C.g'(3)<f'(3)
D.f'(3)<g'(3)
√3 1
4.(2024·沧州模拟)已知f(x)=3-x2-2cos x，设a=2-0.5，b= ，c=log ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
3 23
A.f(c)>f(a)>f(b)
B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(b)>f(c)>f(a)
D.f(c)>f(b)>f(a)
1 2 a [1 ]
5.已知函数f(x)= x4- x3+ x2-xln x在 ，2 上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为( )
4 3 2 e
(
2e-1]
A. -∞， B.(-∞，2]
e2
(
2e-1)
C. -∞， D.(-∞，2)
e2
6.(2024·临沂模拟)若直线y=ax+1与曲线y=b+ln x相切，则ab的取值范围为( )( 1 ] [ 1 )
A. -∞，- B. - ，0
e3 e3
[ 1 )
C.[-e3，+∞) D. - ，+∞
e3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x ，f(x ))，B(x ，f(x ))两个不同点处的切线相互平行，
1 1 2 2
则下面等式一定不成立的是( )
10
A.x +x =2 B.x +x =
1 2 1 2 3
10
C.x x =2 D.x x =
1 2 1 2 3
8.(2024·济南模拟)已知函数f(x)=sin x·ln x，则( )
A.曲线y=f(x)在x=π处的切线斜率为ln π
B.方程f(x)=2 024有无数个实数根
1
C.曲线y=f(x)上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
e
x2
D.y=f(x)- 在(1，+∞)上单调递减
2
三、填空题(每小题5分，共10分)
3
9.已知函数f(x)=2f'(2)x- x2+ln x，则f(1)= .
4
e ( 1 ) b2+1
10.(2024·张掖模拟)已知函数f(x)=ln x+ex- ，若f +f(b)=0，则 的最小值为 .
x a2 a2+1
四、解答题(共28分)
11.(14分)已知函数f(x)=aln x-x+1(a∈R).
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(6分)
( 1 1 )
(2)对任意的x ，x ∈(0，1]，当x <x 时，都有f(x )-f(x )<4 - ，求实数a的取值范围.(8分)
1 2 1 2 1 2 x x
1 2
12.(14分)(2024·天津模拟)已知f(x)=x+axln x(a∈R).
(1)当a=2时，求f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(6分)
(2)讨论f(x)的单调性.(8分)每小题5分，共10分
13.(2024·池州模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有
限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点
x ，使得f(x )=x ，那么我们称f(x)为“不动点”函数.若f(x)存在n个点x(i=1，2，…，n)，满足f(x)=x，则
0 0 0 i i i
称f(x)为“n型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是( )
A.f(x)=1-ln x
B.f(x)=5-ln x-ex
4ex-2
C.f(x)=
x
D.f(x)=2sin x+2cos x
14.(2024·长沙模拟)若直线y=k (x+1)-1与曲线y=ex相切，直线y=k (x+1)-1与曲线y=ln x相切，则k k 的值为
1 2 1 2
.答案精析
1.A 2.D 3.D 4.B 5.D 6.D
17
7.ACD 8.BCD 9. 10.2√2-2
4
11.解 (1)函数f(x)的定义域为
a a-x
(0，+∞)，f'(x)= -1= .
x x
当a>0时，由f'(x)<0，解得x>a，
由f'(x)>0，解得0<x<a.
即f(x)在(0，a)上单调递增，
在(a，+∞)上单调递减.
( 1 1 )
-
(2)f(x )-f(x )<4 ，
1 2 x x
1 2
4 4
即f(x )- <f(x )- .
1 x 2 x
1 2
4
令g(x)=f(x)- ，
x
因为对任意的x ，x ∈(0，1]，
1 2
当x <x 时，g(x )<g(x )，
1 2 1 2
所以函数g(x)在(0，1]上单调递增.
4 a 4
所以g'(x)=f'(x)+ = -1+ ≥0在(0，1]上恒成立，
x2 x x2
4
即a≥x- 在(0，1]上恒成立，
x
( 4)
只需a≥ x- .
x
max
4
设h(x)=x- ，x∈(0，1]，
x
4
则h'(x)=1+ >0，
x2
4
所以h(x)=x- 在(0，1]上单调递增.所以a≥h(x) =h(1)=1-4=-3.
x max
综上所述，实数a的取值范围为
[-3，+∞).
