第 03 讲 力与曲线运动
目录
考点一 曲线运动的概念 运动的合成与分解.............4
........4
.............4
1.曲线运动条件及特点...........................................4
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断5
..................6
考点二 小船渡河 牵连速度.........................................8
........8
.............8
1.小船渡河问题.......................................................8
2.牵连速度...............................................................9
................10
考点三 抛体运动的规律及应用.................................11
.......11
...........15
1.平抛运动的规律及推论.....................................15
2.平抛运动与各种面结合问题.............................15
3.平抛运动的临界问题.........................................17
4.斜抛运动及解题思路.........................................18
................18
考点四 圆周运动的规律及应用.................................23
......23
...........25
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.水平面内圆周运动的动力学问题.....................25
2.竖直平面内圆周运动问题的解题思路.............25
3.绳子模型与轻杆模型对比.................................26
4.圆周运动几种常见的临界条件.........................27
5.常见的传动方式及特点.....................................27
................28
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点要求 考题统计
曲线运动：2023·全国乙卷·2、2023·浙江6月选考·4、2023·辽宁卷·1、2021·湖
曲线运动的概念 南卷·9、2020·北京卷·14
运动的合成与分解 运动的合成与分解：2023·全国甲卷·11、2023·江苏卷·10、2022·湖北卷·15、
2021·广东卷·4、2021·辽宁卷·1
小船渡河 牵连速度 小船渡河:2021•辽宁•高考真题
抛体运动：2020·海南卷·11
平抛运动基本规律及推论：2023·全国甲卷·1、2023·全国甲卷·11、2023·浙江6
月选考·3、2023·全国新课标卷·11、2023·湖南卷·2、2023·湖北卷·14、2023·广东
卷·15、2022·全国甲卷·11、2022·北京卷·17、2022·广东卷·3、2022·广东卷·6、
抛体运动的规律及应
2022·湖南卷·10、2022·湖北卷·14、2022·重庆卷·14、2022·河北卷·10、2021·北
用
京卷·17、2021·广东卷·9、2021·湖南卷·14、2021·河北卷·2、2021·山东卷·11、
2021·山东卷·16
斜抛运动：2023·山东卷·15、2023·江苏卷·15、2023·湖南卷·2、2022·山东卷
·11、2021·江苏卷·9
圆周运动的概念和性质：2021·山东卷·3
周期与转速：2023·全国甲卷·4、2023·浙江1月选考·10、2022·浙江6月选考
·22、2021·全国甲卷·2
向心加速度：2022·浙江6月选考·2、2021·全国甲卷·2、2022·上海卷·6、2021·
广东卷·4
向心力：2023·全国甲卷·4、2023·浙江6月选考·8、2023·北京卷·10、2022·江苏
圆周运动的规律及应
卷·14、2022·重庆卷·9
用
圆周运动规律及其应用：2023·浙江1月选考·20、2023·江苏卷·13、2023·湖南
卷·8、2023·湖北卷·14、2023·海南卷·18、2023·广东卷·8、2023·北京卷·18、
2022·浙江6月选考·15、2022·浙江1月选考·21、2022·全国甲卷·1、2022·北京
卷·8、2022·福建卷·13、2022·辽宁卷·13、2022·山东卷·8、2021·北京卷·10、
2021·北京卷·20、2021·江苏卷·14、2021·河北卷·9
传动问题：2022·浙江1月选考·5、2022·浙江1月选考·7
【命题规律及方法指导】
1.命题重点考查平抛运动、圆周运动等运动特点和动力学规律
2.常用方法：运动的合成与分解（小船过河、抛体运动）；牛顿运动定律（分析圆周运
动的瞬时问题）；动能定理（分析竖直平面内圆周运动的过程问题）；模型（数值平面
内圆周运动的轻绳、轻杆模型在最高点的临界问题）；多过程问题分析方法.
