高中数学知识点全总结+二级结论归纳-上好课2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）_2025年新高考资料_二轮复习_01高考语文等多个文件

高中数学知识点总结 目录 知识01集合与常用逻辑用语.......................................................................................2 知识02 函数的概念与基本初等函数..........................................................................5 知识03 导数及其应用................................................................................................18 知识04 立体几何与空间向量....................................................................................22 知识05 平面解析几何................................................................................................33 知识06 三角函数及解三角形....................................................................................46 知识07 概率与统计....................................................................................................51 知识08 数列................................................................................................................65 知识09 复数................................................................................................................71 知识10 平面向量........................................................................................................73 知识11 不等式............................................................................................................77知识 01 集合与常用逻辑用语 一、集合 1．集合的相关概念 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 合 符 N*或N ＋ 号 （3）集合与元素间的关系 对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{ | 具有的性质}，其中 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合 ② ③ 叫做空集( ). 2．集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 (1)A A A(B) A⊆B (2) A中的任一元素 或 子集 （或 都属于B (3) 若 A⊆B 且 ， 则 B⊇A) B A A⊆B (4)若 且 ，则A B A⊆B （1） （A为非空子集） ， 且 B 真子 集 （或B 中至少有一元素不 B A 属于A (2)若 且 ，则 A） A中的任一元素 集合 (1) A(B) 都属于B，B中的 相等 任一元素都属于A (2) 3．集合的三种基本运算 名 记 意义 性质 示意图 称 号 （1） 交 且 （2） 集 （3） （1） 并 或 （2） 集 （3） （1） 补 集 （2）二、充分条件与必要条件 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断 为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 M θ (ρ,θ) M M(ρ,θ) 若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． (ρ,θ) (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) O 若 ，则 是 的充要条件（充分必要条件）． 三、全称量词与存在量词 1．全称量词与存在量词 量词名 表示符 常见量词 称 号 全称量 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 词 存在量 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些 ∃ 词 等 2．全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称量词命题 对M中任意一个x，有 成立 存在量词命题 存在M中的一个 ，使 成立 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 语言表示 符号表示 命题的否定 名称 对M中任意一个x，有 全称量词 命题 成立 存在M中的一个x，使 存在量词 0 命题 成立知识 02 函数的概念与基本初等函数 一、函数的概念及其表示 1．函数 设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，称 为从集合 到集合 的一个函数 2．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定 义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是 集合 的子集． （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系． （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相 等的依据． （4）函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段 函数． （1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． （2）如果函数 用表格给出，则表格中 的集合即为定义域． （3）如果函数 用图象给出，则图象在 轴上的投影所覆盖的 的集合即为定义域．0 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． （1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． （3）各段函数的定义域不可以相交．③ 4．常用结论 （1）若 为整式，则函数的定义域为 ； （2）若 为分式，则要求分母不为0； （3）若 为对数式，则要求真数大于0； （4）若 为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； （5）若 描述实际问题，则要求使实际问题有意义． 如果 是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式（组）． 二、函数的单调性与最值 1．函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的 定义 值 当 时，都有 ，那 当 时，都有 ，那么就说函 么就说函数 在区间 上是增函数 数 在区间 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是下降的 自左向右看图象是上升的 （2）单调区间的定义如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间上具有（严格 的）单调性，区间 叫做 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 条件 对于任意 ，都有 ； 对于任意 ，都有 ；存在 ， 存在 ，使得 使得 结论 为最大值 为最小值 三、函数的奇偶性、周期性与对称性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 关于 轴对 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么 称 函数 是偶函数 奇函数 关于原点对 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那 称 么函数 是奇函数 2．函数的周期性 （1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都 有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期． 3．函数的周期性 （1）如果一个奇函数 在原点处有定义，即 有意义，那么一定有 ．（2）如果函数 是偶函数，那么 ． （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （4）函数周期性常用结论 对 定义域内任一自变量的值 ： ①若 ，则 ． ②若 ，则 ． ③若 ，则 ． （5）对称性的三个常用结论 ①若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称． ②若对于 上的任意 都有 或 ，则 的图象关于直线 对称． ③若函数 是奇函数，则函数 的图象关于点（b，0）中心对称． 四、二次函数与幂函数 1．幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数． （2）5个常见幂函数的图象与性质函数 定义域 值域 奇偶性 奇函 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 数 单调性 在R 在R上单 在 上单调 在 上 在 和 上单调 调递增 单调递增 递增 递减，在 上 上单调递减 单调递增 图象 过定点 （1，1） 2．