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微专题 2 基本初等函数、函数与方程
[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见
题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高
考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.
考点一 基本初等函数的运算、图象与性质
指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=log x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的
a
图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同.
( 1)
例1 (1)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=log x+ 的图象一定经过 ( )
a a
A.一、二象限 B.一、三象限
C.二、四象限 D.三、四象限
(2)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=2ax2-x+1的值域为M.若(1，+∞) M，则实数a的取值范围是 ( )
( 1] [ 1] ⊆
A. -∞， B. 0，
4 4
( 1] [1 ) [1 )
C. -∞，- ∪ ，+∞ D. ，+∞
4 4 4
[规律方法] (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问
题时，首先要看底数a的取值范围.
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.
跟踪演练1 (1)(2024·湖北宜荆荆随恩模拟)已知函数f(x)=log (ax-2)在[1，+∞)上单调递增，则a的取值
5
范围是 ( )
A.(1，+∞) B.[ln 2，+∞)
C.(2，+∞) D.[2，+∞)
1 1 5
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1，且 - =- ，则a= .
log a log 4 2
8 a
考点二 函数的零点
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)=0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两
个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
考向1 函数零点个数的判断例2 (2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos
( π) π 1 1
2x+ 的图象向左平移 个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y= x- 的交点个数为 (
6 6 2 2
)
A.1 B.2
C.3 D.4
考向2 求参数的值或范围
( x )
例3 (2024·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m) 43-m-1 恰有3个零点，则m的取值范围是
.
[规律方法] 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
跟踪演练2 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)
和y=g(x)恰有一个交点，则a等于 ( )
1
A.-1 B.
2
C.1 D.2
(2)(2024·茂名模拟)若f(x)为R上的偶函数，且f(x)=f(4-x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-1，则函数g(x)=3|sin
πx|-f(x)在区间[-1，5]内的所有零点的和是 ( )
A.20 B.18
C.16 D.14
考点三 函数模型及其应用
例4 (1)(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出
n+1
现的概率为P (n)=log ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此
b b n
定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的
倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) ( )
A.5.5 B.6
C.6.5 D.7
(2)(2024·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬
的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y=eax+b(a，b为常数)，若该果蔬在7
℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程
中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过 ( )A.14 ℃ B.15 ℃
C.13 ℃ D.16 ℃
[易错提醒] 构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型.
(2)构建的函数模型有误.
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
跟踪演练3 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”.用声强来度量声音的强弱，
t
假设讲话瞬间发出声音的声强为W
0
，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)=W
0e
-
τ
，其中τ是一个常数.
把混响时间T 定义为声音的声强衰减到原来的10-6所需的时间，则T 约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln
R R
5≈1.6) ( )
A.6.7τ B.8.3τ
C.13.8τ D.14.8τ答案精析
例1 (1)D (2)B
跟踪演练1 (1)C (2)64
例2 C
例3 (-1，0)∪(0，3)∪(3，4)
( x )
解析 令f(x)=(x2-4x+m)· 43-m-1 =0，
x
得m=-x2+4x或m= 43-1.
x
令g(x)=-x2+4x，h(x)= 43-1，作出两函数的大致图象，如图所示，
这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x) =4，h(x)>-1，
max
所以由图可知m的取值范围是(-1，0)∪(0，3)∪(3，4).
跟踪演练2 (1)D [方法一
令f(x)=g(x)，
即a(x+1)2-1=cos x+2ax，
可得ax2+a-1=cos x，
令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos x，
原题意等价于当x∈(-1，1)时，
曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，
注意到F(x)，G(x)均为偶函数，
可知该交点只能在y轴上，
可得F(0)=G(0)，
即a-1=1，解得a=2，
若a=2，令F(x)=G(x)，
可得2x2+1-cos x=0，
因为x∈(-1，1)，
则2x2≥0，1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，
可得2x2+1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，
即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意.
方法二 令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)
=ax2+a-1-cos x=h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)=a-2=0，解得a=2，
若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，
x∈(-1，1)，
又因为2x2≥0，1-cos x≥0，
当且仅当x=0时，等号成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，
所以a=2符合题意.]
(2)A
例4 (1)C (2)A
跟踪演练3 C
