文档内容
第 06 讲 对数与对数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算； 高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念； 高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 对数与对数函数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、对数的概念（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以 10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；
③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知 ，则不等式 成立 ( )
【答案】错误
若 ，则满足 ，而 无意义，所以错误，
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） ( )
【答案】错误
.
故答案为：错误
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习） .( )
【答案】正确
.故正确.
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若 则( )
【答案】错误
因 ，则 ，
所以命题不正确.
故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A. 函数 的定义域为 ，值域为R；
B. 函数 的定义域为R，值域为 ；
C. 函数 的定义域为R，值域为R；
D. 函数 的定义域为 ，值域为 ，
故选：C
2．（2022·海南·模拟预测）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解:由 在 单调递减，得 ，即 ；
，即 ；
由 在R上单调递减，得 ，即 ；
即 .
故选:A.
3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
由 ，由于 ，而 ，故不等式
成立的一个充分不必要条件是 ，A选项是充要条件，B选项是既不充分也不必要条
件，C选项是必要不充分条件.
故选：D.
4．（2022·陕西西安·高一期末）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
的定义域为 ，
，所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误.
，所以B选项错误.
故选：C5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意， 且 ，所以函数的定义域为 .
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：对数的运算
1．（2022·甘肃平凉·二模（文）） ______．
【答案】
．
故答案为： .
2．（2022·北京师大附中高一期末） ______________．
【答案】
原式 .
故答案为： .
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算 ______.
【答案】7
解：.
故答案为：7.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
(1) ；(2) ；(3) ．
【答案】(1)7；(2) ；(3)0.
(1)
由 .
(2)
由 .
(3)
由 .
高频考点二：换底公式
1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
.
故选：C
2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知 ， ，用 ， 表示 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D由题意知 ，
故选:D．
3．（2022·山东济南·二模）已知 ， ，那么 用含a、b的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由换底公式， .
故选：B.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算： ________.
【答案】
原式 .
故答案为： .
高频考点三：对数函数的概念
1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 满足①定义域为 ；②值域为 ；
③ .写出一个满足上述条件的函数： ___________.
【答案】 （答案不唯一）
因为 满足①定义域为 ；②值域为 ；
，
所以 符合题意，
故答案为： ，（答案不唯一）.
2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f( )＝________.
【答案】－1设f(x)＝logax，则loga3＝－2，∴a－2＝3，
∴a＝ ，∴f（x）＝ ,
∴f( )＝ ＝－1.
故答案为：－1
3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数 在 上单调递增，且
”的一个函数 ___________.
【答案】
是对数函数模型， 满足条件.
故答案为： ．
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=________.
【答案】2
因为函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，、
所以a2+a-5=1得 或a=2
又a>0且a≠1，所以a=2.
故答案为：2
高频考点四：对数函数的定义域
1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f（x）= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（-∞，2） D．（0， ）
【答案】B
，解得
故选：B
2．（2022·四川·模拟预测（文））函数 的定义域为___________.【答案】
由已知可得 ，即 ，可得 ，解得 .
故原函数的定义域为 .
故答案为： .
3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数 的定义域为________.
【答案】 ##
由题意知 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数 定义域为R，则实数k的取值范围为______.
【答案】
解：因为函数 定义域为R，
所以 在R上恒成立，
所以 ，解得 .
故答案为： .
5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数 的定义域为_____________．
【答案】
【解析】要使函数 有意义，则有 ，即 ，解得
故答案为：
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 上的值域为_______________________．
【答案】
函数 在定义域上单调递增.
当 时， ;
当 时， ，
，
所以 的值域为 .
故答案为：
2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数 ．
(1)求 在区间 上的值域；
【答案】(1) (2)
(1)
∵ ，
∴ 在 上单调递增，∴ ．
3．（2022·全国·高一课时练习）求函数 的值域.【答案】
为增函数， ， ，
所以函数的值域为 .
