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专题4.1 曲线运动 运动的合成与分解【讲】
【讲核心素养】
1.物理观念：曲线运动、合运动、分运动。
（1）理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.。
（2）知道合运动、分运动的确切含义并能在具体问题中加以区分与识别。
2.科学思维：运动的合成与分解、小船渡河模型、速度关联模型。
（1）理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
（2）会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题
3.科学态度与责任：运动合成与分解在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推
理能力和模型构建能力。
【讲考点题型】
【知识点一】曲线运动的条件及轨迹分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向
弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
3．特征
（1）运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动．
（2）动力学特征：做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线
上（做曲线运动的条件）．合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿
速度方向上的分力改变物体速度的大小．
（3）轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一
侧弯曲．
【例1】（2022·浙江·天略外国语学校模拟预测）2021年8月21日，中国人民火箭军成功发射两
枚新型导弹。导弹轨迹通常都十分复杂，下图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度
v与所受合外力F关系正确的是（ ）A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点
【答案】 D
【解析】
弹头的轨迹时曲线运动，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，
速度方向在轨迹的切线方向。
故选D。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念。要求考生在正确理解力与运动关系的基础上
结合各类运动特点准确判断物体的运动性质建立清晰的运动观。
【变式训练1】（2022·浙江·高三专题练习）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛
的场景｡比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速
摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动｡在图乙所示的各图中，
圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的
轨迹（虚线表示）可能正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】 B
【解析】
由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，而后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合
力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。
即①④正确。
故选B。
【例2】（2022·辽宁丹东·高三期末）曲线运动是现实生活中最常见、最普遍的运动形式，下列对
曲线运动描述正确的是（ ）
A．速度大小和方向都在不断变化
B．加速度一定变化
C．加速度和速度的方向可能始终垂直
D．物体只有在所受的合力方向与速度方向垂直时，才能做曲线运动
【答案】 C
【解析】
A．曲线运动是变速运动，即速度方向时刻在变，但速度大小不一定改变，如匀速圆周运动，故
A错误；
B．曲线运动的加速度不一定改变，如平抛运动加速度始终为重力加速度，故B错误；
C．加速度和速度的方向可能始终垂直，如匀速圆周运动，故C正确；
D．物体做曲线运动的条件是所受的合力方向与速度方向不共线即成一定夹角，但不一定是直角，
锐角、钝角和直角均可，故D错误。
故选C。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念。
【变式训练2】（2022·上海市崇明中学模拟预测）如图所示，一带正电的点电荷在一匀强电场中，
只在电场力作用下，沿曲线由A运动到B点，且电势能增加。则该电场方向可能是（ ）
A．A指向B B．B指向A
C．水平向左 D．竖直向下【答案】 C
【解析】
AB．由图可知，点电荷所受合力方向应指向曲线凹侧，因为点电荷带正电，所以电场方向与点电
荷在该点所受电场力方向一致，则有电场方向指向曲线凹侧；A、B错误；
CD．由已知点电荷带正电，则电场方向与点电荷在该点所受电场力方向一致，因为点电荷电势能
增加，所以电场力做负功，电场方向可能向左，不可能竖直向下，C正确，D错误。
故选C。
【必备知识】（1）物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记
为“无力不弯，力速两边”，如图所示。
（2）因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为
零并立刻开始沿其他方向加速运动。
（3）若合外力的方向与速度方向夹角成锐角，则物体速率增大，如图所示，若两者夹角为钝角，
则速率减小。
【知识点二】运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均
是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【方法总结】化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用
1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，
切记不可按分解力的思路来分解运动。
2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。
3．两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