二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ，图象的对称轴是 ，顶点坐标是 一般式 顶点式 ，图象的对称轴是 ，顶点坐标是（m，n） 零点式 ，其中 是方程 的两根，图象的 对称轴是 （2）二次函数的图象与性质函数 图象（抛物 线） 定义域 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当 时是偶函数，当 时是非奇非偶函数 在 上是减函 在 上是增函 数； 数； 单调性 在 上是增函 在 上是减函 数 数 3．常用结论 ①二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． ②若 ，则当 时恒有 ，当 时，恒有 ． 五、指数与指数函数 1．根式 （1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数． （2）性质： ；当 为奇数时， ， 当 为偶数时， 2．分数指数幂 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是 ；正数的负分数指数 幂的意义是 ，且 的正分数指数幂等于 的负分数指数幂没有意义． （2）有理指数幂的运算性质： ，其中 ． 3．指数函数及其性质 （1）概念：函数 叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ， 是底数． （2）指数函数的图象与性质 图象 定义 域 值域 性质 过定点（0，1），即 时， 当 时， ；当 时， 当 时， ；当 时， 在 上是增函数 在 上是减函数 4．常用结论（1）画指数函数 的图象，应抓住三个关键点： ． （2）在第一象限内，指数函数 的图象越高，底数越大． 六、对数与对数函数 1．对数的概念 如果 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底 数， 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 （1）对数的性质：① ；② ． （2）对数的运算法则 如果 且 ，那么 ① ； ② ； ③ ； ④ ． （3）换底公式： 均大于零且不等于1）． 3．对数函数及其性质（1）概念：函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ． （2）对数函数的图象与性质 图 象 性 质 定义域： 值域： 当 时， ，即过定点（1，0） 当 时， ；当 时， 当 时， ；当 时， 在 上是增函数 在 上是减函数 4．反函数 指数函数 与对数函数 互为反函数，它们的图象关于 直线 对称． 5．常用结论 ①换底公式的两个重要结论 （1） ． 其中 ，且 ，且 ． ②在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． ③对数函数 的图象过定点（1，0），且过点（a，1）， ，函数图象 只在第一、四象限．七、函数的图象 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：（1）确定函数的定义域； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 （1）平移变换 ① 的图象 的图象； ② 的图象 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对 本身，与 的系数，无关，上加下减指的是在 整体 上加减． （2）对称变换 ① 的图象 的图象； ② 的图象 的图象； ③ 的图象 的图象； ④ 的图象 的图象． （3）伸缩变换 ① 的图象 的图象． ② 的图象 的图象．（4）翻折变换 ① 的图象 轴下方部分翻折到上方 的图象； ② 的图象 的图象． 3．常用结论 （1）函数图象自身的轴对称 ① 函数 的图象关于 轴对称； ②函数 的图象关于 对称 ； ③若函数 的定义域为 ，且有 ，则函数 的图象关于直线 对称． （2）函数图象自身的中心对称 ① 函数 的图象关于原点对称； ②函数 的图象关于（a，0）对称 ； ③函数 的图象关于点（a，b）成中心对称 ． （3）两个函数图象之间的对称关系①函数 与 的图象关于直线 对称（由 得对称轴方程）； ②函数 与 的图象关于直线 对称； ③函数 与 的图象关于点（0，b）对称； ④函数 与 的图象关于点（a，b）对称． 八、函数与方程 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点． （2）几个等价关系 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 在区间（a，b）内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的 根． 2．二次函数图象与零点的关系 二次函数 的 图象 与 轴的交点 无零点个数 2 1 0 九、函数的模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模 型 二次函数模 型 指数函数模 型 对数函数模 型 幂函数模型 “对勾”函 数模型 2．三种函数模型的性质 函数 单调递增 单调递增 单调递增 在 上 的单调性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随 的增大，逐渐表现为与 随 的增大，逐渐表现为与 随 值变化而各有 图象的变化 轴平行 轴平行 不同 值的比较 存在一个 ，当 时，有知识 03 导数及其应用 一、导数的概念及运算 1．导数的概念 一般地，函数 在 处的瞬时变化率 为函数 在 处的导数，记作 或 即 ．称函数 为 的导函数． 2．导数的几何意义 函数 在点 处的导数 的几何意义是在曲线 上点 处的切线的斜率． 相应地，切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数基本初等函数 导函数 4．导数的运算法则 （1） ； （2） ； （3） ． 5．常用结论 1． 代表函数 在 处的导数值； 是函数值 的导数，且 ． 2． ． 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 4．函数 的导数 反映了函数 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大 小 反映了变化的快慢， 越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数 在区间（a，b）内可导，（1）若 ，则 在区间（a，b）内是单调递增函数； （2）若 ，则 在区间（a，b）内是单调递减函数； （3）若恒有 ，则 在区间（a，b）内是常数函数． 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 2．常用结论 （1）在某区间内 是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件． （2）可导函数 在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对 ，都有 且 在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零． 三、利用导数解决函数的极值最值 1．函数的极值 （1）函数的极小值： 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在 点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值． （2）函数的极大值： 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在 点 附近的左侧 ，右侧 ，则点 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．①函数 在 处有极值的必要不充分条件是 ，极值点是 的根，但 的 根不都是极值点（例如 ，但 不是极值点）． ②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点， 不会是端点． 2．函数的最值 （1）在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值． （2）若函数 在 上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数 在 上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． 3．常用结论 （1）对于可导函数 ，“ ”是“函数 在 处有极值”的必要不充分条件． （2）求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极 值就是最值． （3）函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关 系． 四、利用导数研究生活中的优化问题 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 4．对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问 题．知识 04 立体几何与空间向量 一、空间几何体的结构特征、三视图和直观图 1．空间几何体的结构特征 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 相交于一点，但不一定相 侧棱 平行且相等 等 延长线交于一点 侧面形 平行四边形 三角形 梯形 状 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于 相交于一点 延长线交于一点 底面 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 全等的等腰梯形 圆 形 侧面展 矩形 扇形 扇环 开图 2．