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专题一 微专题 2 基本初等函数、函数与方程
(分值：83分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，√2)，则f(16)等于( )
A.√2 B.2
1
C.4 D.
2
{2x+2-x,x≤2,
2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)= 则f(log 12)等于( )
f(x-1),x>2, 2
10 13
A. B.
3 3
35 37
C. D.
6 6
2
3.函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
x
A.(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
4.(2024·绵阳模拟)已知函数y=xa，y=bx，y=logx在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则( )
c
g
A.lo 1c<ba<sin b
2
g
B.lo 1c<sin b<ba
2
g
C.sin b<ba<lo 1c
2
g
D.sin b<lo 1c<ba
2
5.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应
用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间
站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln 2≈0.693，e0.462≈1.587)( )
A.1.587 B.1.442
C.0.587 D.0.442{x2-2x+3,x>0,
6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)= 则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是( )
2x,x≤0,
A.0 B.1
C.2 D.3
3
7.(2024·广州模拟)已知a= ，3b=5，5c=8，则( )
2
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<b<a D.b<c<a
8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )
1 1
A. B.
8 4
1
C. D.1
2
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·重庆南开中学统考)若log b<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=log (a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是
a b
( )
10.已知c>0，且2a=3b=5c，则( )
A.a>b>c
B.ac<b2
1 1 1
C. + >
a b c
D.若a+c=ac，则b=log 10
3
11.(2024·河北省“五个一”名校联盟联考)已知函数f(x)=ex+2x-2，g(x)=2ln x+x-2的零点分别为x ，x ，则(
1 2
)
A.2x
1
+x
2
=2 B.x
1
x
2
=ex 1+ln x
2
4
C.x +x > D.2x x <√e
1 2 3 1 2
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2024·开封模拟)已知alog 4=1，则2-a= .
913.(2024·广州联考)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的
基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过
天，甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)
x
(√3)
14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)为偶函数，满足f(x-3)=f(x+1)，且当-2≤x≤0时，f(x)= -2，若关于x
3
的方程f(x)-2log (3x+1)=0有两个实数解，则a的值为 .
a
每小题5分，共10分
15.[泰勒展开式]苏格兰数学家科林·麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到
x2 x3 x4 xn
了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：ln(1+x)=x- + - +…+(-1)n-1
2 3 4 n
9√3 (√3) n
+…，试根据此公式估计下面代数式2√3+ +…+(-1)n-1 +…(n≥5)的近似值为(参考数据：√3≈1.732
5 n
1，ln 2.732 1≈1.005，ln 3.732 1≈1.317)( )
A.2.322 B.4.785
C.4.755 D.1.005
16.(2024·忻州统考)已知函数f(x)=(x2-6x+m)(ex-3+e3-x-n)的四个零点是以0为首项的等差数列，则m+n=
.答案精析
1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C
7.C 8.C 9.BC 10.ACD
11.ACD [对于A，由题知ex 1+2x -2=0，2ln x +x -2=0，
1 2 2
所以ex 1+2x =2ln x +x =2，
1 2 2
即ex 1+2ln ex 1=2ln x +x =2，
2 2
所以ex 1=x ，故2x +x =2x +ex 1=2，故A正确；
2 1 2 1
对于B，由f(x)=0，g(x)=0
1
得ex=-2x+2，ln x=- x+1，
2
1
故函数y=ex与y=-2x+2的图象交点的横坐标和y=ln x与y=- x+1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的
2
零点x ，x ，
1 2
1
如图，由图象性质可知0<x < ，1<x <2，
1 2 2
又由A得ex 1=x ，故x =ln x ，
2 1 2
所以x x =x ex 1<ex 1<ex 1+x =ex 1+ln x ，故B错误；
1 2 1 1 2
对于C，由2ln x +x =2，
2 2
x =ln x 以及1<x <2得，
1 2 2
2ln x +2x 1 3 4
x +x =ln x +x = 2 2=1+ x > > ，故C正确；
1 2 2 2 2 2 2 2 3
对于D，由A，B得ex 1=x ，
2
1
0<x
1
<
2
，2x
1
=2-ex 1<1，
所以2x x =2x ex 1=(2-ex 1)ex 1<ex 1<√e，故D正确.]
1 2 1
1
12.
3
解析 由alog 4=1可得4a=9，
9
1
即(2a)2=9，2a=3，故2-a= .
3
13.100解析 令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n，(1-1%)n，
(1+2%) n
依题意， =20，
(1-1%) n
(102) n
即 =20，
99
102
两边取对数得nlg =lg 20，
99
1+lg2 1+0.301 0
因此n= ≈ ≈100，
lg102-lg99 2.008 6-1.995 6
所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
1
14.49或
169
解析 由f(x-3)=f(x+1)可得f(x)=f(x+4)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
x
(√3)
又f(x)为偶函数，且f(x)= -2(-2≤x≤0)，故可作出函数f(x)的图象如图所示，
3
若关于x的方程f(x)-2log (3x+1)=0有两个实数解，
a
则y=f(x)与y=2log (3x+1)的图象有两个交点，
a
当a>1时，y=2log (3x+1)的图象过点A(2，1)，所以1=2log (3×2+1)，解得a=49；
a a
当0<a<1时，
y=2log (3x+1)的图象过点B(4，-1)，
a
所以-1=2log (3×4+1)，
a
1
解得a= ，
169
1
综上所述，a的值为49或 .
169
x2 x3 x4 xn
15.C [将x=√3代入ln(1+x)=x- + - +…+(-1)n-1 +…，
2 3 4 n
(√3) 2 (√3) 3 (√3) 4 (√3) 5 (√3) n
得ln(1+√3)=√3- + - + +…+(-1)n-1 +…
2 3 4 5 n
3 3√3 9 9√3 (√3) n
=√3- + - + +…+(-1)n-1 +…
2 3 4 5 n
15 9√3 (√3) n
=- +2√3+ +…+(-1)n-1· +…≈ln 2.732 1≈1.005，
4 5 n9√3 (√3) n
所以2√3+ +…+(-1)n-1· +…≈4.755.]
5 n
1 1
16.e+ 或8+e3+
e e3
解析 因为f(x)=(x2-6x+m)·(ex-3+e3-x-n)=[(x-3)2+m-9]·(ex-3+e3-x-n)，
所以f(6-x)=[(3-x)2+m-9]·(e3-x+ex-3-n)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=3对称，
令f(x)=0得x2-6x+m=0或ex-3+e3-x-n=0，
由题意这两个方程各有两个不相等的实数根，且四个根是以0为首项的等差数列，
①若0为x2-6x+m=0的一个根，则另一个根为6，则m=0，
6-0
又f(x)的图象关于直线x=3对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 =2，
3
所以ex-3+e3-x-n=0的两根为2，4，所以e2-3+e3-2-n=0，
1 1
所以n=e+ ，所以m+n=e+ ；
e e
②若0为ex-3+e3-x-n=0的一个根，则另一个根为6，
1
则e-3+e3-n=0，即n=e3+ ，
e3
6-0
又f(x)的图象关于直线x=3对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 =2，
3
所以x2-6x+m=0的两根为2，4，所以m=2×4=8，
1
所以m+n=8+e3+ .
e3
1 1
综上，m+n=e+ 或m+n=8+e3+ .
e e3