【例3】（2022·云南昆明·一模）一小型无人机在高空中飞行，将其运动沿水平方向和竖直方向分
解，水平位移x随时间t变化的图像如图甲所示，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图乙
所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是（ ）A．0~2s内做匀加速直线运动 B．t=2s时速度大小为 m/s
C．2s~4s内加速度大小为1m/s2 D．0~4s内位移大小为10m
【答案】 B
【解析】
A．0~2s内，由图甲知，水平方向做匀速直线运动，由图乙知，竖直方向做匀加速直线运动，则
0~2s内做匀加速曲线运动，故A错误；
B．水平方向速度大小为
t=2s时竖直方向速度大小为
则t=2s时速度大小为
故B正确；
C．2s~4s内水平方向、竖直方向均做匀速直线运动，加速度大小为0，故C错误；
D．0~4s内水平方向位移大小为
竖直方向位移大小为
则位移大小为
故D错误。
故选B。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能根据运动规律进行科
学推理结合力与运动特征分析物体的分运动及合运动的性质。
【变式训练3】（2022·福建省德化第一中学高三阶段练习）为了抗击病毒疫情，保障百姓基本生
活，快递公司采用无人机配送快递。无人机在某飞行配送过程中，沿水平方向的速度 ，和竖直
向上的速度 ，与飞行时间t的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）A．在 时刻，无人机处于失重状态 B．在 时刻，无人机上升至最高点
C．在 内，无人机沿直线飞行 D．在 内，无人机做匀变速运动
【答案】 D
【解析】
A．由题图可知，在t 时刻，无人机水平方向做匀速直线运动，竖直方向匀加速上升，则无人机
1
的加速度竖直向上，故无人机处于超重状态，故A错误；
B．在 时刻，无人机竖直向上的速度达到最大，但不是最高点，后面还在匀减速上升，故 B错
误；
C．在 内，无人机的初速度和加速度不共线，所以无人机做曲线引动，故C错误；
D．在 内，无人机水平方向做匀减速直线运动，则水平加速度恒定，竖直方向匀减速上升，
竖直加速度恒定，则无人机的合加速度恒定，故无人机做匀变速运动，故D正确。
故选D。
【必备知识】1.运动性质的判断
加速度（或合外力）
加速度（或合外力）方向与速度方向
2.判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线
匀变速曲线运动
运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运
合 合
动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 与a 不共线，为匀变速曲线
合 合
运动
【例4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）从距地面高度3.2m处，将质量1kg的小球以3m/s
的初速度水平向右抛出。小球运动过程中受到恒定的水平向左的风力，风力的大小为 5N。重力加速度取10m/s2。则（ ）
A．小球做匀变速曲线运动 B．小球落地的水平距离为2.4m
C．小球落地时的动能为32.5J D．小球抛出后经过0.1s动能最小
【答案】 AC
【解析】
A．小球水平方向受到恒定的风力与竖直方向的重力，则合外力不变，加速度恒定，并且合外力
与初速度有一定的夹角，所以小球做匀变速曲线运动，则A正确；
B．小球在竖直方向上做自由落体运动，设落地的时间为t，则有
解得
取向右为正方向，小球水平方向的加速度为
小球在水平方向做匀减速直线运动，则落地时小球的水平距离为
所以B错误；
C．小球落地时的动能为 ，由动能定理可得
解得
D.根据ABC分析，当小球t时刻的动能可表示为
（其中 ）
代入数据化简可得
（其中 ）
则 时，小球动能最小，故D错误。
D选项另解，当小球合速度与合力方向垂直时动能最小，由几何关系可得
， ，代入数据联立解得
所以D错误；
故选AC。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维及科学态度。本题以生产生活为情
境要求考生能理解合运动分运动的概念并能应用运动的合成与分解分析具体的问题。
【变式训练4】（2022·全国·高三专题练习）飞机在航行时，它的航线方向要严格地从东向西，飞
机的速度是160km/h，风从南面吹来，风的速度为80km/h。
（1）飞机应朝着哪个方向飞行？
（2）飞机此时的速度大小是多少？
（3）如果所测地区长达 km，飞机飞过所测地区所需时间是多少？
【答案】 （1）西偏南 ；（2） ；（3）
【解析】
（1）飞机的合速度沿东西方向，设飞机的速度与东西方向的夹角为 ，则有
解得
则
则飞机应朝着西偏南 的方向飞行。
（2）飞机此时的速度为
（3）如果所测地区长达 km，飞机飞过所测地区所需时间是
【知识点三】小船渡河问题
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v 、水的流速v 、船的实际速度v.
船 水
3．两种渡河方式
方式 图示 说明渡河时间
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t ＝
min
最短
渡河位移 当v ＜v 时，如果满足v －v cos θ＝0，渡河位移
水 船 水 船
最短 最短，x ＝d
min
渡河位 当v ＞v 时，如果船头方向（即v 方向）与合速度
水 船 船
移最短 方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为x ＝
min
【方法总结】小船渡河问题的分析思路
【例5】（2022·全国·高三专题练习）一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v ＝2.5 m/s.
1
（1）若船在静水中的速度为v ＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长
2
时间？位移是多少？
（2）若船在静水中的速度为v ＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间
2
位移是多少？
（3）若船在静水中的速度为v ＝1.5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时
2
间？位移是多少？
【答案】 （1）船头垂直于河岸 36 s；90 m
（2）船头与上游河岸成60°角；24 s；180 m（3）船头与上游河岸成53°角；150 s；300 m
【解析】
将船实际的速度（合速度）分解为垂直于河岸方向和平行于河岸方向的两个分速度，垂直于河岸
的分速度影响渡河的时间，而平行于河岸的分速度只影响船在平行于河岸方向的位移.