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观 图中， 轴、 轴的夹角为 （或 ）， 轴与 轴、 轴所在平面垂直． （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于 轴和 轴的线段在直观图 中保持原长度不变，平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆 底 柱） 锥体（棱锥和圆 锥） 底 台体（棱台和圆 台） 球 二、空间几何体的表面积与体积 名称几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆 表面积 底 柱） 锥体（棱锥和圆 表面积 侧 底 锥） 台体（棱台和圆 表面积 侧 上 台） 下 球 三、空间两直线的位置关系 1．平面的基本性质 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． （2）公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 相交关系 图形语言 符号语言 独有关系 图形语言 符号语言 是异面直线 3．平行公理（公理4）和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角 （1）定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）． （2）范围： ． 四、直线、平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行． （2）判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线平行于 此平面 性质定理 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 2．平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定 一个平面内的两条相 理 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 性质定 两个平面平行，则其 理 中一个平面内的直线平 行于另一个平面 如果两个平行平面同 ， 时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行 五、直线、平面垂直的判定与性质 1．直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面 垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个 平面． （2）直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 文字语言 图形表示 符号表示 判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线 定理 都垂直，则该直线与此平面垂直 性质 两直线垂直于同一个平面，那么这两条 定理 直线平行 2．平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的判定方法 ①定义法． ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． （2）平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． 六、空间向量、加减运算及数乘运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 的起点是 ，终点是 ，则向量 也可以记作，其模记为 或 ． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点 与终点 重合时， ． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ． （4）空间向量的加法和减法运算 ① ， ．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， （5）数乘运算 实数 与空间向量 的乘积 称为向量的数乘运算．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 向量 与向量 方向相反． 的长度是 的长度的 倍． （6）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ， ． （7）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， 平行于 ，记作 ． （8）共线向量定理 对空间中任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．（9）直线的方向向量 如图8-153所示， 为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线．对空间任意一点 ，点 在直线 上的充要条件是存在实数 ，使 ①，其中向量 叫做直线 的方向向量，在 上取 ， 则式①可化为 ② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当 ，即点 是线段 的中点时， ，此 式叫做线段 的中点公式． （10）共面向量 如图8-154所示，已知平面 与向量 ，作 ，如果直线 平行于平面 或在平面 内，则说明 向量 平行于平面 ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （11）共面向量定理 如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ， 使 ． 推论：①空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；或 对空间任意一点 ，有 ，该式称为空间平面 的向量表达式． ②已知空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，满足向量关系式 （其中 ）的点 与点 ， ， 共面；反之也成立． 七、空间向量的数量积运算（1）两向量夹角 已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹角， 记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互相垂直，记作 ． （2）数量积定义 已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ，即 ． 零向量与任何向量的数量积为0，特别地， ． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ， （交换律）； （分配律）． 八、空间向量的坐标运算及应用 （1）设 ， ，则 ； ； ； ； ； ． （2）设 ， ，则 ． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知 ， ，则 ； ；； ； ②已知 ， ，则 ， 或者 ．其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量 在向量 上的投影为 ． 九、向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 ． 第一步：写出平面内两个不平行的向 ； 第二步：那么平面法向量 ，满足 ． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ． 若 ∥ ，即 ，则 ； 若 ，即 ，则 ． ②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ． 若 ∥ ，即 ，则 ； 若 ，即 ，则 ．（3）平面与平面的位置关系 平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ． 若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ． 十、空间角与距离公式 （1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大 小，则 ． （2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的大小，则 ． （3）二面角公式： 设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具 体情况判断相等或互补），其中 ． （4）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质 直接计算． 如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两 异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（5）点到平面的距离 为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ． 故知识 05 平面解析几何 一、直线的方程 1．直线的倾斜角 （1）定义：当直线 与 轴相交时，取 轴作为基准， 轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫做直 线 的倾斜角． （2）规定：当直线 与 轴平行或重合时，它的倾斜角为0． （3）范围：直线 倾斜角的取值范围是 ． 2．斜率公式 （1）定义式：直线 的倾斜角为 ，则斜率 ． （2）坐标式： （在直线 上，且 ，则 的斜率 ． 3．直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜 不含垂直于 轴的直线 式 斜截 不含垂直于 轴的直线 式 两点 式 不含直线 和直线 截距 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 式 一般 平面内所有直线 式二、两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行： ①对于两条不重合的直线 ，若其斜率分别为 ，则有 ． ②当直线 不重合且斜率都不存在时， ． 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． （2）两条直线垂直： ①如果两条直线 的斜率存在，设为 ，则有 ． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时， ． 2．两条直线的交点的求法 直线 ，则 与 的交点坐标就是方程组 的解． 3．三种距离公式 （1） 两点之间的距离： ． （2）点 到直线 的距离： ．应用点到直线的距离公式 时，直线方程必须是一般式 （3）平行线 与 间距离： ．两平行线的距离公式中， 两直线方程的一般式中 的系数要对应相等常用结论 1．过定点 的直线系方程： ，还可以表示为 和 ． 2．平行于直线 的直线系方程： ． 3．垂直于直线 的直线系方程： ． 4．过两条已知直线 交点的直线系方程： （不包括直线 ）和 ． 5．点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ． 6．点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ． 7．点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为． 8．点 关于点 的对称点为 ． 9．点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ． 三、圆的方程 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准方 圆心：（a，b），半 程 径： 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．圆心： ， 一般方 程 半径： 2．点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系： （1）若 在圆外，则 ． （2）若 在圆上，则 ． （3）若 在圆内，则 ． 常用结论 （1）二元二次方程 表示圆的充要条件是 （2）以 为直径端点的圆的方程为 ． 四、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系（半径为 ，圆心到直线的距离为 ） 相离 相切 相交 图形 量 方程观 化 点相离 相切 相交 几何观 点 2．圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为 ，两圆的半径分别为 ，则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 公共点个数 0 1 2 1 0 的关 系 公切线条数 4 3 2 1 0 判断圆与圆位置关系的注意点 对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如 当 时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当 时，还需要判断两圆是外切，还是内 切． 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 （1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ． （2）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ． （3）过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 ． 2．圆系方程 （1）同心圆系方程： ，其中 是定值， 是参数；（2）过直线 与圆 交点的圆系方程： ； （3）过圆 和圆 交点的圆系方程： （该圆系不含圆 ，解题时，注意 检验圆 是否满足题意，以防漏解）． 五、椭圆的几何性质 1．椭圆的定义 平面内到两定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．两定点 叫做椭圆 的焦点． 集合 ，其中 ，且 为常数． （1）当 时， 点的轨迹是椭圆； （2）当 时， 点的轨迹是线段 ； （3）当 时， 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方 程 图形标准方 程 范围 对称 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 性质 顶点 离心 率 ，且 的关系 离心率表示椭圆的扁平程度．当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越 扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， ，两焦点重合，图形就是圆． 常用结论 1．焦半径：椭圆上的点 与左（下）焦点 与右（上）焦点 之间的线段的长度叫做椭圆的 焦半径，分别记作 ． （1） ； （2） ； （3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）．2．焦点三角形：椭圆上的点 与两焦点构成的 叫做焦点三角形， 的面积为 ，则在椭圆 中 （1）当 为短轴端点时， 最大． （2） ， 当 时，即点 为短轴端点时， 取最大值，最大值为 ． （3）焦点三角形的周长为 ． 3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长 ． 4． 为椭圆 的弦， ，弦中点 ，则 （1）弦长 ； （2）直线 的斜率 ． 六、直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点 与椭圆 的位置关系： 点 在椭圆上 ；点 在椭圆内部 ； 点 在椭圆外部 ． 2．直线与椭圆的位置关系 直线 与椭圆 的位置关系： 联立 消去 得一个关于 的一元二次方程． 位置关 解的个 的取 系 数 值 相交 两解 相切 一解 相离 无解 七、双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于非零0常数 的点的轨迹叫做双曲线．这 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 ，其中 为常数且 ． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 图形 范围 或 或 对称 对称轴：坐标轴对称中心：原点 性 顶点 顶点坐标： ， 顶点坐标： ， 渐近 线 性 质 离心 率 的关系 实虚 线段 叫做双曲线的实轴，它的长 ；线段 叫做双曲线的虚轴，它的 轴 长 ； 叫做双曲线的实半轴长， 叫做双曲线的虚半轴长 （1）若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一 支，具体是左支还是右支视情况而定． （2）设双曲线上的点 到两焦点 的距离之差的绝对值为 ，则 ，这一条件不能 忽略． ①若 ，则点 的轨迹是分别以 为端点的两条射线； ②若 ，则点 的轨迹不存在； ③若 ，则点 的轨迹是线段 的垂直平分线． 常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ． 2．若 是双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，则 ． 3．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为 ；异支的弦中最短的为实 轴，其长为 ． 4．若 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， 分别为双曲线的左、右焦点，则 ，其中 为 ． 5．若 是双曲线 右支上不同于实轴端点的任意一点， 分别为双曲线的 左、右焦点， 为 内切圆的圆心，则圆心 的横坐标为定值 ． 6．等轴双曲线 （1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． （2）性质： ；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两 焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线 （1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为 共轭双曲线． （2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1． 八、抛物线 1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内； （2）动点到定点 的距离与到定直线 的距离相等； （3）定点不在定直线上．（C） 其中点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 的几何意义：焦点 到准线 的距离 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中 （1）若定点 在定直线 上，则动点的轨迹为过点 且垂直于 的一条直线．（2）四种不同抛物线方程的异同点 （1）原点都在抛物线上；（2）焦点都在坐标轴上；（3）准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦 共 同 点 点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ，即 不 （1）焦点在 轴上时，方程的右端为 ，左端为 ；焦点在 轴上时，方程的右端为 同 点 ，左端为 ；（2）开口方向与 轴（或 轴）的正半轴相同，即焦点在 轴（或 轴）的正半轴 上，方程的右端取正号；开口方向与 轴（或 轴）的负半轴相同，即焦点在 轴（或 轴）的负 半轴上，方程的右端取负号． 常用结论 设 是过抛物线 焦点 的弦，若 ，则 （1） ； （2） ， ，弦长 （ 为弦 的倾斜角）； （3） ； （4）以弦 为直径的圆与准线相切； （5）以 或 为直径的圆与 轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 九、曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下 关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系 ，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点 的坐标； （2）写出适合条件 的点 的集合 ． （3）用坐标表示条件 ，列出方程 ； （4）化方程 为最简形式； （5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ①如果曲线 的方程是 ，那么点 在曲线 上的充要条件是 ． “曲线 是方程 的曲线”是“曲线 上的点的坐标都是方程 的解”的充分不必 要条件． ②坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．