②求对数型复合函数的值域
1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y＝2＋log (x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
2
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】C
令 ，
又因为 在 上递增，
所以 ，
所以y＝2＋log (x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)，
2
故选：C
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数 的值域是________．
【答案】 ##
，而 在定义域上递减，
，无最小值，
函数的值域为 ．
故答案为： .
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数 （a>0且a≠1）的图象过点 .
(1)求a的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最小值.
【答案】(1) ，定义域 (2)(1)
的图象过点 ，可得：
解得：
则有：
定义域满足：
解得：
故 的定义域为
(2)
令 ，
故当x=3时，
可得：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；
【答案】
解： ，
令 ，由 ，则 ，
所以有 ， ，
所以当 时， ，当 时，
所以函数 的值域为 .
③根据对数函数的值域求参数值或范围1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数 的值域为 ，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．9 D．27
【答案】C
解：因为函数 的值域为 ，所以 的最小值为 ，所以 ；
故选：C
2．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数 在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是
___________.
【答案】
若 ， 在 上单调递减，则 ，不符合题意；
若 ， 在 上单调递增，则 ，当值域为 时，可知 ，解
得 .
故答案为：
3．（2022·全国·高一阶段练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为______．
【答案】
解：由题可知，函数 的值域为 ，
令 ，由题意可知 为函数 的值域的子集.
①当 时， ，此时 ，
函数 的值域为 ，合乎题意；
②当 时，若 为函数 的值域的子集，
则 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数 有最小值，则a的取值范围
为______．
【答案】
当 时，外层函数 为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数 ，
，又 ，所以 ；
当 时，外层函数 为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数 ，
则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 的值域为R，求实数 取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
(1)
当 时， ，
∵ ，∴ ，
∴函数 的值域 ；
(2)
要使函数 的值域为R，则 的值域包含 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴实数 取值范围为 .
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
1．（2022·广东汕尾·高一期末）当 时，在同一平面直角坐标系中， 与 的图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为 ，故AD错误；BC中，又因为 ，所以 ，故C错误，B正确.
故选：B2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数 为 上的减函数，排除AB选项，
函数 的定义域为 ，
内层函数 为减函数，外层函数 为增函数，
故函数 为 上的减函数，排除D选项.
故选：C.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知 （ 且 ， 且 ），则函数 与
的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
∵ （ 且 ， 且 ），
∴ ，∴ ，
∴ ，函数 与函数 互为反函数，
∴函数 与 的图象关于直线 对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
②根据对数（型）函数的图象判断参数
1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋
∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，若 有两解，则a的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
由条件可知 且 ，当 时， ，解得： ，成立，
当 时，若 ， ， ， ，
有解，则 ，
如图，
当 时，有交点， 越大， 越小， 越大，当 时， ，
故选：D
3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数 的图象如图所示，则
满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A由图易得 ， ；取特殊点 ，
， ．选A．
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知 ，若方程 有四个根
且 ，则 的取值范围是______.
【答案】
由题意，作出函数 的图象，如图所示，
因为方程 有四个根 且 ，
由图象可知 ， ，可得 ，
则 ，
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .③对数（型）函数图象过定点问题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数 的图象一定过定点
__________.
【答案】
令 ，则
所以
所以 过定点
故答案为：
2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)
的图象上，则f（3）＝________.
【答案】27
由题意 ， ，则 ，定点A为(2,8)，
设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.
故答案为：27
3．（2022·四川南充·高一期末）函数 的图象恒过一定点是___________．
【答案】试题分析：对数函数过定点 ，令 ，此时 ，所以过定点
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解:对于A选项，函数为偶函数，故错误；
对于B选项，对数函数为非奇非偶函数，故错误；
对于C选项，由幂函数性质知为在区间 上单调递增，且为奇函数，故正确；
对于D选项，函数定义域为 ，为非奇非偶函数，故错误.
故选：C
2．（2022·全国·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由 ，
而对数函数 在 上是减函数， 在 上是增函数，
所以函数f(x)单调递增区间为 ．
故选：D.3．（2022·北京·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意， ， ，按照“同增异减”的
原则可知，函数的单调递增区间是 .
