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微专题 1 函数的图象与性质
[考情分析] 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、
函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以
上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题
相结合命题.
考点一 函数的概念与表示
1.复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
2.分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
例1 (1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是( )
A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+√3-x的定义域为(2，3]
B.函数f(x)=x2的定义域A R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个
(1 ⊆)
C.若函数f(lg x)=x，则f =√10
2
x-2
D.函数y= 的值域为{y|y≠1}
x+1
答案 ACD
{2x-3>1, {x>2,
解析 对于A，由题可知， ⇒ ⇒20,
跟踪演练1 (1)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)= 0,x=0, 则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(
-1,x<0,
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
{
1,x>0,
解析 因为sgn(x)= 0,x=0,
-1,x<0,
1
当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时，取x=- ，则ex-1<0，-x+1>0，
2
此时sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立；当x>1时，ex-1>0，-x+1<0，所以sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1-1=0，即必要性成立，
所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件.
{log (2x2+1),x≥0,
(2)已知a>0，且a≠1，函数f(x)= a 若f(f(-1))=2，则a= ，f(x)≤4的解集
ax,x<0,
为 .
( √6]
答案 √2 -∞，
2
解析 由题可知，f(f(-1))=f(a-1)=log (2a-2+1)=2，
a
则a2=2a-2+1，即a4-a2-2=0，
解得a2=2，故a=√2(舍负).
当x≥0时，f(x)=log (2x2+1)≤4，
√2
√6
解得0≤x≤ ；
2
当x<0时，f(x)=(√2)x≤4恒成立.
( √6]
故不等式的解集为 -∞， .
2
考点二 函数的图象
1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对
称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.
考向1 函数图象的识别
例2 (2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]上的大致图象为( )
答案 B
解析 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，( 1) ( 1) π e 1 1 1
又f(1)=-1+ e- sin 1>-1+ e- sin = -1- > - >0，
e e 6 2 2e 4 2e
故可排除D.
考向2 函数图象的变换及应用
{ 2x,x≤1,
例3 (1)(2024·长沙统考)已知函数f(x)= log x,x>1,则f(2-x)的图象是( )
1
2
答案 C
解析 设g(x)=f(2-x)，则g(1)=f(1)=2，从而排除ABD.
{|sin πx|,0≤x≤2,
(2)(2024·渭南模拟)已知f(x)= 若存在实数x ，x ，x ，x ，x 且x 0.
g'(x)=(x+5)ex，当x<-5时，g'(x)<0，g(x)在(-∞，-5)上单调递减；
当-50，g(x)在(-5，0)上单调递增.
1
所以g(x) =g(-5)=- ，且g(x)0，与图象不符，故A错误；对于选项B，因为f(1)= >0，与图象不符，
8 10
ln2
故B错误；对于选项C，因为f(1)= >0，与图象不符，故C错误.
2
xcosx
(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)= ，则函数y=f(x-1)+1的图象( )
ex+e-x
A.关于点(1，1)对称
B.关于点(-1，1)对称
C.关于点(-1，0)对称
D.关于点(1，0)对称
答案 Axcosx -xcosx
解析 因为f(x)= ，所以f(-x)= =-f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，
ex+e-x e-x+ex
函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函
数y=f(x-1)+1的图象关于点(1，1)对称.
考点三 函数的性质
1.函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.
3.函数的周期性
若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)，则函数y=f(x)的周期为2|a|.
4.函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
a+b
(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
考向1 单调性与奇偶性
(1) -0.8 ((1) -0.8 )
例4 已知定义在R上的函数f(x)=ex-e-x，设a=20.7·f(20.7)，b= ·f ，c=-
2 2
log 1.25·f(log 0.8)，则a，b，c的大小关系是( )
0.7 0.7
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
答案 A
解析 令F(x)=xf(x)(x∈R)，因为
F(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=F(x)，
所以F(x)为偶函数.
F'(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)，
因为当x≥0时，ex-e-x≥e0-e-0=0，x(ex+e-x)≥0，此时F'(x)≥0，
所以F(x)在[0，+∞)上单调递增.