有时此过程 可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．知识 06 三角函数及解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念的推广 （1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． 按终边位置不同分为象限角和轴线角． （3）终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 ． 2．弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad． （2）公式 角 的弧度数公 （弧长用 表 式 示） 角度与弧度的换 算 弧长公式 弧长 扇形面积公式 3．任意角的三角函数 （1）定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么 ．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 轴上，余弦线的起点 都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段 分别叫做角 的正弦线，余弦线 和正切线． 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： ． （2）商数关系： ． 2．三角函数的诱导公式 公 式 - 二 三 四 五 六 角 正 sin cos cos 弦 余 cos sin 弦 正 tanα 切 口诀 函数名不变，符号看象 函数名改变，符号看象 限 限 3．常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 ．（2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 三、三角函数的图象及性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正．弦函数 的图象中，五个关键点是： ．（2）余弦函数 的图象中，五个关键点是： ． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 ） 函数 图象 定义域 值域 [-1，1] [-1，1] 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间函数 递减区间 无 对称中心 对称轴方 无 程 四、正弦定理余弦定理 1．正弦定理： ，其中 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： 2．余弦定理： ． 余弦定理可以变形： ， 3． ， 并可由此计算 ． 4．在 中，已知 和 时，解的情况如下：为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个 一解 两解 一解 一解 数 5．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线 在水平视线下方叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 ，北偏西 等． （3）方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 点的方位角为 （如图②）． （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．知识 07 概率与统计 一、随机抽样 1．简单随机抽样 （1）定义：设一个总体含有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本 ，如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． （2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 （1）定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量 的个体， 将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． （2）应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 二、用样本估计总体 1．频率分布直方图 （1）频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． （2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图）横轴表示样本数据，纵轴表示 ，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 2．样本的数字特征 （1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（2）中位数：把 个数据按 大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． （3）平均数：把 称为 这 个数的平均数． （4）标准差与方差：设一组数据 的平均数为 ，则这组数据的标准差和方差分别是 常用结论 1．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形 底边中点的横坐标之和． 2．平均数、方差的公式推广 （1）若数据 的平均数为 ，那么 的平均数是 ． （2）数据 的方差为 ． ①数据 的方差也为 ；②数据 的方差为 ． 三、变量间的相关关系与统计案例 1．变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关 关系是一种非确定性关系． （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点 散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 2．两个变量的线性相关 （1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）回归方程为 ，其中 ． （3）通过求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． （4）相关系数： 当 时，表明两个变量正相关；当 时，表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强． 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系．通常 大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 （1）分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． 2×2列联表． ②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{ ， }和{ ， }，其样本频数列联表 （称为2×2列联表）为： 总计 总计 从 列表中，依据 与 的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． （2）等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列 联表数据的频率特征． ②观察等高条形图发现 与 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． （3）独立性检验 计算随机变量 利用 的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2 独立性检验． 0． 0． 0． 0． 0． 10 05 010 005 001 2． 3． 6． 7． 10． 706 841 635 879 828 四、两个计数原理 1.两个计数原理 完成这件事共有的 完成一件事的策略 方法 分类加法计 有两类不同方案1，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2 种不同 数原理 类方案中有 种不同的方法 的方法 分步乘法计 需要两个步骤2，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种 种不同 数原理 不同的方法 的方法 （1）每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法 就可完成这件事．（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的． ①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事． ②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏． 常用结论 1．完成一件事可以有 类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2 类方案中有 种不同的方法……在第 类方案中有 种不同的方法．那么，完成这件事共有 种不同的方法． 2．完成一件事需要经过 个步骤，缺一不可，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方 法．．．．．．做第 步有 种不同的方法．那么，完成这件事共有 种不同的方法． 五、排列、组合问题 1．排列、组合的定义 排列的 按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 定义 从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 组合的 个元素 合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个 定义 组合 2．