（1）若v ＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应垂直于河岸方向，如图甲所示，合速度为倾
2
斜方向，垂直于河岸的分速度为v ＝5 m/s.
2
v ＝
合
x＝v t＝90 m.
合
（2）若v ＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，合速度应沿垂直于河岸方向，船头应朝图乙中的 v
2 2
方向.垂直于河岸过河则要求v ＝0，有v sin θ＝v ，得θ＝30°.所以当船头与上游河岸成60°角时航
∥ 2 1
程最短.
x＝d＝180 m
（3）若v ＝1.5 m/s，与（2）中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方
2
向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝ .欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点
A作出v 矢量，以v 矢量末端为圆心，v 大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方
1 1 2
向，欲使v 与河岸下游方向的夹角最大，应使v 与圆相切，即v ⊥v .
合 合 合 2由sin α＝ ，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向.
v ＝v cos α＝2 m/s
合 1
x＝v t＝300 m.
合
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求理解、应用运动的合成与分
解并能根据问题情境构建物理模型。
【变式训练5】（多选）（2022·四川·遂宁模拟预测）如图所示，河宽为d，河水的流速 恒定、
船在静水中的速度 的大小不变，船从河岸的A点沿虚线轨迹运动，匀速到达河对岸的 B点，
、 与虚线的夹角分别为 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．船的实际运行速度为
B．船的实际运行速度
C．渡河时间与河水的流速 有关
D．当 时，渡河的时间为
【答案】 AD
【解析】
AB． 、 的合速度即船的实际运行速度为 ，沿虚线所在的方向，把 、 分别沿着虚线和
垂直于虚线所在的方向正交分解，则有
船的实际运行速度
所以A正确；B错误；
C．渡河的时间由 、 、 、d几个量共同决定的，与 无关，所以C错误；
D．当 ，渡河时间为
所以D正确；
故选AD。
【技法提升】“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
【知识点四】关联速度问题模型
1.模型特点
与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上.
2.明确合速度与分速度
合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.绳（杆）端关联速度分解问题的常见模型
情景图示
（注：A沿斜
面下滑）
分解图示
v cos α＝ v sin α＝
A B
定量结论 v ＝v cos θ v cos θ＝v
B A A 0
v cos β v cos α
B A
基本思路 确定合速度（物体实际运动）→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
【方法总结】关联速度问题
因绳、杆的长度不能改变，则任意时刻沿绳、杆方向上的分速度大小必然相等，任意时刻沿绳、
杆方向上的加速度分量大小也相等．把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或
杆）的两个分量，沿绳（或杆）方向的分速度大小相等．
【例6】（多选）（2022·安徽·模拟预测）如图所示，固定竖直杆上套着一个质量为m的小滑块
（视为质点），用轻绳系着滑块绕过小定滑轮（大小不计），另一端以大小为v的速度匀速运动，
使滑块沿竖直杆上升，先后经过A、B两点。滑轮边缘与轻绳相切于O点。O点到竖直杆的距离
为L，∠OAC= 30°，∠OBC=45°，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。 下列说法正确的是（
）
A．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为
B．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为 ：3
C．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为
D．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为
【答案】 BC
【解析】
AB．滑块经过A点时对速度进行分解，如图所示
则滑块经过A点时的速度为
同理，滑块经过B时的速度为
滑块经过A、B两点时的速度大小之比为故A错误，B正确；
CD．滑块从A点运动到B点的过程中上升的高度为
根据动能定理，可得
联立方程，解得
故C正确，D错误。
故选BC。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【变式训练6】（2022·全国·浙江省新昌中学高三专题练习）两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，
上面分别穿有两个小球a和b，小球a、b间用一细直棒相连，如图所示.当细直棒与竖直杆夹角为
θ时，求小球a、b实际速度大小之比.
【答案】 tan θ
【解析】
根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示．
由图中几何关系可得，a、b沿杆方向的分速度分别为vacos θ和vbsin θ，根据“关联速度”的特
点可知，两小球沿杆的分速度大小相等，即有vacos θ＝vbsin θ，解得： ＝tan θ.
【必备知识】绳（杆）牵连物体的分析技巧
（1）先确定合速度的方向（物体实际运动方向）。（2）分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
（3）确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，沿绳或杆方
向的分速度大小相同。