考情分析
3.常考题型：选择题，计算题．
【命题预测】
本专题属于热点内容；
高考命题以选择题或计算题的形式出现，可能单独考察某一种运动形式，也可能是多个
运动的集合的多过程运动（平抛运动+圆周运动，多个圆周运动，斜面+平抛运动+圆周
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】运动等），再与功能关系、牛顿运动定律结合进行考察。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点一 曲线运动的概念 运动的合成与分解
1．（2023·全国·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段
表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向】曲线运动的特点
【答案】D
【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB错误；CD．小车沿轨道从左向右运
动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。
故选D。
2.（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加
速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A． B． C． D．
【考向】运动的合成与分解
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间 内水平方向增加量 ，竖直方向做在自由
落体运动，在时间 增加 ；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角
就是一定的。
故选D。
1.曲线运动条件及特点
1）物体作曲线运动的条件:
①运动学角度：运动质点的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线.
①动力学角度：运动质点所受的合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线.
2）曲线运动的特点：一定是变速运动(质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向，速度
方向时刻在变)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3）曲线运动的分类：
①a恒定：匀变速曲线运动，如平抛运动；
②a变化：非匀变速曲线运动，如圆周运动．
4）曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
①速度方向与运动轨迹相切；
②合力方向指向曲线的“凹”侧；
③运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
【技巧点拨】曲线运动的四大特点
①运动学特点:由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线上物体位置的切线方向,所以做曲线
运动的物体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动.
②动力学特征:由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律可
知,物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于速度
方向上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
③轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合
力的方向总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体
所受合外力的大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.
④能量特征:若物体所受的合外力始终和物体的速度垂直,则合外力对物体不做功,物体的动能不变;
若合外力不与物体的速度方向垂直,则合外力对物体做功,物体的动能发生变化.
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动
两个匀速直线运动 匀速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
v a
如果 合与 合共线,为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
v a
如果 合与 合不共线,为匀变速曲线运动
v a
如果 合与 合共线,为匀变速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
v a
如果 合与 合不共线,为匀变速曲线运动
1．下图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有
三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C
两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．v B． C． D．2v
【答案】C
【详解】根据题意可知，两个速度夹角为60°，根据速度合成可知，合速度为
故选C。
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，
它们相互垂直且等高，正常工作时都匀速运动，速度大小分别为 、 ，将工件（视为质点）轻放到传带
甲上，工件离开传送带甲前已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，且不会从传送带乙
的右侧掉落。两传送带正常工作时，对其中一个工件A在传送带乙上留下的痕迹，下图中可能正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】正常工作时都匀速运动，速度大小分别为 、 ，所以，物块滑上乙时，水平方向相对传送带乙
的速度水平向右，沿传送带乙方向相对传送带乙的速度与乙的运动方向相反，所以相对传送带乙的速度为
这两个分速度合速度，方向向右下方，因为两个速度均为匀速，则合速度方向的反方向为滑动摩擦力方向，
力与速度方向相反，做直线运动，轨迹沿速度方向，故D正确ABC错误。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选D。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点二 小船渡河 牵连速度
1．（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着
枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则
突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s B．95s
C．100s D．300s
【考向】小船渡河
【答案】D
【详解】河宽 一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船
相对静水的速度 ，渡河时间最短为
故选D。
1.小船渡河问题
1)解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就是船头指向,是分运动;船的运
动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致.
2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解.
模型解读 分运动1 分运动2 合运动
运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动
速度本质 v v 船相对于岸的速度v
发动机给船的速度 1 水流给船的速度 2
速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向
①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关
②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短,
渡河时间
d
t =
min v
1 (d为河宽)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①若v >v ，当船头方向与上游河岸夹角θ满
船 水
足v cos θ＝v 时，合速度垂直河岸，渡河位移
船 水
最短，且x ＝d
min
②若v <v ，合速度不可能垂直于河岸，无法
渡河位移 船 水
垂直渡河．当船头方向(即v 方向)与合速度方向
船
垂直时，渡河位移最短，且
2.牵连速度
1）定义：两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)
的直线上，两物体的速度是关联的．
2）处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速
度，把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相
等求解.