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从 个不同元素中取出 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数 个元素的所有不同组合的个数 公 式 性 质六、二项式定理 1．二项式定理 （1）二项式定理： ； （2）通项公式： ，它表示第 项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为 ， ，，， ． 2．二项式系数的性质 七、随机事件的频率与概率 1．频数、频率和概率 （1）频数、频率：在相同的条件 下重复 次试验，观察某一事件 是否出现，称 次试验中事件 出现的次数 为事件 出现的频数 ，称事件 出现的比例 为事件 出现的频率 ． （2）概率：对于给定的随机事件 ，如果随着试验次数的增加，事件 发生的频率 稳定在某个 常数上，把这个常数记作 ，称为事件 的概率．2．事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 包含关 发生 发生 事件 包含事件 （事件 系 包含于事件 ） 相等关 若 且 事件 与事件 相等 系 并 发生或 发生 事件 与事件 的并事件 （和）事 （或和事件） 件 交 发生且 发生 事件 与事件 的交事件 （积）事 （或积事件） 件 互斥事 为不可能事件 事件 与事件 互斥 件 对立事 为不可能事件． 事件 与事件 互为对立事 ， 件 为必然事件 件 3．概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围： ． （2）必然事件的概率： ． （3）不可能事件的概率： ． （4）概率的加法公式：如果事件 与事件 互斥，则 ． （5）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 为必然事件， ． 常用结论探究概率加法公式的推广 （1）当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即 ． （2） ．注意涉及 的各事件要彼此互斥． 八、古典概型 1．古典概型 （1）古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；，②等可能性： 每个基本事件出现的可能性是相等的． 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性． （2）古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 ； ②分别计算基本事件的总数 和所求的事件 所包含的基本事件个数 ； ③利用古典概型的概率公式 ，求出事件 的概率． （3）频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计算公式 频率计算中的 均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的 都计算了一 增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 个比值 古典概型的概 二是一个定值，对同一个随机事件而言， 都不会变化 率计算公式 九、离散型随机变量及其分布列 1．随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 表示（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）概念：若离散型随机变量 可能取的不同值为 取每一个值 的概率 ，以表格的形式表示如下： ．． ．． ． ． ．． ．． ． ． 此表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列．有时也用等式 ， 表示 的分布列． （2）分布列的性质：① ② ． 3．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布列 0 1 若随机变量 的分布列具有上表的形式，则称 服从两点分布，并称 为成功概率 在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则 ， ，其中 ，且 ． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量 的分布列具有上表的形式，则称 服从超几何分布， 十、二项分布及正态分布 1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义：对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫 做条件概率，用符号 来表示，其公式为 ． （2）条件概率的性质 ①非负性： ； ②可加性：如果 和 是两个互斥事件，则 ． 2．全概率公式 （1） ； （2）定理 若样本空间 中的事件 ， ，…， 满足： ①任意两个事件均互斥，即 ， ， ； ② ； ③ ， ． 则对 中的任意事件 ，都有 ，且 ． 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率 计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能 中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 3．贝叶斯公式 （1）一般地，当 且 时，有 （2）定理 若样本空间 中的事件 满足： ①任意两个事件均互斥，即 ， ， ； ② ； ③ ， ． 则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导 致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯 公式的意义是导致事件 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了 ， ， ， ， ， 之间的转关系，即 ， ， 之间的内在联 系． 4．相互独立事件 （1）对于事件 ，若事件 的发生与事件 的发生互不影响，则称事件 是相互独立事件 （2）若 ，则 与 相互独立． （3）若 与 相互独立，则 与 与 与 也都相互独立． （4）若 与 相互独立，则 ， （5）一般地，如果事件 相互独立，那么这 个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即 ． 5．独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 次试验称为 次独立重复试验． 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布：一般地，在 次独立重复试验中，设事件 发生的次数为 ，在每次试验中事件 发 生的概率为 ，则事件 恰好发生 次的概率为 ，则称随机 变量 服从二项分布，记作 ，并称 为成功概率．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：，（1）是否为 次独立重复试验；，（2）随机变量 是否为某事件在这 次独立重复试验中发生的次数． 6．正态分布 （1）正态曲线的特点 ①曲线位于 轴上方，与 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 对称； ③曲线在 处达到峰值 ； ④曲线与 轴之间的面积为1； ⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移； ⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （2）正态分布的三个常用数据 ① ； ② ； ③ ． 十一、离散型随机变量的均值与方差 1．均值 一般地，若离散型随机变量 的分布列为： ．． ． ．．． ．． ．．． ．则称 为随机变量 的均值或数学期望．它反映了离散型随 机变量取值的平均水平． （1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．， （2） 是一个实数，由 的分布列唯一确定，即作为随机变量， 是可变的，可取不同值，而 是不变的，它描述 取值的平均状态． （3） 直接给出了 的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘 后相加． 2．方差 设离散型随机变量 的分布列为： ．．． ．．． ．．． ．．． 则 描述了 相对于均值 的偏离程度．而 pi 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 与其均值 的平均偏离程度．称 为随机变量 的方差，并称其算术平方根 为随机变量 的标准差． （1）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度． 越大， 表明平均偏离程度越大， 的取值越分散．反之， 越小， 的取值越集中在 附近．， （2）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负． 3．两个特殊分布的期望与方差 分布 期望 方差 两点分布 二项分布分布 期望 方差 常用结论 若 ，其中 是常数， 是随机变量，则 （1） ，其中 为常数； （2） ； （3） ； （4） ； （5）若 相互独立，则 ．知识 08 数列 一、数列的概念及简单表示 1．数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集）为定义域的 函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． （3）数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 有穷数 项数有限 列 按项数分类 无穷数 项数无限 列 递增数 列 按项与项间的大小关系分 递减数 其中 类 列 常数列 3．数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列 的第 项 与序号 之间的关系可以用一个式子 来表示，那 么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点 ①并不是所有的数列都有通项公式； ②同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； ③对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公 式． 