故选：A.
4．（2022·河北张家口·高一期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
， ，
令 ，解得： ，
根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知 函数单调递增，在区间 函数单调递减，外
出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是 .
故选：D
5．（2022·河南新乡·高一期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ，得 或 ．
因为函数 单调递减，且函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递增．
故选：D
6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末） 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题设可得 ，故 或 ，
故函数的定义域为 ，
令 ，
则 在 为减函数，在 上为增函数，
因为 在 上为增函数，故 的增区间为 ，
故选：D.
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
1．（2022·陕西西安·高一期末）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由对数及不等式的性质知： ，而 ，
所以 .
故选：B
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数 在[2，3]上单调递减，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
由于函数 在 上单调递减， 在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在 上单调递减，且 ，
所以 且 ，解得： .
故 的取值范围是
故选：C.
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由条件可知，函数 在 上是减函数，
需满足 ，解得： .
故选：C
4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据复合函数的单调性可知，若函数在区间 上单调递增，需满足 ，解得： .
故选：D
5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数 在 单调递增，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数 中，令 ，函数 在 上单调递增，
而函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，且 ，
因此， ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：D
6．（2022·重庆·高一期末）已知关于 的函数 在 上是单调递减的函数，则 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
令 ，则 ，
因为 的单调递增函数，函数 在 上是单调递减的函数
由复合函数的单调性判断方法可得 是单调递减函数，
所以 ，又 在 上是单调递减的函数，所以 ，得 ，
故选：D.
7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
的定义域为 ，令 ，则
函数为 ，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数 的增区间，即求
的减区间，当 ， 单调递减，则 在 上单调递增，即
是 的子集，则 .
故选：C.
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
原不等式等价于 ，解得， 或 ．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 = ，则不等式 的解集是
（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（1，+∞）
【答案】C
函数 = ，可得x≥0， 递增；
当x＜0时， 递增；且x=0时函数连续，
所以 在R上递增，
不等式 ，
可化为x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，
则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.
故选：C
3．（2022·北京房山·高一期末）设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意，函数 ，且 ，当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B.
4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数 则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意， 在 单调递增，且
故 或
解得：
故选：D
5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数 则满足 的 取值范围是
A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+ ） D．[0,+ ）
【答案】D
由 ，可得 ；或 ，可得 ；
综上， 的 取值范围是 .
故选：D
④对数（指数）综合比较大小1．（2022·广东中山·高一期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为 ，
则 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，所以 ，A错误；
因为函数 为增函数，所以 ，所以 ，D错误；
因为 ，所以 ，B错
误；
因为 ，所以 ，
所以 ，C正确．
故选：C.
3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】C
，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，则 ，即 ，
则 ， ，
所以 ，
故选：C
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ， ，所以
故选：C.
5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
又 ， ，∵ ，∴ ，∴
.
故选：C.
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为7，则在区间 上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
由 可知： 且 ，所以函数 是实数集上单调递增函数，
因为函数 在区间 上的最大值为7，
所以有 ，因为函数 是 上的增函数
所以 在区间 上的最大值为 ，
故选：C
2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数 ，则（ ）
A． 有最小值，且最小值为-2
B． 有最小值，且最小值为-1
C． 有最大值，且最大值为-2
D． 有最大值，且最大值为-1
【答案】D
解： ，所以 有最大值，且最大值为 ，
但无最小值.
故选：D
3．（2022·上海金山·高一期末）函数 ， 的最大值为______.
【答案】-2
因为 ，则 ，
由于 是减函数，所以 ，
故答案为：-2
4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数 的最小值为___________.【答案】 ##
函数定义域是 ， ，
，
所以 时， ．
故答案为： ．
5．（2021·全国·高一课时练习）函数 的最大值是_______．
【答案】2
设 ，则 ，即求 在 上的最大值，
由 在 上是单调递增函数，
所以当 ，即 时，函数有最大值2.
