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大题优练 3 曲线运动问题
优 选 例 题
例1．(2020·山东卷·16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形
滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 17.2°。某次练习
过程中，运动员以v ＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨
M
道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视
为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
【解析】(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v，由运动的合成与分解规律得：
1
v＝v sin 72.8° ①
1 M
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a，由牛顿第二定律得：
1
mgcos 17.2°＝ma ②
1
由运动学公式得 ③
联立①②③式，代入数据得：d＝4.8 m。 ④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v，由运动的合成与分解规得：
2
v＝v cos72.8° ⑤
2 M
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a，由牛顿第二定律得：
2
mgsin17.2°＝ma ⑥
2
设腾空时间为t，由运动学公式得： ⑦
L＝vt＋at2 ⑧
2 2
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得：L＝12 m。 ⑨
例2．现有一根长L＝1 m的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。
(1)在小球以速度v＝4 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中的张力大小为多少？
1
(2)在小球以速度v＝1 m/s水平向右抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳子再次伸直时
2
所经历的时间。
(3)接(2)问，当小球摆到最低点时，绳子拉力的大小是多少？
【解析】(1)绳子刚好无拉力时对应的临界速度满足mg＝m，解得v ＝ m/s。因为v>v ，所以绳子有拉力
临界 1 临界
且满足mg＋T＝m，解得T＝3 N。
1 1
(2)因为v<v ，所以绳子无拉力，小球以v 的初速度做平抛运动，设经过时间t后绳子再次伸直，则满足方
2 临界 2
程 x2＋(y－L)2＝L2
其中x＝vt，y＝gt2，解得t＝0.6 s。
2
(3)当t＝0.6 s时，可得x＝0.6 m，y＝1.8 m，小球在O点右下方位置，且O点和小球的连线与竖直方向的夹角
满足tan α＝＝，此时速度的水平分量与 竖直分量分别为v＝v＝1 m/s，v＝gt＝6 m/s
x 2 y
绳伸直的一瞬间，小球的速度沿绳方向的分量突变为零，只剩下垂直于绳子方向的速度：
v＝vsin α－vcos α＝ m/s
3 y x
接着小球以v 为初速度绕着O点做圆周运动摆到最低点，设在最低点速度为v，则由动能定理得
3
mgL(1－cos α)＝mv2－mv2，又T－mg＝m
3
解得T＝ N。
模 拟 优 练
1．如图所示，倾角为37°的斜面长L＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v＝3 m/s的速度水平
0
抛出，与此同时静止释放在顶端的滑块，经过一段时间后将小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。小球
和滑块均视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球从抛出到达斜面所用时间；
(2)抛出点O离斜面底端的高度；
(3)滑块与斜面间的动摩擦因数。2．晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在
竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离 d后落地，如图所示，已
知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小v；
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为
多少？最大水平距离为多少？
3．如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水
平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ ＝0.6，与餐
1
桌间的动摩擦因数为μ ＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦
2
力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？
(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？
(3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘
甩出点的水平距离L为多少？4．如图所示，水平实验台A端固定，B端左右可调，将弹簧左端与实验平台固定，右端有一可视为质点，质
量为2 kg的滑块紧靠弹簧（未与弹黄连接)，弹簧压缩量不同时，将滑块弹出去的速度不同。圆弧轨道固定在
地面并与一段动摩擦因素为0.4的粗糙水平地面相切D点，AB段最长时，BC两点水平距离x ＝0.9 m，实验
BC
平台距地面髙度h＝0.53 m，圆弧半径R＝0.4 m，θ＝37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。完成下列问題：
(1)轨道末端AB段不缩短，压缩弹黄后将滑块弹出，滑块经过点速度v ＝3 m/s，求落到C点时速度与水平方
B
向夹角；
(2)滑块沿着圆弧轨道运动后能在DE上继续滑行2 m，求滑块在圆弧轨道上对D点的压力大小；
(3)通过调整弹簧压缩量，并将AB段缩短，滑块弹出后恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，求滑块从平台飞出
的初速度以及AB段缩短的距离。
5．2022年冬奥会将在我国北京举行，其中雪车项目惊险刺激。如图甲所示为单人雪车在轨道上滑行的照片。
为了让更多的人认识这项运动并加以普及和推广，有的冬季游乐场引进了此项目，并对轨道进行了改进，目
的是让更多普通群众能够体验雪车项目的魅力。如图乙所示，在倾角为 θ的斜坡上有一雪车轨道由直线AB、
半圆BC、CD和四分之一圆弧DE构成，其中AB段轨道粗糙，其余轨道光滑。AB轨道沿斜面向下，B、C、
D在同一水平面上，其垂直于斜面的俯视图为图丙所示。在半圆 CD最高点处轨道横截面为矩形，如图丁所
示。雪车和游客质量共为m，在长为L的直线轨道AB上做初速度为0，加速度为a的匀加速直线运动，然后
