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专题一 微专题 2 基本初等函数、函数与方程
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，√2)，则f(16)等于( )
A.√2 B.2
1
C.4 D.
2
{2x+2-x,x≤2,
2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)= 则f(log 12)等于( )
f(x-1),x>2, 2
10 13
A. B.
3 3
35 37
C. D.
6 6
2
3.函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
x
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
4.(2024·绵阳模拟)已知函数y=xa，y=bx，y=logx在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则( )
c
g
A.lo 1c0,
6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)= 则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是( )
2x,x≤0,
A.0 B.1
C.2 D.3
3
7.(2024·广州模拟)已知a= ，3b=5，5c=8，则( )
2
A.a0，且2a=3b=5c，则( )
A.a>b>c
B.ac
a b c
D.若a+c=ac，则b=log 10
3
11.(2024·河北省“五个一”名校联盟联考)已知函数f(x)=ex+2x-2，g(x)=2ln x+x-2的零点分别为x ，x ，则(
1 2
)
A.2x
1
+x
2
=2 B.x
1
x
2
=ex 1+ln x
2
4
C.x +x > D.2x x <√e
1 2 3 1 2
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2024·开封模拟)已知alog 4=1，则2-a= .
913.(2024·广州联考)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的
基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过
天，甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)
x
(√3)
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)为偶函数，满足f(x-3)=f(x+1)，且当-2≤x≤0时，f(x)= -2，若关于x
3
的方程f(x)-2log (3x+1)=0有两个实数解，则a的值为 .
a
每小题5分，共10分
15.[泰勒展开式]苏格兰数学家科林·麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到
x2 x3 x4 xn
了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：ln(1+x)=x- + - +…+(-1)n-1
2 3 4 n
9√3 (√3) n
+…，试根据此公式估计下面代数式2√3+ +…+(-1)n-1 +…(n≥5)的近似值为(参考数据：√3≈1.732
5 n
1，ln 2.732 1≈1.005，ln 3.732 1≈1.317)( )
A.2.322 B.4.785
C.4.755 D.1.005
16.(2024·忻州统考)已知函数f(x)=(x2-6x+m)(ex-3+e3-x-n)的四个零点是以0为首项的等差数列，则m+n=
.答案精析
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C
7.C 8.C 9.BC 10.ACD
11.ACD [对于A，由题知ex 1+2x -2=0，2ln x +x -2=0，
1 2 2
所以ex 1+2x =2ln x +x =2，
1 2 2
即ex 1+2ln ex 1=2ln x +x =2，
2 2
所以ex 1=x ，故2x +x =2x +ex 1=2，故A正确；
2 1 2 1
对于B，由f(x)=0，g(x)=0
1
得ex=-2x+2，ln x=- x+1，
2
1
故函数y=ex与y=-2x+2的图象交点的横坐标和y=ln x与y=- x+1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的
2
零点x ，x ，
1 2
1
如图，由图象性质可知0 > ，故C正确；
1 2 2 2 2 2 2 2 3
对于D，由A，B得ex 1=x ，
2
1
01时，y=2log (3x+1)的图象过点A(2，1)，所以1=2log (3×2+1)，解得a=49；
a a
当0
