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专题突破练 11 等差数列、等比数列
一、单项选择题
1.(2021·江西景德镇模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S,且满足a+a =7,a +a =73(m≥3),S =2
n n 1 2 m-1 m m
020,则m的值为( )
A.100 B.101
C.200 D.202
2.(2021·山东临沂检测)已知等比数列{a}的前n项和为S,若S=9,S=36,则a+a +a =( )
n n 3 6 7 8 9
A.72 B.81 C.90 D.99
3.(2021·广东汕头一模)在正项等比数列{a}中,aa=16,a+a =24,则数列{a}的通项公式为( )
n 2 4 4 5 n
A.a=2n-1 B.a=2n
n n
C.a=3n D.a=3n-1
n n
4.(2021·山东济宁一模)随着新冠疫情防控形势的逐渐好转,某企业开始复工复产.经统计,该企业2020
年7月到12月的月产量(单位:吨)逐月增加,且各月的产量成等差数列,其中7月的产量为10吨,12月
的产量为20吨,则8月到11月的产量之和为( )
A.48吨 B.54吨 C.60吨 D.66吨
5.(2021·广东深圳一模)在数列{a}中,a=3,a =a +a (m,n∈N*),若a+a +a +…+a=135,则k=( )
n 1 m+n m n 1 2 3 k
A.10 B.9 C.8 D.7
6.(2021·山东淄博一模)若等差数列{a}的前n项和为S,则“S >0,S <0”是“a a <0”的 (
n n 2 020 2 021 1 010 1 011
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
7.(2021·山东烟台模拟)已知等差数列{a}是递增数列,其前n项和为S,a=3a,则下列选项正确的是
n n 7 5
( )
A.公差d>0
B.a<0
1
C.当n=5时,S 最小
n
D.当S>0时,n的最小值为8
n
8.(2021·山东临沂一模)已知数列{a}的前n项和为S,则下列说法正确的是( )
n n
A.若S=n2-1,则{a}是等差数列
n n
B.若S=2n-1,则{a}是等比数列
n n
C.若{a}是等差数列,则S =99a
n 99 50
D.若{a}是等比数列,且a>0,q>0,则S ·S >S2
n 1 2n-1 2n+1 2n
三、填空题
9.(2021·辽宁沈阳一模)在正项等比数列{a}中,a2+2aa+a2=100,则a+a = .
n 5 6 8 9 5 910.(2021·山东胜利一中月考)在等差数列{a}中,a+a =12,当a2+a2+a2取得最小值时,a =
n 1 7 3 4 5 2 020
.
11.(2021·江苏南通金沙中学月考)已知两个等差数列{a}和{b}的前n项和分别为S 和T,且
n n n n
S 3n+39 a
n = ,则使得 n为整数的正整数n的值为 .
T n+3 b
n n
四、解答题
12.(2021·福建龙岩模拟)已知数列{a}是等差数列,且a=-6,a=0.
n 3 6
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若等比数列{b}满足b=a ,b=a +a +a ,求数列{b}的前n项和S.
n 1 2 2 1 2 3 n n
13.(2021·全国Ⅱ,文18)记S 为数列{a}的前n项和,已知a>0,a=3a,且数列{√S }是等差数列.证明:
n n n 2 1 n
{a}是等差数列.
n
1 7
14.(2021·河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列{a}的前n项和为S,a= ,S= .
n n 2 3
4 8(1)求a;
n
1
(2)求证: ≤S<1.
n
2
1
15.(2021·山东潍坊一模)已知数列{a}的前n项和为S,a=6,S= a +1.
n n 2 n n+1
2
(1)证明:数列{S-1}为等比数列,并求出S.
n n
{1 }
(2)求数列 的前n项和T.
a n
n16.(2021·山东烟台一模)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
①a+a =14,②S=28,③a 是a 与a 的等比中项.
3 5 4 8 5 13
问题:已知{a}为公差不为零的等差数列,其前n项和为S,{b}为等比数列,其前n项和T=2n+λ,λ为常
n n n n
数,a=b , .
1 1
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
(2)令c=[lg a],其中[x]表示不超过x的最大整数,求c+c +c +…+c 的值.
n n 1 2 3 100专题突破练 11 等差数列、等比数列
1.B 解析: 由已知得a +a +a +a =80.
1 2 m-1 m
m(a +a )
因为{a }为等差数列,所以a +a =a +a ,所以a +a =40,所以S = 1 m =20m=2
n 1 m 2 m-1 1 m m
2
020,解得m=101.
2.B 解析: 由题意及等比数列的性质,可得S ,S -S ,S -S 成等比数列,则(S -S )2=S (S -
3 6 3 9 6 6 3 3 9
S ),即(36-9)2=9(S -S ),解得S -S =81,即a +a +a =81.