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公 都可确定一个数列，也 可根据某项的序号 的值，直接代入求出 式 都可求出数列的任意一项 递推公 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值， 式 逐项求出数列的项，直至求出所需的 ，也可通过变形转化，直 接求出 二、等差数列及前 项和 1、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为 （常数） ． 2、等差中项 若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ． 3、等差数列的通项公式 如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ． 4、等差数列的前 项和公式 设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ． 5、等差数列的常用性质 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）通项公式的推广： ． （2）在等差数列 中，当 时， ． 特别地，若 ，则 ． （3） ，…仍是等差数列，公差为 ． （4） ，…也成等差数列，公差为 ．（5）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列． （6）若 是等差数列，则 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差是 公差的 ． （7）若项数为偶数 ，则 ； ； ． （8）若项数为奇数 ，则 ； ； ． （9）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值 ；若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ． （10） ．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差 为递增等差数列， 有最小值； 公差 为递减等差数列， 有最大值； 公差 为常数列． 特别地 若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）； 若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，则： ①等间距抽取 为等差数列，公差为 ． ②等长度截取 为等差数列，公差为 ． ③算术平均值 为等差数列，公差为 ． 三、等比数列及前 项和1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数 列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ． 2、等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项． 即 是 与 的等比中项⇔ ， ， 成等比数列⇒ ． 3、等比数列的通项公式 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则它的通项公式 ． 推广形式： 4、等比数列的前n项和公式 等比数列 的公比为 ，其前 项和为 注①等比数列的前 项和公式有两种形式，在求等比数列的前 项和时，首先要判断公比 是否为1， 再由 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比 是否为1时，要分 与 两种情况讨论求解． ②已知 （项数），则利用 求解；已知 ，则利用 求 解． ③ ， 为关于 的指数型函数，且系数与常数互 为相反数． 5、等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若 时，则 ，特别地，当 时， ． （2）①设 为等比数列，则 （ 为非零常数）， ， 仍为等比数列． ②设 与 为等比数列，则 也为等比数列． （3）等比数列 的单调性（等比数列的单调性由首项 与公比 决定）． 当 或 时，{a n }为递增数列；a 0 a 0 1 1   当 0q1 或 q1 时，{a n }为递减数列． （4）其他衍生等比数列． q 若已知等比数列{a n }，公比为 ，前n项和为S n，则： ①等间距抽取 a ,a ,a , a , p pt p2t  p(n1)t  为等比数列，公比为qt ． ②等长度截取 S m ,S 2m S m ,S 3m S 2m , 为等比数列，公比为qm （当 q1 时，m 不为偶数）． 四、数列求和 （1）公式法 n ①等差数列的前 项和公式 na a  nn1 S  1 n na  d n 2 1 2 ．推导方法：倒序相加法； n ②等比数列的前 项和公式 na q 1 1  S a  1qn a a q n  1  1 n q1  1q 1q 推导方法：乘公比，错位相减法． （2）分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． （3）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． （4）倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． （5）错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程 的推广． （6）并项求和法 a 1n f n n 一个数列的前 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 n 类型，可采用两项 合并求解．知识 09 复数 一、复数的概念 i i2 1 kZ i4k 1,i4k1 i,i4k2 1,i4k3 i （1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． abi(a,bR) abiC （2）形如 的数叫复数，记作 ． zabi(a,bR) Z(a,b) a ①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的虚部； b0 zR, b0,z b0 a0 Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括 原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ac  abi,cdi(a,b,c,dR) bd ②两个复数 相等 （两复数对应同一点） abi(a,bR) O  Z  O  Z  ③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，其计算公式为 |z||abi| a2 b2 |z||abi| a2 b2,zza2 b2 ，显然， ． 二、复数的四则运算 1、复数运算 (abi)(cdi)(ac)(bd)i （1） (abi)(cdi)(acbd)(ad bc)i （2） (abi)(abi)zza2 b2 |z|2  (注意z2 |z|2)   zz2a |z| a2 b2 zabi zabi (a,bR) 其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ． abi (abi)(cdi) (acbd)(bcad)i   (c2 d2 0) cdi (cdi)(cdi) c2 d2 （3） ． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义  OZ ,OZ  以复数z 1 ,z 2分别对应的向量 1 2 为邻边作平行四边形OZ 1 ZZ 2，对角线 OZ 表示的向量OZ 就是  Z Z z z z z 复数 1 2所对应的向量．1 2对应的向量是 2 1． 2、复数的几何意义 zabi(a,bR) z(a,b) （1）复数 对应平面内的点 ； zabi(a,bR) O  Z  （2）复数 对应平面向量 ； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． zabi(a,bR) |z| z(a,b) （4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 zabi r(cosisin)  一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中r是复数z的模； 是以x轴  的非负半轴为始边，向量 OZ 所在射线（射线 OZ ）为终边的角，叫做复数 zabi 的辐角． r(cosisin) zabi 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 2 02 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在 范围内的 argz  0argz2 辐角 的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角 形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 r(cosisin)r (cos isin)rr cos()isin() 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义    OZ ,OZ OZ 复数z 1 ,z 2对应的向量为 1 2 ，把向量 1 绕点 O 按逆时针方向旋转角 2（如果 2 0，就要把  OZ   1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 2 ），再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复数就 是积z 1 z 2． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数 r(cosisin) r 1 1 1  1cos()isin() r (cos isin) r 1 2 1 2 的辐角所得的差，即 2 2 2 2 ．