3）常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v cos θ
物
v ′＝v ＝v cos θ
物 ∥ 物
v ＝v ′
∥ ∥
即v cos θ＝v ′cos α
物 物
v ＝v ′
∥ ∥
即v cos α＝v ′cos β
物 物
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（23-24上·河南·模拟预测）如图甲所示，一条小河宽度为d，两河岸P、Q平行，一小船以恒定速度v
0
从河岸P出发，船头总保持与河岸P垂直，河水速度v与离河岸P的距离x的关系图像如图乙所示，则小
船在小河中运动的轨迹可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在小船船头垂直于河岸P匀速运动的过程中，河水的速度先增加，后减小，即小船沿河岸方向先
加速后减速到零。
故选D。
2.（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车A在水平外力作用
下沿水平地面向左做直线运动，绳子跨过定滑轮拉着物体B以速度v 竖直匀速上升，下列判断正确的是（
B
）
A．小车A做减速直线运动
B．绳子拉力大于物体B的重力
C．小车A的速度大小可表示为
D．小车A受到地面的支持力逐渐变小
【答案】A
【详解】AC．将小车A的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的分速度大小即为B物体上升的速度大
小，则 ，随着小车A向左运动， 减小，则小车A做减速直线运动，故A正确，C错误；BD．
物体B竖直匀速上升，绳子拉力等于物体B的重力，拉力大小不变，由于 减小，拉力在竖直方向的分力
变小，则地面对小车A的支持力变大，故BD错误。
故选A。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三 抛体运动的规律及应用
1．（2023·全国·高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中
（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
【考向】平抛运动的规律
【答案】B
【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；B．铅球的加速度恒为重力加速度保持
不变，B正确；CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成
可知铅球速度变大，则动能越来越大，CD错误。
故选B。
2．（2022·山东·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地 的网球以 的速度斜向上击出，
击球点到竖直墙壁的距离 。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为 的P点。网球与
墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取
，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）
A． B． C． D．
【考向】平抛运动的规律
【答案】BD
【详解】设网球飞出时的速度为 ，竖直方向 ，代入数据得
，则 ，排球水平方向到 点的距离
，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
，平行墙面的速度分量 ，反弹后，垂直墙面的速度分量
，则反弹后的网球速度大小为 ，网球落到地面的时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】间 ，着地点到墙壁的距离 ，故BD正确，AC错误。
故选BD。
3.（2022·浙江·高考真题）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每
次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示
重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（ ）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同 D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
【考向】斜抛运动的规律
【答案】A
【详解】A．因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员
重心的速度变化均为g∆t，选项A正确；B．运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，
选项B错误；C．由图可知，运动员从A到B为4∆t，从C到D的时间5∆t，时间不相同，选项C错误；
D．运动员重心位置的最高点位于C点，选项D错误。
故选A。
4.（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷
粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且轨迹交于 点，抛
出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为 和 ，其中 方向水平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷
粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于
C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等
【考向】平抛运动与斜抛运动
【答案】B
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2
的加速度，A错误；C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较
长，C错误；B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上
的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速
度小于 ，B正确；D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1
的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。
故选B。
5.（2022·全国·高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中
的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度 和
之比为3：7。重力加速度大小取 ，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【考向】平抛运动的规律
【答案】
【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为
设抛出瞬间小球的速度为 ，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为 、 ，根
据平抛运动位移公式有
令 ，则有
已标注的线段 、 分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
6.（2023·山西·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称
“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于
θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不
计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【考向】平抛运动的极值问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有
可得落到水面上时的竖直速度
由题意可知
即
石子抛出速度的最小值为 。
7.（2023·湖北·高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为
2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道 在同一竖直平面
内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点
飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之
间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小；
（2）B和D两点的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
【考向】平抛运动与圆面结合
【答案】（1） ；（2）0；（3）
【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有
解得
（2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，则在C点有
小物块从C到D的过程中，根据动能定理有
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有
联立解得 ，HBD = 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有
S = π∙2R
解得
1.平抛运动的规律及推论
√2h
t=
g
1）飞行时间:由 知,飞行时间取决于下落高度h.
√2h
x=v t=v
0 0 g
2）水平射程: ,即水平射程由初速度v 和下落高度h共同决定,与其他因素无关.
0
v= √v2 +v2 = √v2 +2gh
3）落地速度: x y 0 ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有
v √2gh
tanθ= y =
v v
x 0 ,所以落地速度只与初速度v 和下落高度h有关.
0
4）速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量
Δv=gΔt
相同,方向恒为
竖直向下.
【技巧点拨】平抛运动的速度均匀变化，速率不是均匀变化。
5）平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有
tanθ=2tanα
.