进入圆弧轨道，无碰撞自由滑行。半圆BC半径为2R，CD半径为R，圆弧DE半径为4R。从E点沿切线方向
滑出轨道后，雪车底部继续紧贴斜面进行无摩擦运动，最终安全滑进缓冲区。缓冲区左边缘F点离E点平行
斜面的水平距离为d，当地重力加速度为g，因轨道半径足够大，雪车和人可以视为质点，雪车底面始终和轨道底面接触。求：
(1)雪车和人在半圆轨道CD的最高点时所受侧壁轨道的压力；
(2)雪车刚到缓冲区左边缘F点时速度的大小。
6．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，OB
与OC夹角为37°，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，可视为质点的小滑
块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最低点C时对轨道的压力为F，
并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，该图线截距为2 N，且过(0.5 m，4 N)点。取g＝10 m/s2。
(1)求滑块的质量和圆轨道的半径。
(2)若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度为多少？
(3)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D飞出后落在圆心等高处的轨道上？若存在，请求出H值；若
不存在，请说明理由。答 案
1．【解析】(1)设小球击中滑块时的速度为v，竖直速度为v，由几何关系得：v＝vtan 37°
y 0 y
设小球下落的时间为t，小球竖直方向v＝gt
y
解得：t＝0.4 s。
(3)竖直位移为y，水平位移为x，由平抛规律得：y＝gt2，x＝vt
0
设抛出点到斜面最低点的距离为h，由几何关系得：h＝y＋xtan 37°
由以上各式得h＝1.7 m。
(2)在时间t内，滑块的位移为s，由几何关系得：
设滑块的加速度为a，由运动学公式得：x＝at2
对滑块，由牛顿第二定律得：mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma
由以上各式得μ＝0.125。
2．【解析】(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，竖直方向有：
d＝gt2水平方向有：d＝vt
联立解得： 。
(2)设绳能承受的最大拉力大小为F，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径R＝d，根据牛顿
第二定律有：
解得 。
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v′，绳承受的最大拉力不变，根据牛顿第二定律有：
得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t，根据平抛运动规律，竖直方向有：
1
d－l＝gt2
1
竖直方向有：x＝v′t
1
联立解得：
根据一元二次方程的特点，当l＝d时，x有极大值，为x ＝ d。
max
3．【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，
所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的
角速度达到最大，有：f ＝μN＝mω2r，N＝mg
m 1
联立两式可得ω＝＝2 rad/s。
(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的
位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则a＝μg＝2.25 m/s2
2
物体在餐桌上滑动的初速度v＝ωr＝3 m/s
0
由运动学公式得0－v2＝－2as，可得s＝2 m
0
由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝＝2.5 m。
(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v′，由题意可得：
t
v′2－v2＝－2as′
t 0
由于餐桌半径为R′＝r，所以s′＝r＝1.5 m
可得v′＝1.5 m/s
t设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2
解得t＝0.4 s
物体做平抛运动的水平位移为s＝v′t＝0.6 m
x t
由题意可得L＝s′＋s＝2.1 m。
x
4．【解析】(1)根据题意C点到地面高度h ＝R－Rsin 37°＝0.08 m
C
从B点飞出后，滑块做平抛运动，根据平抛运动规律：h－h ＝gt2
C
化简得t＝0.3 s
根据x ＝v t可知v ＝3 m/s
BC B B
飞到C点时竖直方向的速度v＝gt＝3 m/s
y
因此
即落到圆弧C点时，滑块速度与水平方向夹角为45°。
(2)滑块在DE阶段做匀减速直线运动，加速度大小
根据v 2－v 2＝2ax
E D DE
在圆弧轨道最低处
解得F ＝100 N，即对轨道压力为100 N。
N
(3)滑块弹出恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，说明滑块落到C点时的速度方向正好沿着轨迹该出的切线，即
由于高度没变，所以v′＝v＝3 m/s，α＝37°
y y
因此v′＝4 m/s
0
对应的水平位移为x ＝v′t＝1.2 m
AC 0
所以缩短的AB段应该是Δx ＝x －x ＝0.3 m。
AB AC BC
5．【解析】(1)设匀加速进入轨道时的速度为v，根据运动学公式得
1
设半圆CD最高点速度为v，从B到CD圆弧最高点过程中，根据动能定理得：
2
在最高点，对雪车和游客整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得：解得
讨论：
① ，上侧壁给整体弹力方向沿斜面向下；
② ，作用力为零；
③ 下侧壁给整体弹力方向沿斜面向上。
(2)设E点速度为v，从B点到E点过程中，根据动能定理
3
雪车整体离开轨道后做类平抛运动
水平方向以速度v 做匀速直线运动，沿斜面以加速度a′做匀加速直线运动
3
根据牛顿第二定律得：mgsinθ=ma′
水平方向：d=vt
3
沿着斜面方向：v=a′t
4
解得： 。
6．【解析】(1)当H＝0时，由图象截距可知：F＝mg＝2 N，mg＝0.2 kg
当小物块从A点静止下滑，由图象知，h＝0.5 m，对轨道的压力F＝4 N
1
mgh＝mv2
1
F－mg＝m
1
解得：R＝1 m。
(2)不脱离轨道分两种情况：
①到圆心等高处速度为零
有能量守恒可知，滑块从静止开始下滑高度h≤R＝1 m
1
②通过最高点，通过最高点的临界条件v ＝
D
设下落高度为H，由动能定理得：mg(H－2R)＝mv 2
0 0 D
解得：H＝2.5 m
0则应该满足下落高度h≥2.5 m。
2
(3)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点：
x＝OE＝v t，R＝gt2
D
解得：v ＝ m/s
D
而滑块过D点的临界速度v ＝＝ m/s
DL
由于v ＞v ，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点
D DL
mg(H－2R)＝mv 2
DL
解得：H＝ m。