知识 10 平面向量 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量  A  B  的大小，也就是向量  A  B  的长度，记作 |  A  B  | ． （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量．  ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 ①交换律 a+b 求两个向量和 b b a+b ab  b  a 加法 的运算 ②结合律 a a (ab  )c= a(b  c) 三角形法则平行四边形法则 求a 与b  的相 b a-b  减法 反向量b 的和 ab  a(b  ) 的运算叫做a 与 a  b 的差 三角形法则 |a||||a| （1） (a)()a 数乘 求实数与向 （2）当0时，a 与a 的方向相同； ()aaa 量a 的积的运算 当0时，a 与a 的方向相同； (ab  )ab  当0时，a0 【注意】  （1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或 重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首 尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．       OAOBBA AM AN NM （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如： ， ，            OAOB+CAOAOBCABACABA AC BC ． 三、平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果 ab  (R) ，则a//b  ；反之，如果a//b  且b  0  ，则一定存在唯一的实数，使ab  ． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理   如果 e 1和 e 2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对 , ae  e  e  e  实数 1 2，使得 1 1 2 2 ，我们把不共线向量 1， 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记 为  e  1 ,e  2  ，  1 e  1  2 e  2 叫做向量a 关于基底  e  1 ,e  2  的分解式．   注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e 1与 e 2 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如 ae  e  e  e  e  e  1 1 2 2 的形式，并且这样的分解是唯一的． 1 1 2 2 叫做 1， 2 的一个线性组合．平面向量基本 定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． ae  e  e  e  ,  推论1：若 1 1 2 2 3 1 4 2 ，则 1 3 2 4． ae  e  0   0 推论2：若 1 1 2 2 ，则 1 2 ． 3、线段定比分点的向量表达式    ABAC   AD 如图所示，在△ABC中，若点D是边BC上的点，且BDDC（1），则向量 1 ． 在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议 熟练掌握．A B C D 4、三点共线定理    平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 , ，使 OC OAOB ，其中 1 ，O为 平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线   存在唯一的实数，使得AC AB；    存在唯一的实数，使得OCOAAB；    存在唯一的实数，使得 OC (1)OAOB ；    存在 1 ，使得 OC OAOB ． 5、中线向量定理  1  AD (AB  如图所示，在△ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量 2 AC) ，反之亦正确． A B C D 四、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b  ，我们把数量 |a||b  |cos 叫做a 与b  的数量积（或内积），记作a b  ，即 a b  = |a||b  |cos ，规定：零向量与任一向量的数量积为0． （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影： |a  |cos 叫做向量a 在b  方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角 时，它是负数；当为直角时，它是0．② a  b  的几何意义：数量积 a  b  等于a  的长度 |a  | 与b  在a  方向上射影 |b  |cos 的乘积． ③设a ，b  是两个非零向量，它们的夹角是 ,e 与b  是方向相同的单位向量，  A  B  a,C  D  b  ，过  A  B    的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A 1 ,B 1，得到 A 1 B 1，我们称上述变换为向量 a 向向量b  投影，  A  1  B  1叫做向量a 在向量b  上的投影向量．记为 |a|cose ． （3）数量积的运算律  已知向量a  、b 、c  和实数，则： ①a  b  b  a  ；② (a  )b  =(a  b  )a  (b  ) ；③ (a  b  )c  =a  c  b  c  ． （4）数量积的性质   设a  、b 都是非零向量，e  是与b 方向相同的单位向量，是a  与e  的夹角，则 ① e  a  a  e  |a  |cos ．②a  b  a  b  0．           ③当a  与b 同向时， ab |a||b| ；当a  与b 反向时， ab |a||b| ． a  a  |a  |2 |a  | a  a  特别地， 或 ．   ab cos |a  ||b  | (|a  ||b  |0) |a  b  |≤|a  ||b  | ④ ．⑤ ． （5）数量积的坐标运算 已知非零向量 a  (x 1 ，y 1 ) ， b  (x 2 ，y 2 ) ，为向量a  、b  的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a  | a  a  |a  | x2  y2       数量积 ab |a||b|cos ab xx  y y 1 2 1 2   xx  y y ab 夹角 cos cos 1 2 1 2   x2  y2  x2  y2 |a||b| 1 1 2 2   ab的充要条 a  b  0 xx  y y 0 1 2 1 2 件  a∥b 的充要条 a  b（  b    0） x y x y 0 1 2 2 1 件     |a  b  ||a  ||b  | |ab| |a||b| （当且 与 |xx  y y |≤ x2  y2  x2  y2   1 2 1 2 1 1 2 2 的关系 仅当a∥b 时等号成立）知识 11 不等式 一、比较大小基本方法 方法 关系 做差法 做商法 与0比较 与1比较 ab ab0 a a 1(a，b0) 1(a，b0) b 或b ab ab0 a 1(b0) b ab ab0 a a 1(a，b0) 1(a，b0) b 或b 二、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 abba；abba 传递性 ab，bcac；ab，bcac 可加性 abacbc 可乘性 ab，c0acbc；ab，c0acbc 同向 ac，cd acbd 可加性 同向同正 ab0，cd 0acbd 可乘性 可乘方性 ab0，nN*  an bn 三、一元二次不等式 ax2 bxc0(a0) b2 4ac x ,x ax2 bxc0(a0) 一元二次不等式 ，其中 ， 1 2是方程 的 x  x 两个根，且 1 2 a0 （1）当 时，二次函数图象开口向上． x|x x 或x x  0 （2）①若 ，解集为 2 1 ． b  x|xR且x   0  2a ②若 ，解集为 ． ③若 0 ，解集为R． a0 （2） 当 时，二次函数图象开口向下． x|x  x x   0 ①若 ，解集为 1 2 ； 0  ②若 ，解集为 四、分式不等式 f(x) 0 f(x) g(x)0  g(x) （1） f(x) 0 f(x) g(x)0  g(x) （2） f(x) f(x)  g(x)0 0  g(x) g(x)0 （3） f(x) f(x)  g(x)0 0  g(x) g(x)0 （4） 五、绝对值不等式 f(x)  g(x) [f(x)]2 [g(x)]2 （1） f(x)  g(x)(g(x)0) f(x) g(x)或f(x)g(x) （2） ； f(x)  g(x)(g(x)0) g(x) f(x) g(x) ； （3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解. 六、基本不等式 ab ab ab  如果 a0，b0 ，那么 2 ，当且仅当 ab 时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均 数， ab叫作 a，b 的几何平均数．即正数 a，b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．a，b R a2 b2 2ab ab 基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号； ab  ab 基本不等式2：若 a，b R ，则 2 （或ab2 ab ），当且仅当 ab 时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求 最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．