因为a=20.7·f(20.7)=F(20.7)，
(1) -0.8 ((1) -0.8 ) ((1) -0.8 )
b= ·f =F ，
2 2 2
c=-log 1.25·f(log 0.8)=log 1.25-1·f(log 0.8)=log 0.8·f(log 0.8)=F(log 0.8)，
0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7(1) -0.8
因为 =20.8>20.7>1，
2
020.7>log 0.8>0，
2 0.7
((1) -0.8 )
所以F >F(20.7)>F(log 0.8)，即b>a>c.
2 0.7
考向2 奇偶性与周期性、对称性
例5 (多选)(2024·三门峡模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，且g(x)=f'(x)，若∀x∈R，f(x)=f(6-x)，
g(4+x)=g(4-x)，则( )
A.f(-2)=f(8)
B.g(-1)+g(3)=2
2025
C. Σ g(i)=0
i=1
D.f(0)+f(4)=2
答案 AC
解析 因为f(x)=f(6-x)，所以f(x)的图象关于直线x=3对称.
令x=-2，得f(-2)=f(8)，故A项正确；
因为f(x)=f(6-x)，所以f'(x)=-f'(6-x)，即g(x)=-g(6-x)，
所以g(4+x)=-g(2-x)，因为g(4+x)=g(4-x)，所以g(4-x)=-g(2-x)，
即g(x+2)=-g(x)，所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，则g(x)的一个周期为4.
因为f(x)的图象关于直线x=3对称，所以x=3是f(x)的一个极值点，
所以g(3)=f'(3)=0，所以g(-1)=g(3)=0，
则g(-1)+g(3)=0，故B项错误；
由g(x+2)=-g(x)，得g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0，
即g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0，g(1)=0.
2025
所以 Σ g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)=0，故C项正确；
i=1
设h(x)=f(x)+c(c为常数)，定义域为R，
则h'(x)=f'(x)=g(x)，h(3+x)=f(3+x)+c，h(3-x)=f(3-x)+c，
又f(3+x)=f(3-x)，所以h(3+x)=h(3-x)，显然h(x)=f(x)+c也满足题设，
即f(x)上、下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的值不确定，故D项错误.
( 1 )
[二级结论] (1)若f(x+a)=-f(x) 或f(x+a)= ，其中f(x)≠0 ，则f(x)的周期为2|a|.
f(x)(2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的周期为2|a-b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的周期为4|a-b|.
跟踪演练3 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x ，x ∈[0，+∞)，且x ≠x ，有
1 2 1 2
f(x )-f(x )
1 2
>0，若f(1)=0，则不等式(x-1)f(x)>0的解集是( )
x -x
1 2
A.(-1，1)∪(1，+∞)
B.(-1，1)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(0，1)
答案 A
解析 已知f(x)是定义在R上的偶函数，
则f(x)=f(-x)，
又对任意x ，x ∈[0，+∞)，且x ≠x ，
1 2 1 2
f(x )-f(x )
1 2
都有 >0，
x -x
1 2
所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，
则函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，
又f(1)=0，所以f(-1)=f(1)=0，
{x-1>0, {x-1<0,
根据函数f(x)的单调性可知，(x-1)f(x)>0等价为 或
f(x)>0 f(x)<0,
{ x>1, { x<1,
即 或
x>1或x<-1 -11或-10,
解得-10，且x趋近0时，x+ >0，cos x>0，
x
所以f(x)>0，故C错误；
( 1) ( 1)
当x=π时，f(π)= π+ cos π=- π+ <0，故B错误.
π π
{-x2-2ax-a,x<0,
4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是( )
ex+ln(x+1),x≥0
A.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，1] D.[0，+∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R上单调递增，
且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
{
-2a
- ≥0,
则需满足
2×(-1)
-a≤e0+ln1,
解得-1≤a≤0，
即a的取值范围是[-1，0].
1
5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=- ，当x∈(2，4)时，f(x)=1+log x，则f(99)等
f(x) 3
于( )
A.1 B.21
C.- D.-2
2
答案 B
1
解析 因为f(x+2)=- ，
f(x)
1
1
所以f(x+4)=- =- 1 =f(x)，
f(x+2) -
f(x)
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log 3=2.