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通
x =2x
过水平位移的中点，即 A B.
2.平抛运动与各种面结合问题
1）平抛与竖直面结合
{ 水平：d=v t ¿¿¿
¿
0
2）平抛与斜面结合
①顺着斜面平抛
情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】处理方法：分解位移．
{x=v t ¿¿¿
¿
0 ¿
2v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下
处理方法：分解速度
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下
处理方法：分解速度．
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v
¿ t= 0
gtanθ
可求得 .
3）平抛与圆面结合
①小球从半圆弧左边沿平抛， 落 到半圆内的不同位置．
处理方法：由半径和几何关系制约时间t：
{ 1
h=
gt2
¿ ¿¿¿
2
联立两方程可求t.
②小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏
向角相等．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】处理方法：分解速度．
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角
相等．
处理方法：分解速度．
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
4）与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水
平位移和竖直位移的大小，再用平抛 运动的规律列方程求解．
3.平抛运动的临界问题
1）常见的三种临界特征
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止
点”,而这些起止点往往就是临界点.
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极
值点往往是临界点.
2）平抛运动临界问题的分析方法
①确定研究对象的运动性质;
②根据题意确定临界状态;
③确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
④应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.斜抛运动及解题思路
1）定义：将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下所做的运动.
0
2）运动性质：加速度为g的匀变速曲线运动,轨迹为抛物线.
3）研究方法：运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动； ②竖直方向：匀变速直线运动．
4）基本规律(以斜向上抛为例)
v =v cosθ,x=v tcosθ
①水平方向:做匀速直线运动, 0x 0 0 .
1
v =v sinθ, y=v tsinθ− gt2
0y 0 0 2
②竖直方向:做竖直上抛运动, .
5）平抛运动和斜抛运动的相同点
①都只受到重力作用,加速度相同,相等时间内速度的变化量相同.
②都是匀变速曲线运动,轨迹都是抛物线.
③都可采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题.
【技巧点拨】逆向思维法处理斜抛问题：对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看
成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
1.（2023·陕西商洛·陕西省山阳中学校考一模）（多选）如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。
图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的两个小球a、b的运动轨迹，不计空气阻力，则（ ）
A．a比b的飞行时间长 B．a比b的飞行时间短
C．a的水平速度比b的小 D．a的初速度比b的大
【答案】BD
【详解】AB．由图像可以看出，a球抛出的高度小；根据 可知，a球的运动时间短，故A错误、B
正确；
CD．由图像可以看出，a、b两球的水平位移相比较，a的大，根据x = v0t可知，a球的初速度大，故C错
误、D正确。
故选BD。
2．（23-24·肇庆·一模）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开
地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量相同
B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为
C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为
D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短
【答案】A
【详解】A．摩托车在空中做平抛运动，加速度恒定，为重力加速度，根据 ，可知摩托车在空中
相同时间内速度的变化量相同，故A正确；B．若摩托车能越过壕沟，竖直方向有 ，则其所用时
间为 ，故B错误；C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 ，故C错误；D．若摩
托车越不过壕沟，根据 ，可知摩托车在空中的运动时间与下落高度有关，与初速度大小无关，故
D错误。
故选A。
3. （2023·山西吕梁·一模）滑板运动是一项青春、时尚、绿色、阳光的体育运动。如图所示，跳台的斜面
AB长为L，C点为斜面上一点， 。滑板运动员（视为质点）从斜面顶端A点水平跃出，第一次速
度为 刚好落在C点；第二次试跳中，要落在斜面底端B点，则离开A点时水平速度大小应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设斜面倾角为 ，第一次试跳中运动时间为t，则 ， ，第二次试跳中运
动时间为t＇，离开A点时水平速度大小为v＇，则 ， ，解得 ， 。
