文档内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式与复数综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
{ x }
1．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知集合A={−4,−2,0,2}，B= x| ∈Z,x∈A ，则A∩B=
x+1
（ ）
A．{0} B．{−2,0} C．{0,2} D．{−2,0,2}
【解题思路】根据集合定义可求得集合B，由交集定义可求得结果.
x 4 x
【解答过程】当x=−4时， = ∉Z；当x=−2时， =2∈Z；
x+1 3 x+1
x x 2
当x=0时， =0∈Z；当x=2时， = ∉Z；
x+1 x+1 3
∴B={−2,0}，∴A∩B={−2,0}.
故选：B.
1
2．（5分）（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）已知复数z在复平面内的对应点为(1,1)，则z+ 的虚部
z
为（ ）
1 3 1 3
A． i B． C． D． i
2 2 2 2
1 3 1
【解题思路】根据条件得到z=1+i，再利用复数的运算，得到z+ = + i，即可求解.
z 2 2
【解答过程】因为复数z在复平面内的对应点为(1,1)，所以z=1+i，1 1 1−i 3 1 1 1
则z+ =1+i+ =1+i+ = + i，所以z+ 的虚部为 ，
z 1+i 2 2 2 z 2
故选：C.
3．（5分）（2024·陕西商洛·一模）已知a,b是实数，则“a>2且b>2”是“a+b>4”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】由a>2且b>2，得a+b>4，反之，不成立，如取a=1,b=4满足a+b>4，而a>2且b>2不
成立，
所以“a>2且b>2”是“a+b>4”的充分不必要条件．
故选：B.
1−i
4．（5分）（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数z= ，则z的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为
i2024+i
（ ）
A．(0,1) B．(1,0)
C．(−1,0) D．(0,−1)
【解题思路】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出z，再求出其共轭复数对应点的坐标.
1−i (1−i)(1−i) −2i
【解答过程】依题意，z= = = =−i，
1+i (1+i)(1−i) 2
所以z=i在复平面内对应点的坐标为(0,1).
故选：A.
5．（5分）（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（ ）
1 1
A． < B．a2b>ab2
a2+1 b2+1
a+b
C．a2>ab>b2 D．a> >b
2
【解题思路】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
1 1 1 1 1
【解答过程】由于a>b，取a=1,b=−1， = = ，a2b=ab2=1，无法得到 < ，
a2+1 b2+1 2 a2+1 b2+1
a2b>ab2，故AB错误，
取a=0,b=−2,则a2=0,ab=0,b2=4，无法得到a2>ab>b2，C错误，
a+b
由于a>b，则2a>b+a>2b，所以a> >b，
2
故选：D.6．（5分）（24-25高一·全国·课后作业）已知集合M=¿，N=¿，P=¿，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M=N⊆P B．M⊆N=P C．M⊆N⊆P D．N⊆P⊆M
【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解.
【解答过程】N=¿,故N=¿,
由于P=¿，故P=¿，
3n−2 3(n−1)+1 3p+1
由于n,p为任意整数，故 = = ，因此N=P,
6 6 6
M=¿,故M=¿，
故M⊆P，
所以M⊆N=P，
故选：B．
7．（5分）（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式
bx2−ax<0的解集为（ ）
( 1 ) ( 1)
A． − ,0 B． −∞,− ∪(0,+∞)
4 4
( 1) (1 )
C． 0, D．(−∞,0)∪ ,+∞
4 4
【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【解答过程】由ax+b>0的解集为(−4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为−4，
b
所以− =−4，则b=4a，所以bx2−ax<0，即4ax2−ax<0，又a>0，
a
1 ( 1)
所以4x2−x<0，解得00，y>0，且x+ y=5，若 + ≥2m+1恒成
x+1 y+2
立，则实数m的取值范围是（ ）
( 2] ( 1 ]
A． −∞, B． −∞,
5 16
( 1]
C． −∞, D．(−∞,4]
2
4 1 1
【解题思路】由已知条件得出(x+1)+(y+2)=8，将代数式 + 与 [(x+1)+(y+2)]相乘，展开后
x+1 y+2 84 1
利用基本不等式求出 + 的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.