12.解 (1)当a=2时，f(x)=x+2xln x，
则f(e)=e+2e=3e，
又f'(x)=3+2ln x，
则切线的斜率k=f'(e)=5，
所求切线方程为y-3e=5(x-e)，
即5x-y-2e=0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
1
∵f'(x)=1+aln x+ax· =1+a+aln x.
x
①当a=0时，f'(x)=1>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增.
②当a>0时，
当x∈
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
时，f'(x)>0，
∴函数f(x)在
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
上单调递增；
当x∈
(
0，e
-(1+ 1
a
))
时，f'(x)<0，
∴函数f(x)在
(
0，e
-(1+ 1
a
))
上单调递减.
③当a<0时，
当x∈
(
0，e
-(1+ 1
a
))
时，f'(x)>0，
∴函数f(x)在
(
0，e
-(1+ 1
a
))
上单调递增；
当x∈
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
时，f'(x)<0，
∴函数f(x)在
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
上单调递减.
综上可得，
当a=0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在
(
0，e
-(1+ 1
a
))
上单调递减，在
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
上单调递增；
当a<0时，函数f(x)在
(
0，e
-(1+ 1
a
))
上单调递增，在
(
e
-(1+ 1
a
)
，+∞
)
上单调递减.
13.D [对于A，令f(x)=1-ln x=x(x>0)，即x+ln x-1=0.
1
因为y=x+ln x-1的导数y'=1+ >0，所以y=x+ln x-1在区间(0，+∞)上单调递增，
x
所以f(x)不可能为“3型不动点”函数，故A错误；对于B，
令f(x)=5-ln x-ex=x(x>0)，
即x+ln x+ex-5=0.
易判断y=x+ln x+ex-5在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(x)不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，
4ex-2 4(x-1)ex-2
由f(x)= ，得f'(x)= ，
x x2
易知当x<0时，
f'(x)<0，f(x)单调递减，且f(x)<0，
4ex-2
所以当x<0时，f(x)= 的图象与直线y=x有且只有一个交点；
x
4
当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，且f(1)= >1；
e
当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
4(x-1)ex-2
令f'(x)=1，得 =1，
x2
解得x=2，此时f(2)=2，
4ex-2
所以直线y=x与曲线f(x)= 相切于点(2，2).
x
4ex-2
所以直线y=x与曲线f(x)= 共有两个交点，所以f(x)为“2型不动点”函数，故C错误；
x
对于D，
( π)
f(x)=2sin x+2cos x=2√2·sin x+ ，
4
作出f(x)的图象，如图所示.易知其与直线y=x有且只有三个不同的交点，即2sin x+2cos x=x有三个不同的
解，
所以f(x)=2sin x+2cos x为“3型不动点”函数，故D正确.]14.1
解析 设直线y=k (x+1)-1与曲线y=ex相切于点(x ，ex 1)，直线y=k (x+1)-1与曲线y=ln x相切于点(x ，ln
1 1 2 2
x )，
2
令h(x)=ex，则h'(x)=ex，且直线y=k (x+1)-1过定点(-1，-1)，
1
ex 1+1
则k =ex 1，且k = ，
1 1 x +1
1
所以x ex 1=1.
1
1
令g(x)=ln x，则g'(x)= ，
x
1 ln x +1
2
则k = ，且直线y=k (x+1)-1过定点(-1，-1)，则k = ，
2 x 2 2 x +1
2 2
所以x ln x =1.
2 2
令f(x)=xln x，则f'(x)=1+ln x，
( 1) (1 )
当x∈ 0， 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈ ，+∞ 时，
e e
f'(x)>0，f(x)单调递增，
(1) 1
则f(x) =f =- ，
min e e
且f(1)=0，
当x→0时，f(x)→0，且f(x)<0，
所以当x∈(0，1)时，f(x)<0.
因为f(x )=x ln x =1，
2 2 2
f(ex 1)=x
1
ex 1=1，
即f(x )=f(ex 1)=1>0，
2
所以x ∈(1，+∞)，ex 1∈(1，+∞)，
2
1
所以x =ex 1，故k k =ex 1· =1.
2 1 2 x
2