故答案为：2.
②根据对数（型）函数的最值求参数
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数 的最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
由题意得 在 上为单调递增函数，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 .
故选：C
2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数 有最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令 ，函数 有最小值，
，且 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
∵函数
∴当 时， 的范围是 ；当 时， ， ，
由题意 存在最小值，则 ，
解得 .
故选：D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 没有最小值，则 的取值范围是____________.
【答案】
分类讨论：
当 时， ，函数没有最小值，
当 时，应满足 有解，故 ，
综上可得， 的取值范围是 .
5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数 （ 且 ）， 在 上的
最大值为 .
(1)求 的值；
(2)当函数 在定义域内是增函数时，令 ，判断函数 的奇偶性，并证明，
并求出 的值域.
【答案】(1) 或
(2) 为偶函数，证明见解析， .
(1)
当 时， 为增函数， ，解得： ；
当 时， 为减函数， ，解得： ；
综上所述： 或 .
(2)
当函数 在定义域内是增函数时， ，由（1）知： ；
，由 得： ，即 定义域为 ；
又 ， 是定义在 上的偶函数；
，
当 时， ， ，即 的值域为 .
6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数 （ ，且 ）.
(1)求函数 的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数 在区间 上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1) (2)
(1)
由题意可得 ，即 ，
因为 ，所以解得 .
故 的定义域为 .
(2)
假设存在实数 ，使函数 在区间 上单调递减，并且最大值为1.
设函数 ，由 ，得 ，
所以 在区间 上为减函数且 恒成立，因为 在区间 上单调递减，
所以 且 ，即 .
又因为 在区间 上的最大值为1，
所以 ，
整理得 ，解得 .
因为 ，所以 ，
所以存在实数 ，使函数 在区间 上单调递减，并且最大值为1
7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数 （ ，且 ）
(1)求 的值及函数 的定义域；
(2)若函数 在 上的最大值与最小值之差为3，求实数 的值．
【答案】(1)0； ；(2) 或 .
(1)
函数 ，则 ，由 解得： ，
所以 的值是0， 的定义域是 .
(2)
当 时， 在 上单调递减， ， ，
于是得 ，即 ，解得 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增， ， ，于是得 ，即 ，解得 ，则 ，
所以实数 的值为 或 .
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数 ，若对任意的 使得
成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
若对任意的 使得 成立，即 ，得 ，
，
由于函数 在 上为增函数，函数 在 上为减函数，
所以，函数 在 上为增函数， ， ，
，即 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数 .
(1)当 时，求该函数的值域；(2)若 ，对于 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
令 ， ，则 ，
函数转化为 ， ，
则二次函数 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时，函数的值域为 ．
(2)
由于 对于 上恒成立，
令 ， ，则
即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，
所以当 时， ，
故 时，原不等式对于 恒成立．
3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数 .
(1)若 ，求a的值；(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
(1)
解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .
(2)
解：由 ，得 ，即 ，
即 或 .
当 时， ，则 或 ，
因为 ，则 不成立，
由 可得 ，得 ；
当 时， ，则 或 ，
因为 ，则 不成立，所以 ，解得 .
综上， 的取值范围是 .
4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数 ，其中 为常数.
（1）当 时，求 的定义域；
（2）若对任意 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） （2）
解：（1）当 时，函数 ，要使函数有意义，只需要
或
， ，解得 ，即函数的定义域为 ；
（2） ， ，
的取值范围是 ，
又 恒成立，可得 恒成立，
， ，即 ，
故实数 的取值范围是 .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·湖南·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可得： ，解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：B.
2．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C， ，
.
故选：C.
3．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，即 .
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
由 ，当 时， ，则 .
故选：C.
第五部分：第 06 讲 对数与对数函数（精练）
一、单选题
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
，
，
．
故选：B．
2．（2021·江苏·高一专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D故选：D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）已知 ，那么 用 表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
故选: .