3
6.(2024·长春模拟)已知函数f(x)=|3x-3-x|，则不等式f(2x-1)-f(x)>0的解集为( )
( 1) ( 1)
A. -∞， ∪(1，+∞) B. -∞，
3 3
(1 )
C. ，1 D.(1，+∞)
3
答案 A
解析 f(x)=|3x-3-x|，定义域为R，
又f(-x)=|3-x-3x|=f(x)，故f(x)为偶函数；
又当x>0时，y=3x，y=-3-x均单调递增，
故g(x)=3x-3-x在(0，+∞)上单调递增；
又g(0)=0，故当x>0时，g(x)>0，则f(x)=g(x)在(0，+∞)上单调递增，故当x<0时，f(x)单调递减，
f(2x-1)-f(x)>0，即f(2x-1)>f(x)，
则|2x-1|>|x|，
即(2x-1)2>x2，3x2-4x+1>0，
即(3x-1)(x-1)>0，
( 1)
解得x∈ -∞， ∪(1，+∞).
3
7.(2024·保定模拟)若函数y=f(x)-1是定义在R上的奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1)等于( )
A.3 B.2
C.-2 D.-3
答案 A
解析 设F(x)=f(x)-1，则F(x)+F(-x)=0，即f(x)-1+f(-x)-1=0，
即f(x)+f(-x)=2，所以f(1)+f(-1)=2.
因为F(0)=f(0)-1=0，所以f(0)=1，
所以f(-1)+f(0)+f(1)=2+1=3.8.(2024·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)，则下列结论一定成立的是( )
A.f(1)=1
B.f(x)为偶函数
C.f(x)有最小值
D.f(x)在[0，1]上单调递增
答案 C
解析 由于函数f(x)的定义域为R，且yf(x)-xf(y)=xy(x-y)，
令y=1，则f(x)-xf(1)=x(x-1)，得f(x)=x2+[f(1)-1]x，
当x=1时，f(1)=12+[f(1)-1]恒成立，无法确定f(1)=1，A不一定成立；
由于f(1)=1不一定成立，故f(x)=x2+[f(1)-1]x不一定为偶函数，B不一定成立；
1
由于f(x)=x2+[f(1)-1]x的对称轴为x=- ·[f(1)-1]与[0，1]的位置关系不确定，
2
故f(x)在[0，1]上不一定单调递增，D不一定成立；
由于f(x)=x2+[f(1)-1]x表示开口向上的抛物线，故函数f(x)必有最小值，C一定成立.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
( 2 )
9.关于函数f(x)=lg -1 ，下列说法正确的有( )
1-x
A.f(x)的定义域为(-1，1)
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于原点对称
D.f(x)在(0，1)上单调递增
答案 ACD
( 2 ) 1+x 1+x
解析 因为f(x)=lg -1 =lg ，则 >0，解得-10时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0，
由f(x)在R上单调递减，且f(0)=0可知，
xf(x)<0的解集为{x|x≠0}，故C错误；
对于D，f(m-1)<0，即f(m-1)0，解得m>1，故D错误.
11.(2024·赣州模拟)函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，f(x+1)和g(2x-1)都是奇函数，则( )
A.g(x)的图象关于直线x=-1对称
B.f(x)的图象关于点(1，0)对称
C.g(x)是周期函数
2024
D. Σ g(i)=2 024
i=1
答案 BC
解析 对于A，因为g(2x-1)是奇函数，所以g(-2x-1)=-g(2x-1)，
则有g(-x-1)=-g(x-1)，g(x)的图象关于点(-1，0)对称，故A错误；
对于B，f(x+1)是奇函数，其图象关于原点对称，
f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后可得f(x)的图象，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；
对于C，因为f(x+1)是奇函数，所以f(-x+1)=-f(x+1)，
所以-f'(-x+1)=-f'(x+1)，所以f'(-x+1)=f'(x+1)，
所以g(-x+1)=g(x+1)，所以g(-x+2)=g(x)， ①
因为g(-x-1)=-g(x-1)，所以g(x)=-g(-x-2)， ②
由①②可得，g(-x+2)=-g(-x-2)，所以g(x)=-g(x-4)，
所以g(x+4)=-g(x)，g(x+8)=-g(x+4)=g(x)，
所以8是函数g(x)的一个周期，所以g(x)是周期函数，故C正确；
对于D，因为g(x+4)=-g(x)，所以g(1)=-g(5)，g(2)=-g(6)，g(3)=-g(7)，g(4)=-g(8)，
所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=0，
2024
而 Σ g(i)=253[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]=0，故D错误.
i=1
三、填空题(每小题5分，共15分)
1-aex
12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)= sin x为偶函数，则a= .
