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第 02 讲 排列与组合 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】由题意，得 ，化简可得 ，解得 ．
故选:B
2．（2022·陕西·西安市临潼区雨金中学高二阶段练习（理））已知 ，则 的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以 或 ，
解得： 或 .
故选：B.
3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就
的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九
韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启
蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
【答案】D
【详解】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故选:D.
4．（2022·河南安阳·模拟预测（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，
某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少
接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
【答案】A
【详解】解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为： 种又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有 种，
则不同的安排方法共有： 种.
故选：A.
5．（2022·山东·模拟预测）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办
所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和
冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1
人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【答案】B
【详解】将4名同学分成两组，有 种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列
有 种，所以共有 种报名方案.
故选：B.
6．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设
A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，
每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种 B．240种 C．150种 D．60种
【答案】C
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 种；
②三组人数为2、2、1，此时有 种.
所以共有60+90=150种.
故选：C
7．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），
CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）A．20条 B．21条 C．22条 D．23条
【答案】D
【详解】由题意知从A到 的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马路，共有 种，
又因为经过 段的走法有 种，故不经过 段的最短路径有 条.,
故选:D
8．（2022·吉林·高二期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”
进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3
艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．72 B．324 C．648 D．1296
【答案】D
【详解】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有 种，
3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有 种，
同侧的是同种舰艇的分配方案有 种，
故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为 ,
故选：D
二、多选题
9．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安
排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、
星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（
）
A．甲乙都不选的方案共有432种
B．选甲不选乙的方案共有216种
C．甲乙都选的方案共有96种
D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
【答案】ABC
【详解】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2
男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工
甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班甲乙都不选的方案共有 种，A正确
选甲不选乙的方案共有 种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一
乙排星期一的方案共有 种
乙不排星期一的方案共有 种
∴甲乙都选的方案共有 96种，C正确
这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
选乙不选甲的方案共有 种
∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D错误
故选：ABC．
10．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计
划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下
列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法
【答案】ACD
【详解】A：6门中选2门共有 种选法，故A正确；
B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有 种排法，然后全排
列有 种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有 种，没有限制条
件时共有 种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有 种排法，故B错误；
C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有 种排法，然后全排列
有 种排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故C正确；
D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有 种排法，再把剩下4个全排列，有
种排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）全国新高考方案为“ ”模式，其中“3”为语文、
数学、外语三门必考科目，“1”为首选科目，学生须在物理、历史中选择一科，“2”为再选科目，学生可
在化学、生物、政治、地理中选择两科.现甲、乙两名同学要从四门再选科目中各选两门进行学习，若甲、
乙不能同时选地理学科，则甲、乙总的不同的选法有______种.（用数字作答）
【答案】27【详解】若甲乙都不选地理学科，则有 种；若甲选地理学科，则有 ；
若乙选地理学科，则有 ；故总共有 种.
故答案为：27.
12．（2022·福建泉州·高二期中）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
【答案】420
【详解】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有 种，
用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有 种，
用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有 种，
所以不同的着色方法共有 （种）.
故答案为：420
四、解答题
13．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中）（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目 和 ；2个相声节目
1和2.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？
（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名
女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
【答案】（1） ；（2）432；（3）80.
【详解】（1）歌唱节目记为 ，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排
列为： .
（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺
序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有 （种）.
（3）选2名男教师与2名女教师，共有 (种)，选3名男教师与1名女教师，共有 (种)，
所以共有60+20=80（种）.
14．（2022·江苏宿迁·高二期中）某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？【答案】(1)64；(2)128；(3)51.
(1)利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有 种不同的的选法；
(2)先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有 种不同的的选法；
(3)先分类再分步：第一类：甲组1男生： ，第二类：乙组1男生： ，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.
B 能力提升
1．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种
不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
【答案】(1) ；(2) .
(1)当种5种颜色的花，作全排列，则有 种；
当种4种颜色的花，5种颜色选4种， 中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全排
列，则有 种；
当种3种颜色的花，5种颜色选3种， 位置任选一种，余下2种颜色在 分别种相同颜色，
则有 种；
所以共有 种不同种植方法.
(2)将7个盆栽有 、 两种分组方式，
以 分组，则 种；
以 分组，则 种；
所以共有 种不同的放法.
2．（2022·全国·高二课时练习）7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名，
在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名女同学必须相邻而站；
（2）4名男同学互不相邻；
（3）若4名男同学身高都不相等，按从高到低或从低到高的顺序站；
（4）老师不站正中间，女同学不站两端.
【答案】（1） 种；（2） 种；（3） 种；（4） 种.【详解】（1）2名女同学站在一起有 三种站法，将2名女同学视为一个整体与其余5人全排列，有
种站法，所以共有 种不同的站法.
（2）先排老师和女同学，有 种站法，再在老师和女同学3人站位的间隔（含两端）处插入男同学，每
空1名，有 种站法，所以共有 种不同的站法.
（3）4名男同学不考虑身高顺序的站法有 种，而按从高到低或从低到高的顺序站，有2种，所以共有
种不同的站法.
（4）正中间和两端是特殊位置，可按如下分类求解：①老师站两端中的一端，另一端站男同学，有
种站法；②两端全由男同学站，老师站除两端和正中间外的4个位置之一，有 种站法，所
以共有 种不同的站法.
C 综合素养
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C ，C ，C ，
1 2 3
C ，C ，C ，直径AB上有异于A，B的四个点D，D，D，D．
4 5 6 1 2 3 4
（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C 的有多少个？
1
（2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
【答案】（1）116(个)；36(个)；（2）360(个)．
【详解】（1）可分三种情况处理：
①C ，C ，…，C 这六个点任取三点可构成一个三角形,有 种；
1 2 6
②C ，C ，…，C 中任取一点，D，D，D，D 中任取两点可构成一个三角形，有 种；
1 2 6 1 2 3 4
③C ，C ，…，C 中任取两点，D，D，D，D 中任取一点可构成一个三角形，有 ．
1 2 6 1 2 3 4
所以共有 =116(个)．
其中含C 点的三角形有 =36(个)．
1
（2）构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
C ，C ，…，C 这六个点中任意三点都不共线.
1 2 6
①C ，C ，…，C 这六个点任取四点可构成一个四边形，有 种；
1 2 6②C ，C ，…，C 中任取三点，D，D，D，D 中任取一点可构成一个四边形，有 种；
1 2 6 1 2 3 4
③C ，C ，…，C 中任取两点，D，D，D，D 中任取两点可构成一个四边形，有 种．
1 2 6 1 2 3 4
所以共有 =360(个)．
