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第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
核心素养立意下的命题导向
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数
学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心
素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨
论思想的应用及数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数的概念
函数
两集合A，B 设A，B是两个非空的数集
对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
f：A→B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称 f ： A → B 为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的
定义域；与x的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，
值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两
函数相等的依据．
3．函数的表示方法
函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表
示．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通
常叫做分段函数．
5．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(相等函数的判断)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝·
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．y＝x与y＝()2
D．f(x)＝与g(x)＝
答案：B
2．(函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为________________．
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
3．(函数的值域)已知函数 f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数 f(x)的值域为
____________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
4．(求函数的解析式)已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x
＋4，
∴∴则f(x)＝2x－.
答案：2x－
5．(分段函数求值)已知函数f(x)＝则f的值是________．
解析：由题意可得f＝log ＝－2，
2
∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
答案：
二、易错点练清
1．(对函数概念理解不清)已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应
关系f不是函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C 对于C，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以C不是函数．
2．(忽视自变量范围)设函数 f(x)＝则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为
__________________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－
2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．
答案：(－∞，－2]∪[0,10]
3．(忽视新元范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
考点一 函数的定义域
考法(一) 求函数的定义域
[例1] (1)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－3,0) B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)
(2)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使解得－30，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
[方法技巧] 求函数解析式的常用方法
待定
当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
系数法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，
换元法
然后求出外函数的解析式
配凑法 将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式
解方程 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出
组法 函数解析式
[针对训练]
1．(换元法)已知函数f(x－1)＝，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：选A 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝，
即f(x)＝.故选A.
2．(配凑法)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式．
解：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
3．(解方程组法)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
解：∵2f(x)＋f＝3x，①
∴把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
考点三 分段函数
考法(一) 分段函数求值
[例1] (1)设函数f(x)＝则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1C．0 D.
(2)(2021·宜昌调研)已知f(x)＝(00.
当01(舍去)，
∴f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1,2]．故选D.
[答案] (1)D (2)D
[方法技巧]
解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解
析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自
变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变
量的取值范围．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B.
C．－ D．－3
2 4
解析：选A 因为f(3)＝1－log
2
3＝log
2
<0，所以f(f(3))＝f＝2log
23
+1＝2log
23
＝，故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝且f(a)＝1，则实数a的值等于( )
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：选AD ∵f(a)＝1且f(x)＝
当a≤0时，有f(a)＝a2－1＝1，解得a＝－或a＝(舍去)．
当a>0时，有f(a)＝2a－1＝1，解得a＝1.
综上可得，a＝－或a＝1.故选A、D.
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D 当a≥0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)>0，
即a2＋a－3a>0，即a2－2a>0，解得a>2或a<0(舍去)；
当a<0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)>0，
即－3a－a2＋a<0，即a2＋2a>0，
解得a<－2或a>0(舍去)．
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
创新考查方式——领悟高考新动向
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命
名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：
[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
解析：选D f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1，∴0<<1，则0<<2，∴1<1＋<3，即1g(10)
C．∃t∈N*，使f(t)＝g(t) D．∀t∈N*，f(t)1，f(x)＝x，f＝－x＝－f(x)；
当x>1时，0<<1，f(x)＝－，f＝－f(x)；
当x＝1时，＝1，f(x)＝0，f＝f(1)＝0＝－f(x)，
满足“倒负”变换；
对于D，令f(x)＝y＝sin，
则f＝sin ＝sin ＝sin ＝
－sin＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选B、C、D.
8．已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)3，
2
即不等式f(2x＋1)1，求a的取值范围．
解：法一：数形结合
画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)>1的a的取值范围为(－∞，
－2)∪.
法二：分类讨论
①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，
得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2，
又a≤－1，∴a<－2；
②当－11，得a>－，
又∵－11，得0