1+ex
答案 1
1-aex
解析 由f(x)= sin x，
1+ex
1-ae-x
得f(-x)= sin(-x)，
1+e-x
因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，
1-ae-x 1-aex
即 sin(-x)= sin x，
1+e-x 1+ex
1-ae-x a-ex 1-aex
所以- = = ，解得a=1.
1+e-x 1+ex 1+ex
{lnx+2x,x>0,
13.已知函数f(x)= 2 若x∈[-1，1]，则f(x)的值域为 ；若f(x)在(a，a+1)上单调
,x≤0,
1-x
递增，则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞，2] (-∞，-1]∪[0，+∞)
解析 当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，
故当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]，
因为f(x)在(-∞，0]，(0，+∞)上分别单调递增，
若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0.
14.(2024·三明模拟)已知函数f(x)=ex-1-e1-x+x3-3x2+3x，则f(x+1)+f(1-x)= ，若实数x，y满足
f(3x2)+f(2y2-4)=2，则x+y的最大值为 .
答案 2 √5
解析 f(x+1)=ex-e-x+(x+1)3-3(x+1)2+3(x+1)=ex-e-x+x3+1，
f(-x+1)=e-x-ex+(-x+1)3-3(-x+1)2+3(-x+1)=e-x-ex-x3+1，
则f(x+1)+f(-x+1)=2，
又因为f(3x2)+f(2y2-4)=2，
所以3x2+2y2-4=2，即3x2+2y2=6，设x+y=t，
则直线x+y=t与椭圆3x2+2y2=6有交点，
{ x+ y=t,
联立
3x2+2y2=6,
得5x2-4tx+2t2-6=0，
则Δ=16t2-20(2t2-6)≥0，解得-√5≤t≤√5，
所以x+y的最大值为√5.
每小题5分，共10分
{1 m
,x是有理数 (m,n是互质的正整数),
15.(2024·温州模拟)已知定义在(0，1)上的函数f(x)= n n 则下列结
1,x是无理数,
论正确的是( )
1
A.f(x)的图象关于直线x= 对称
2
(1 1)
B.f(x)的图象关于点 ， 对称
2 2
C.f(x)在(0，1)上单调递增
D.f(x)有最小值
答案 A
( 1) ( 3)
解析 对于BC，由题意可知，f √2- =f -√2+ =1，
2 2
(1 1) 3 1
显然f(x)的图象不关于点 ， 对称，而-√2+ <√2- ，故B，C错误；
2 2 2 2
1
对于D，若x为有理数，则f(x)= ，
n
显然当n→+∞时，f(x)→0，函数无最小值，故D错误；
m (m) 1 (n-m)
对于A，若x= 是有理数，即m，n(m1，
则m=k(b-a)，n=kb，所以m，n不互质，此时与假设矛盾，所以n-m，n也互质.|ab| |ab|
16.(2024·安阳模拟)我们称 为“二阶行列式”，规定其运算为 =ad-bc.已知函数f(x)的定义域为(-∞，
cd cd
|xf(y)|
0)∪(0，+∞)，且f(x)≠0，若对定义域内的任意x，y都有 =0，则( )
yf(x)
A.f(1)=1 B.f(x)是偶函数
C.f(x)是周期函数 D.f(x)没有极值点
答案 D
|xf(y)|
解析 由 =0，
yf(x)
得xf(x)-yf(y)=0，(*)
f(1)
令y=1代入(*)式，得xf(x)-f(1)=0，且x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，得f(x)= ，
x
1
对于A，取f(x)=- ，显然满足(*)式，此时f(1)=-1，故A错误；
x
对于B，f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(1) f(1)
则f(-x)= =- =-f(x)成立，
-x x
所以f(x)是奇函数，故B错误；
对于C，假设非零常数T为函数f(x)的周期，即f(x+T)=f(x)，
f(1) f(1)
则f(x+T)= = =f(x)，其中f(1)≠0，
x+T x
即得x+T=x，T=0，这与假设T为非零常数矛盾，
所以f(x)不是周期函数，故C错误；
f(1) f(1)
对于D，由于f(x)= ，则f'(x)=- ，显然f'(x)=0没有实数解，所以f(x)没有极值点，故D正确.
x x2