x+1 y+2
【解答过程】因为x>0，y>0，且x+ y=5，则x+1+ y+2=8，
所以 4 1 1( 4 1 ) 1[ 4(y+2) x+1]
+ = + [(x+1)+(y+2)]= 5+ +
x+1 y+2 8 x+1 y+2 8 x+1 y+2
1( √4(y+2) x+1) 9，
≥ 5+2 ⋅ =
8 x+1 y+2 8
13 2 4 1 9
当且仅当¿时，即当x= ，y= 时，所以 + 的最小值为 ，
3 3 x+1 y+2 8
4 1 9 1
因为 + ≥2m+1恒成立，所以2m+1≤ ，解得m≤ ，
x+1 y+2 8 16
( 1 ]
所以实数m的取值范围是 −∞, .
16
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·江苏徐州·模拟预测）在复平面内，若复数z对应的点为(1,3)，则（ ）
A．z+z=2 B．z2=10
| z |
C．zz=10 D． z− =5
1+i
【解题思路】根据题意写出复数的标准式，再写出其共轭复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案.
【解答过程】由题意可得z=1+3i，则z=1−3i，
对于A，z+z=2，故A正确；
对于B，z2=(1+3i)(1+3i)=1+3i+3i+9i2=−8+6i≠10，故B错误；
对于C， ，故C正确；
zz=(1+3i)(1−3i)=12−(3i) 2=1+9=10
z 1+3i (1+3i)(1−i) 1−i+3i−3i2
对于D，z− =(1+3i)− =1+3i− =1+3i−
1+i 1+i 1+1 2
1 | z |
=1+3i− (4+2i)=−1+2i， z− =√1+4=√5，故D错误；
2 1+i
故选：AC.
10．（6分）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如：若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}．下列命题中，为真
命题的是（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁ A⊕∁ B
U U
【解题思路】A选项，根据题意得到A⊆B且B中元素不能出现在A∩B中，故A=∅；B选项，A∪B与
A∩B是相同的，所以A=B；C选项，推出B⊆A；D选项，表达出
，结合 ，
∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ A∪∁ B,x∉∁ A∩∁ B} ∁ A∪∁ B= ∁ (A∩B)
U U U U U U U U U
，得到 ，故
∁ A∩∁ B= ∁ (A∪B) ∁ A⊕∁ B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}
U U U U U
A⊕B= ∁ A⊕∁ B.
U U
【解答过程】A选项， 且 ，则 ，
A,B⊆R A⊕B=B B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}
故A⊆B，且B中元素不能出现在A∩B中，故A=∅，A正确；
B选项， 且 ，则 ，
A,B⊆R A⊕B=∅ ∅={x|x∈A∪B,x∉A∩B}
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，B正确；
C选项，因为 ，所以 ，故 ，C错误；
A⊕B⊆A {x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A B⊆A
D选项， ，
∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ A∪∁ B,x∉∁ A∩∁ B}
U U U U U U
其中∁ A∪∁ B= ∁ (A∩B)，∁ A∩∁ B= ∁ (A∪B)，
U U U U U U
故 ，
∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ (A∩B),x∉∁ (A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B}
U U U U
而A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
故A⊕B= ∁ A⊕∁ B，D错误.
U U
故选：AB.
11．（6分）（2024·重庆·模拟预测）已知x>0,y>0，且x+ y+xy−3=0，则（ ）
A．xy的取值范围是[1,9]
B．x+ y的取值范围是[2,3)
C．x+4 y的最小值是3
D．x+2y的最小值是4√2−3【解题思路】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于√xy的不等式求解即得；对于B项，直接运用基
本不等式将其转化成关于x+ y的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CD项，通过题设求出x，代
入所求式消元，凑项运用基本不等式即得.