故选A。
4.（2024·山东德州·模拟预测）2023年诺贝尔物理学奖授予三位物理科学家，表彰他们对于超快激光和阿
秒物理科学的开创性工作。阿秒激光脉冲（1阿秒 秒）是目前人们所能控制的最短时间过程，可用
来测量原子内绕核运动电子的动态行为等超快物理现象。其应用类似于频闪照相机，下面三幅图是同一小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】球，在同一地点，用同一频闪照相仪得到的运动照片，下列说法正确的是（ ）
A．三种运动过程中，小球的加速度逐渐增大
B．前两种运动小球处于完全失重状态，而斜上抛运动的小球上升过程处于超重状态
C．三种运动过程中，相等时间内小球速度变化量相同
D．三种运动过程中，相等时间内小球在竖直方向上位移相同
【答案】C
【详解】AB．三种运动小球均只受重力，小球处于完全失重状态，加速度为重力加速度，保持不变，故
AB错误；C．平抛运动和斜抛运动水平方向分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，只有竖直分速度变
化，根据 可知，三种运动过程中，相等时间内速度变化量相同，故C正确；D．自由落体运动和
平抛运动，相等时间内在竖直方向上的位移相同，斜上抛运动在竖直方向上做竖直上抛运动，与前两种运
动相等时间内位移不同，故D错误。
故选C。
5.（2023·广东佛山·佛山市高明区第一中学校联考模拟预测）2021年8月1日，在第32届奥运会百米半决
赛中，身高172cm，体重65kg的苏炳添以9秒83的成绩，成为小组第一跑进决赛，打破了百米亚洲纪录。
图1到图4为苏炳添某次面对0.8m高的台阶进行坐姿直立起跳训练的视频截图，该次起跳高度约1m。
， 取 ，下列说法正确的是（ ）
A．离地后上升阶段是超重，下降阶段是失重状态 B．起跳至最高点时速度为零
C．该次起跳离地速度约为4.5m/s D．腾空时间大于0.45s
【答案】D
【详解】A．苏炳添起跳离地后的运动可以看成是斜上抛运动，离地后只受重力，加速度都为重力加速度，
都是失重状态，A错误；B．根据上述，人的运动可以看成是斜上抛运动，则最高点时水平方向有速度，
即起跳至最高点时速度不为零，B错误；C．起跳至最高点过程看成是由最高点至地面逆向的平抛运动，
令最高点速度为 ，在竖直方向有 ，解得 ，则跳离地速度 ，C错
误；D．根据 ，结合上述解得上升时间t=0.45s而腾空时间还包括从最高点下落至台阶上的时间，即
腾空时间大于0.45s，D正确。
故选D。
6.（23-24·肇庆·一模）（多选）如图所示为某公园的音乐喷泉，水柱由喷头喷出，喷头可沿任意方向旋转，
水流速度大小也可随音乐的声调高低进行调节，现有一个喷头（喷头高度不计）将水柱与水面成 角喷
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】出，水柱在空中只受重力，喷射的最远水平距离为 ，重力加速度取 ，下列说法正确的是
（ ）
A．水柱到达最高点时的速度为0 B．水柱上升的最大高度为
C．水柱在空中的运动时间为 D．水柱在上升过程中机械能不断增加
【答案】BC
【详解】A．水柱在空中做斜抛运动，到达最高点时竖直方向速度为0，水平方向速度不变，故A错误；
BC．设水柱喷射时初速度为 ，在空中的运动时间为 ，根据斜抛运动特点有 ， ，
，解得 ， ，故BC正确；D．水柱在空中只受重力，可知水柱在上升过程中机
械能守恒，故D错误。
故选BC。
7.（2023·福建宁德·一模）如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的
落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的判断正确的是（ ）
A．两小球的飞行时间均与初速度v 成正比
0
B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快
C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大
D．小球落在a点和b点时的速度方向不同
【答案】A
【详解】A．设斜面倾角为 ，则 ，可得 ，两小球的飞行时间均与初速
度v0成正比，故A正确；B．两球抛出后只受重力作用，加速度为相同，所以速度的变化快慢相同，故B
错误；C．根据题意知，落在a点的高度比落在b点的小，根据 ，可知落在a点的运动的时间小于
b点，根据 ，可知，落在a点的速度变化小于b点，故C错误；D．设小球落到斜面上速度方向与
水平方向的夹角为 ，则 ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。
故选A。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.（2024·辽宁鞍山·二模）如图所示，半径 的半球紧贴着竖直墙固定在水平地面上。体积可忽略的
小球在竖直墙最高点最右侧以 水平向右抛出。已知墙高 ，忽略空气阻力，小球落地后不反弹。
试求：
（1）若小球刚好击中半球的最高点，则小球水平抛出的初速度 大小。
（2）若小球不与半球相碰，则小球水平抛出的初速度 大小的取值范围。
【答案】（1）2.5m/s；（2） m/s
【详解】（1）小球做平抛运动，竖直方向上有
水平方向上有
解得
（2）小球恰不与半球相碰，即轨迹恰好与圆轨道相切，设此时速度方向与竖直方向所成夹角为θ，由几何
关系有
水平方向有
竖直方向上有
且
解得 m/s
小球水平抛出初速度范围为 m/s
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点四 圆周运动的规律及应用
1．（2021·全国·高考真题）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细
绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速
可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（ ）
A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2
【考向】描述圆周运动的物理量
【答案】C
【详解】纽扣在转动过程中 ，由向心加速度 。
故选C。
2.（2021·河北·高考真题）（多选）如图，矩形金属框 竖直放置，其中 、 足够长，且 杆