4．（2021·浙江·高一期中）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 为 上的减函数，
所以有 ，
解得： ，
故选：A.
5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知 的值域为R，且 在
上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．【答案】C
因为函数 的值域为R，
所以 取得一切正数，
即方程 有实数解，
得 ，解得 或 ；
又函数 在 上是增函数，
所以函数 在 上是减函数，
则对称轴 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围为 或 .
故选：C
6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 的最小值为1，
故选：B
7．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
， 的定义域为 ，
，所以 为奇函数，
图象关于原点对称，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使
在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 （其中 ）为
“倍缩函数”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由已知可得，
在 上是增函数；即
， 是方程 的两个根，
设 ，则 ，此时方程为 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 ；
解得： ，
满足条件 的范围是 .
故选：A
二、填空题
9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习） 在 上递减，则a的范围是_________．
【答案】
由题可得，根据对数的定义， 且 ，所以 是减函数，根据复合函数单调性的“同增异
减”特点，得到 ，所以 .
故答案为： .
10．（2021·江苏·高一专题练习）已知 且 ，对任意 且，不等式 恒成立，则 的取值范围是__________．
【答案】
因为对任意 且 ，不等式 恒成立，
所以 在 上单调递减，
因为 在 上单调递减，由复合函数的单调性知 ，
又由对数函数的定义域知，当 时， 恒成立，
可得 ，解得 ，
综上可得； ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围
是__________．
【答案】
①当 时， ，此时 定义域为 ，不合题意；
②当 时，令 ，其对称轴为 ，
在 上单调递减， 在 上单调递减，
，即 ，解得： （舍）；
③当 时，令 ，其对称轴为 ；⑴若 ，即 时， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
，即 ，解得： ；
⑵若 ，即 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
，即 ，解得： （舍）；
⑶若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，解得： （舍）；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足
，则称函数 为“ 函数”.设 为其定义域上的“ 函
数”，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
解：由函数 为“ 函数”的定义可得： 在 上有解.
即： 在 上有解
则 在 上有解，且 在 上恒成立
即： 在 上有解，且 在 上恒成立记 ，由于函数 在 上均单调递增，
所以 在 上单调递增，且
所以
所以 ，即： ，解得：
又 在 上恒成立，由对勾函数性质得 在 上单调递增，
所以 ，解得：
综上所述：实数 的取值范围是
故答案为:
三、解答题
13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值
(1) ；
(2) ；
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)44(2) (3)1
(1)
；
(2)；
(3)
， ，
则 ， ；
所以 ．
14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的定义域．
(2)若函数 的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数 在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
(1)
由题设， ，则 或 ，
所以函数定义域为 .
(2)
由函数 的值域为R，则 是 值域的子集，所以 ，即 .
(3)
由 在 上递减，在 上递增，而 在定义域上递减，
所以 在 上递增，在 上递减，
又 在 上是增函数，故 ，可得 .
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求 的定义域并判断 的奇偶性；
(2)求函数 的值域；
(3)若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围
【答案】(1)定义域为 ，非奇非偶函数
(2)
(3)
(1)
由题意可得 ，
由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，
因为定义域不关于原点对称，
所以 为非奇非偶函数，(2)
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的值域为 ，
(3)
关于 的方程 有实根，即 在 上有实根，
令 ，
因为 在 上单调递减，而 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，
所以 在 上的最小值为 ，最大值为 ，
所以 ，
所以当 时，方程有实根
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数 ．
(1)判断函数 的奇偶性，并证明；
(2)对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 是奇函数，证明见解析(2)
(1)解： ，
定义域为
任取 ，
则
，
所以 ，所以 是奇函数
(2)
，
，
不等式 恒成立，
则 ，
，
设 ，∵ ，则 ，
∴ ，令 ，则 为对勾函数，由对勾函数的单调性知，在 单调
递减，在 单调递增，
当且仅当 时， 有最小值， .
∴ ，
又 ，
所以 ．