6 9 6 9 6 7 8 9
3.A 解析: 设等比数列{a }的公比为q,由题意,可知a >0,q>0.
n n
因为{a }为等比数列,所以a a =a2=16,解得a =4.
n 2 4 3 3
所以a +a =a (q+q2)=4(q+q2)=24,
4 5 3
整理得q2+q-6=0,
解得q=2.所以a =a qn-3=4×2n-3=2n-1.
n 3
4.C 解析: 设2020年7月到12月的月产量(单位:吨)分别为a ,a ,a ,a ,a ,a ,由题意,可知
1 2 3 4 5 6
a =10,a =20,a ,a ,a ,a ,a ,a 成等差数列,则a +a =a +a =a +a =30,故a +a +a +a =60.故
1 6 1 2 3 4 5 6 1 6 2 5 3 4 2 3 4 5
8月到11月的产量之和为60吨.
5.B 解析: 令m=1,由a =a +a ,得a =a +a ,即a -a =a =3,所以{a }是首项为3,公差
m+n m n n+1 1 n n+1 n 1 n
为3的等差数列,所以a =3+3(n-1)=3n.
n
k(a +a ) k(3+3k)
所以a +a +a +…+a = 1 k = =135,
1 2 3 k
2 2
整理得k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去).
6.B 解析: 依题意,若S >0,S <0,
2 020 2 021
2 020(a +a ) 2 021(a +a )
则 1 2 020 =1 010(a +a )>0,即a +a >0, 1 2 021 =2 021a
1 010 1 011 1 010 1 011 1
2 2
<0,即a <0,所以a >0,所以a a <0,充分性成立.
011 1 011 1 010 1 010 1 011
当a <0,a >0时,满足a a <0,不能推出S >0,S <0,必要性不成立.
1 010 1 011 1 010 1 011 2 020 2 021
故“S >0,S <0”是“a a <0”的充分不必要条件.
2 020 2 021 1 010 1 011
7.ABD 解析: 因为a =3a ,所以a +6d=3(a +4d),解得a =-3d,又等差数列{a }是递增数
7 5 1 1 1 n
列,所以d>0,所以a <0,故A,B正确.
1
因为S = d n2+ ( a - d) n= d n2- 7d n= d( n- 7) 2 − 49d ,所以当n=3或n=4时,S 最小,故C
n 2 1 2 2 2 2 2 8 n
错误.
d 7d
令S = n2- n>0,解得n<0或n>7,又n∈N*,所以当S >0时,n的最小值为8,故D正确.
n n
2 2
8.BC 解析: 对于A选项,因为S =n2-1,所以当n≥2时,a =S -S =2n-1,当n=1时,
n n n n-1
a =S =0,而a =0不满足a =2n-1,故A错误.
1 1 1 n对于B选项,因为S =2n-1,所以当n=1时,a =S =1,当n≥2时,a =S -S =2n-1,又a =1满足
n 1 1 n n n-1 1
a
a =2n-1,所以a =2n-1,所以 n+1=2,所以{a }是等比数列,故B正确.
n n n
a
n
99(a +a )
对于C选项,因为{a }是等差数列,所以S = 1 99 =99a ,故C正确.
n 99 50
2
对于D选项,由已知得当n=1时,S ·S -S2=a2(1+q+q2)-a2(1+q)2=-a2q<0,所以当n=1时,
1 3 2 1 1 1
S ·S 0.又a2+2a a +a2=100,所以
n 5 9 6 8 5 9 5 6 8 9
a2+2a a +a2=100,即(a +a )2=100,所以a +a =10.
5 5 9 9 5 9 5 9
10.6 解析: 设等差数列{a }的公差为d.
n
由等差中项的性质,得a +a =2a =12,解得a =6.
1 7 4 4
所以a2+a2+a2=(6-d)2+62+(6+d)2=2d2+108.当d=0时,a2+a2+a2取得最小值,此时a
3 4 5 3 4 5 2
=a =6.
020 4
a S 3(2n-1)+39 3n+18 15
11.2,4,14 解析: 由已知得 n= 2n-1 = = =3+ .
b T (2n-1)+3 n+1 n+1
n 2n-1
a
因为 n为整数,n∈N*,所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.
b
n
所以正整数n的值为2,4,14.
12.解: (1)设等差数列{a }的公差为d.
n
因为a =-6,a =0,所以a +2d=-6,a +5d=0,解得a =-10,d=2.所以a =-10+(n-1)·2=2n-12.