【解答过程】对于A项，x>0,y>0，由xy=3−(x+ y)≤3−2√xy可得(√xy+3)(√xy−1)≤0，
因√xy>0，故得0<√xy≤1，则00，故得：x+ y≥2，当且仅当x= y=1时等号成立，又x+ y=3−xy<3，
所以x+ y的取值范围是[2,3)，正确；
3−y
对于C项，由x+ y+xy−3=0得x= ，
1+ y
3−y 4 √ 4
所以x+4 y= +4 y= +4(1+ y)−5≥2 ×4(1+ y)−5=3，
1+ y 1+ y 1+ y
4
当且仅当 =4(1+ y)即y=0时，等号成立，又y>0，所以x+4 y>3，故C项错误；
1+ y
3−y
对于D项，由x+ y+xy−3=0得x= ，
1+ y
3−y 4 √ 4
所以x+2y= +2y= +2(1+ y)−3≥2 ×2(1+ y)−3=4√2−3，
1+ y 1+ y 1+ y
4
当且仅当 =2(1+ y)即y=√2−1时，等号成立，正确.
1+ y
故选：BD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·甘肃白银·一模）复数|√5−2i|+2i的实部与虚部之和为 5 .
【解题思路】根据复数模长可得|√5−2i|=3，即可根据虚部和实部定义求解.
【解答过程】由题意得|√5−2i|+2i=3+2i，所以复数|√5−2i|+2i的实部与虚部之和为5.
故答案为：5.
13．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知集合A=¿，B=¿，若A∪B=B，则实数a的取值范围是
(−∞,1) ．
【解题思路】先求出集合A，再由A∪B=B，得A⊆B，即可求出实数a的取值范围.
【解答过程】因为px=10,x∈N,p∈N，所以x=1,2,5,10，即A={1,2,5,10}．由A∪B=B，得A⊆B，得a<1，故实数a的取值范围是(−∞,1)．
故答案为：(−∞,1).
ax+by
14．（5分）（2024·浙江·模拟预测）对x,y定义一种新运算T，规定：T(x,y)= （其中a,b均为
2x+ y
a×0+b×1
非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)= =b，已知
2×0+1
T(1,−1)=−2,T(4,2)=1，若关于m的不等式组¿恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是
1
−2≤P<− .
3
【解题思路】根据已知得出关于a,b的方程组，求出a,b，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得
到取值范围.
【解答过程】因为T(1,−1)=−2,T(4,2)=1，
a−b 4a+2b
所以 =−2, +2=1，解得a=1,b=3，
2−1 2×4
2m+3×(5−4m) 1
所以T(2m,5−4m)= ≤4⇒m≥− ，
4m+5−4m 2
m+3×(3−2m) 9−3P
T(m,3−2m)= >P⇒m< ，
2m+3−2m 5
因为不等式组恰有3个整数解，
9−3P 1
所以2< ≤3⇒−2≤P<− ，
5 3
1
故答案为：−2≤P<− .
3
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·湖北·期中）已知集合 ， .
A={x|m−1≤x≤m2+1} B={x|−2≤x≤5}
(1)当m=3时，求A∪B，A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）当m=3时，写出集合A，利用并集和交集的定义可得出集合A∪B，A∩B；
（2）根据题意可知AB,分析可知，A≠∅，根据集合的包含关系可得出关于m的不等式组，解出m的取
值范围，再对m的取值范围的端点值进行检验即可得解.
【解答过程】（1）当 时， ，
m=3 A={x|m−1≤x≤m2+1}=¿又因为 ，则 ， .
B={x|−2≤x≤5} A∩B=¿ A∪B=¿
（2）因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则AB,
因为m2+1−(m−1)=m2−m+2= ( m− 1) 2 + 7 >0，则m2+1>m−1，则A≠∅，
2 4
由题意可得¿，解得−1≤m≤2，
检验：当m=−1时，A=¿B，合乎题意，
当m=2时，A=¿B，合乎题意.
综上所述，实数m的取值范围是¿.
z+2
16．（15分）（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数z=bi（b∈R）， 为实数.
1+i
(1)求 ；
|z+z2|
(2)若复数 在复平面内对应的点在第四象限，且 为实系数方程 的根，求实数
(m+z) 2 z x2+(m2−9)x+4=0 m
的值.