光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过 杆，金属框绕 轴
分别以角速度 和 匀速转动时，小球均相对 杆静止，若 ，则与以 匀速转动时相比，以 匀
速转动时（ ）
A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大
【考向】圆周运动临界问题
【答案】BD
【详解】对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向 ，而
，可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变。则A错
误，B正确；水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力FN背离转轴，则 ，即
，当转速较大时，FN指向转轴 ，即 ，则因
，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大。则C错误；根据 ，可知，因角
速度变大，则小球受合外力变大。则D正确。
故选BD。
3.（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作
要领。 短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前 用时 。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为 的匀速圆周运动，速度大小为 。已知武大靖的
质量为 ，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，
如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角 的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小
取 ， 、 、 、 ）
【考向】匀速圆周运动的规律及应用
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为 ，根据
解得
（2）根据
解得过弯时所需的向心力大小为
（3）设场地对武大靖的作用力大小为 ，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得
可得
4.(2022·上海卷·6)运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向心
加速度为a。则( )
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A. ω变小，a变小 B. ω变小，a变大 C. ω变大，a变小 D. ω变大，a变大
【考向】近心运动
【答案】D
v v2
【解析】根据ω= 可知，速率不变，半径减小，则角速度ω变大，根据a= 可知，速率不变，半径减小，
r r
向心加速度a变大，故D正确，ABC错误。
1.水平面内圆周运动的动力学问题
运动模型 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型 飞车走壁 火车转弯 飞机水平转弯
向心力的来源图示
2.竖直平面内圆周运动问题的解题思路
1.定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
v =√gr
2.确定临界点: 临 ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是F 表现
N
为支持力还是拉力的临界点.
3.研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
F =F
4.受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程, 合 向.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【技巧点拨】斜面上圆周运动的临界问题：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为 θ，重力垂
直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R.
3.绳子模型与轻杆模型对比
绳模型 杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动球与杆连接、球在光滑管道中运动等
的“过山车”等
常见
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力
示意图
F 向下或等于零
弹 F 向下、等于零或向上
弹
力学
mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
方程
F =0
弹 v=0
过最高
v2
点的临 mg=m min 即 F 向 =0
R
界条件 F =mg
v =√gR 弹
min
①过最高点时,
v≥√gR
, ①当
v=0
时,
F
弹
=mg
,
F
弹为支持
v2 力,沿半径背离圆心
F +mg=m
弹 R
0<v<√gR
,绳、圆轨道对 ②当 时,
讨论
F v2
分析 球产生弹力 弹 -F +mg=m
弹 R F
v<√gR , 弹背离圆心,随v
②不能过最高点时, ,
的增大而减小
在到达最高点前小球已经脱离了圆
v=√gR F =0
轨道 ③当 时, 弹
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】v>√gR
④当 时,
v2
F +mg=m
弹 R , F 弹指向圆心并随v
的增大而增大
4.圆周运动几种常见的临界条件
1）物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与接触面间恰好达到最大静摩擦力．
2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
5.常见的传动方式及特点
1.皮带传动、摩擦传动和齿轮传动：如上图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动，如下图甲、乙
v =v
所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即 A B.