3 6 1 1 1 n
(2)设等比数列{b }的公比为q.
n
因为b =a +a +a =3a ,b =a =2×2-12=-8,
2 1 2 3 2 1 2
b 3a -8×(1-3n)
所以q= 2= 2=3,所以S = =4(1-3n).
n
b a 1-3
1 2
13.证明: ∵{√S }是等差数列,a =3a ,
n 2 1
∴√S −√S =√4a −√a =√a ,
2 1 1 1 1
即数列{√S }的公差为√a .
n 1
∴√S =√S +(n-1)√a =n√a ,
n 1 1 1
即S =n2a .当n≥2时,S =(n-1)2a ,
n 1 n-1 1
则a =S -S =n2a -(n-1)2a =(2n-1)a .
n n n-1 1 1 1
当n=1时,a =(2×1-1)a ,符合上式,
1 1
∴a =(2n-1)a ,n∈N*.
n 1
∴a -a =2a ,∴{a }是等差数列.
n+1 n 1 n
14.(1)解: 设等比数列{a }的公比为q(q<1).
n
1 7 1 1 1 7 1
因为a = ,S = ,所以 + + q= ,即2q2-5q+2=0,解得q= 或q=2(舍去).
2 3
4 8 4q 4 4 8 2
所以a =
1
×
(1) n-2
=
1
.
n
4 2 2n1 1
(2)证明: 由(1)知a = ,q= ,
1
2 2
1[ (1) n]
1-
2 2 1
所以S = =1- .
n
1
2n
1-
2
因为y=
(1) x
在R上为减函数,且y=
(1) x
>0恒成立,所以当n∈N*时,0<
1
≤
1
,
2 2 2n 2
1 1 1
所以 ≤1- <1,即 ≤S <1.
n
2 2n 2
1
15.解: (1)由已知得S = (S -S )+1,
n n+1 n
2
整理得S =3S -2,所以S -1=3(S -1).
n+1 n n+1 n
1
令n=1,得S = a +1=4,所以S -1=3,
1 2 1
2
所以{S -1}是以3为首项,3为公比的等比数列,
n
所以S -1=3×3n-1=3n,所以S =3n+1.
n n
(2)由(1)知S =3n+1.
n
当n≥2时,a =S -S =3n+1-(3n-1+1)=2×3n-1,
n n n-1
{ 4,n=1,
当n=1时,a =S =4,所以a =
1 1 n 2×3n-1,n≥2,
1
{ ,n=1,
1 4 1 1
所以 = 所以当n=1时,T = = ,
1
a 1 1 a 4
n × ,n≥2, 1
2 3n-1
1( 1 )
1-
当n≥2时,T =
1
+
1
+…+ 1 1
6 3n-1
1 1 .
n = + = −
a
1
a
2
a
n
4
1-
1 2 4×3n-1
3
1 1 1
又T = 符合上式,所以T = − .
1 n
4 2 4×3n-1
16.解: 若选①.
(1)设{b }的公比为q.
n
b
由已知得b =T -T =2,b =T -T =4,所以q= 3=2,
2 2 1 3 3 2
b
2
所以b =2×2n-2=2n-1.所以a =b =1.
n 1 1
设{a }的公差为d,由a +a =14,得1+2d+1+4d=14,
n 3 5
解得d=2,所以a =2n-1.
n(2)由c =[lg a ],得c =c =c =c =c =0,c =c =…=c =1,c =c =…=c =2,
n n 1 2 3 4 5 6 7 50 51 52 100
所以c +c +c +…+c =1×45+2×50=145.
1 2 3 100
若选②.
b
(1)设{b }的公比为q.由已知得b =T -T =2,b =T -T =4,所以q= 3=2,所以b =2×2n-2=2n-1.
n 2 2 1 3 3 2 n
b
2
所以a =b =1.
1 1
4×3
设{a }的公差为d,由S =28,得4×1+ d=28,
n 4
2
解得d=4,所以a =4n-3.
n
(2)由c =[lg a ],得c =c =c =0,c =c =…=c =1,c =c =…=c =2,
n n 1 2 3 4 5 25 26 27 100
所以c +c +c +…+c =1×22+2×75=172.
1 2 3 100
若选③.
b
(1)设{b }的公比为q.由已知得b =T -T =2,b =T -T =4,所以q= 3=2,所以b =2×2n-2=2n-1.
n 2 2 1 3 3 2 n
b
2
所以a =b =1.
1 1
设{a }的公差为d,由a 是a 与a 的等比中项,得(1+7d)2=(1+4d)(1+12d),解得d=0或
n 8 5 13
d=2.
又d≠0,所以d=2,所以a =2n-1.
n
(2)由c =[lg a ],得c =c =c =c =c =0,c =c =…=c =1,c =c =…=c =2,
n n 1 2 3 4 5 6 7 50 51 52 100
所以c +c +c +…+c =1×45+2×50=145.
1 2 3 100