【解题思路】（1）根据复数为实数求出b，代入化简后求复数模即可；
（2）由复数是实系数方程的根代入求出m，再结合所在象限舍去不合适的值.
z+2 2+bi (2+bi)(1−i) b+2 b−2
【解答过程】（1）由z=bi， 为实数，则 = = + i为实数，
1+i 1+i (1+i)(1−i) 2 2
b−2
所以 =0，b=2，即z=2i，z2=−4，
2
所以 .
|z+z2|=|−4+2i|=2√5
（2）由 在复平面内对应的点在第四象限，
(m+z) 2=(m+2i) 2=m2−4+4mi
所以¿，
又 为实系数方程 的根，
z=2i x2+(m2−9)x+4=0
则 ，
4+2(m2−9)i−4=0
所以m2−9=0，m=±3，
又m<−2，所以m=−3.
17．（15分）（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=|2x−a|，且f (x)≤b的解集为[−1,3]．(1)求a和b的值；
(2)若f (x)≤|x−t|在[−1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．
【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为3x2+(2t−8)x+4−t2≤0在[−1,0]上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.
【解答过程】（1）由f (x)≤b得|2x−a|≤b，
a−b b+a
易知b≥0，则−b≤2x−a≤b，解得 ≤x≤ ，
2 2
b+a a−b
由于f (x)≤b的解集为[−1,3]，则 =3, =−1，解得a=2,b=4．
2 2
（2）由（1）知 ，由 得 ，
f (x)=|2x−2| f (x)≤|x−t| |2x−2|≤|x−t|
得3x2+(2t−8)x+4−t2≤0在[−1,0]上恒成立，
，故 ．
Δ=(2t−8) 2−4×3×(4−t2)=16(t−1) 2>0 t≠1
令g(x)=3x2+(2t−8)x+4−t2，若g(x)≤0在[−1,0]上恒成立，
则¿，即¿，解得t≤−5或t≥3，
故实数t的取值范围为(−∞,−5]∪[3,+∞)．
18．（17分）（2024·宁夏固原·一模）已知函数f (x)=|2x+1|+3|x−1|．
(1)解不等式f (x)≤4；
2 8
(2)记（1）中不等式的解集为M, M中的最大整数值为t，若正实数a,b满足a+b=t，求 + 的最
a+1 b+2
小值．
【解题思路】（1）将函数写成分段函数，分段解不等式f (x)≤4，再求各个解集的并集即得；
（2）由（1）得t=1，运用常值代换法，将a+b=1配凑成(a+1)+(b+2)=4，利用基本不等式即可求得.
【解答过程】（1）由f (x)=|2x+1|+3|x−1|=¿
1 2
当x≤− 时，由f (x)≤4可得−5x+2≤4，则得x≥− ，故x∈∅；
2 5
1
当− 1时，由f (x)≤4可得5x−2≤4，则得x≤ ，故10,b>0，
5
由1 2 8 1 2(b+2) 8(a+1) 1 √2(b+2) 8(a+1)
[(a+1)+(b+2)]( + ) = [10+ + ] ≥ [10+2 ⋅ ]
4 a+1 b+2 4 a+1 b+2 4 a+1 b+2
9
= ，当且仅当2(a+1)=b+2时取等号，
2
1 2 2 8 9
由¿可得¿，即当a= ，b= 时， + 取得最小值为 .
3 3 a+1 b+2 2
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若对任意的
A={a ,a ,⋯,a }(0≤a a ∉A a −a =0∈A a =0,A={0,2,a }
3 3 3 3 3 3 1 3
因为2+a >a ∉A，所以a −2∈A，故a −2=2，即a =4，
3 3 3 3 3
所以A={0,2,4}．（3）因为a +a =2a >a ，故a +a ∉D，
2024 2024 2024 2024 2024 2024
所以a −a =0∈D，则a =0．
2024 2024 1
因为a a +a >⋯>a +a >a ，
2024 2023 2024 2022 2024 2 2024
所以a +a∉D(i=2,3,⋯,2023)，
2024 i
所以a −a∈D(i=2,3,⋯,2023)．
2024 i
因为0