2.同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，
ω
A
=ω
B，由
v=ωR
知v与
R成正比．
1.（2023·山西吕梁·一模）旋转木马可以简化为如图所示的模型，a、b两个小球分别用悬线悬于水平杆上
的A、B两点， 。装置绕竖直杆稳定匀速旋转后，a，b在同一水平面内做匀速圆周运动，两悬线
与竖直方向的夹角分别为 ， ，则 ， 关系满足（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设OA段长为L，OB段长为3L，匀速旋转小球到悬点的高度均为h，由于a、b两球做圆周运动
的角速度相同，且都满足 ，则有 ，解得 。
故选B。
2.（2023·云南昆明·统考二模）图甲是市区中心的环岛路，A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆
周运动，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两车的向心加速度大小相等 B．A车的角速度比B车的角速度大
C．A、B两车所受的合力大小一定相等 D．A车所受的合力大小一定比B车的大
【答案】B
【详解】A．A、B两车正在绕环岛做速度大小相等的匀速圆周运动，根据 可知A的向心加速度较大，
故A错误；B．根据 可知A车的角速度比B车的角速度大，故B正确；CD．由于两车质量关系未知，
两车所受合力提供向心力，根据 可知无法判断合力大小，故CD错误；
故选B。
3.（2023·贵州·校考模拟预测）王某在学习完圆周运动知识后对修正带的内部结构进行研究。如图，修正带
盘固定在大齿轮的转轴上，大、小齿轮相互咬合，图中 两点分别位于大、小齿轮的边缘上， 点位于
大齿轮的转轴半径中点，且 ，修正带被匀速拉动进行字迹修改时（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．大、小齿轮沿相同方向转动
B． 点的线速度大小之比为
C． 点的角速度大小之比为
D． 点的向心加速度大小之比为
【答案】B
【详解】AB．同缘传动时，边缘点的线速度大小相等，方向相反，有 ，故A错误，B正确；
C．同轴传动时，角速度相等，故 ，故C错误；D．根据 ，又 ，可知
，向心加速度表达式，可得 ，解得 ，故D错误。
故选B。
4.（23-24上·安庆·一模）（多选）如图所示，轻质细杆的一端与小球相连，可绕过O的水平轴自由转动，
细杆长1m，小球质量为1kg。现使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过轨道最低点A的速度为
，通过轨道最高点B的速度为 ，取 ，则小球通过最低点和最高点时，细杆对
小球的作用力小球可视为质点（ ）
A．在A处为拉力，方向竖直向上，大小为
B．在A处为推力，方向竖直向下，大小为
C．在B处为推力，方向竖直向上，大小为
D．在B处为拉力，方向竖直向下，大小为
【答案】AC
【详解】AB．在最低点，细杆对小球的拉力与小球重力的合力提供竖直向上的向心力，则杆子一定表现为
拉力，有 ，代入数据解得 ，故A正确，B错误；CD．在最高点，细杆对小球的力与
小球的重力的合力提供竖直向下的向心力，假设细杆对小球的力为竖直向下的拉力，则有 ，
代入数据解得 ，所以细杆应表现为推力，方向向上，大小为1N，故C正确，D错误。
故选AC。
5．（2024·陕西渭南·一模）如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当
车轮高速旋转时，重物由于做离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光，
下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．安装时A端比B端更靠近气嘴
B．高速旋转时，重物做离心运动是由于受到离心力作用
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
【答案】C
【详解】A．根据题意，重物由于做离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，可知安装时B端比A端更
靠近气嘴，故A错误；B．高速旋转时，重物做离心运动是由于重物所受外力沿半径方向的合力不足以提
供圆周运动的向心力，不能够认为重物受到离心力作用，故B错误；C．根据 可知，速度大小，圆
周运动半径一定时，增大重物质量时，重物所需向心力增大，可知增大重物质量时，重物更加容易发生离
心运动，即增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，故C正确；D．匀速行驶时，若LED灯转
到最低点时，重力方向竖直向下，则此时弹簧一定处于拉伸状态，且有 LED灯能发光，表
明此时触点M、N接触，LED灯转到最高点时，速度大小不变，所需向心力大小不变，由于重力方向竖直
向下，则此时弹力大小一定减小，即重物将远离B端，可知此时触点M、N有可能脱离接触，即LED灯不
一定发光，故D错误。
故选C。
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
