文档内容
第四部分 重点模型与核心问题深究
专题4.1 弹簧模型
目录
模型一 静力学中的弹簧模型..................................................................................................................................1
模型二 动力学中的弹簧模型..................................................................................................................................2
模型三 与动量、能量有关的弹簧模型..................................................................................................................5
专题跟踪检测..............................................................................................................................................................9
模型一 静力学中的弹簧模型
静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉
及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。
【例1】如图所示，一质量为m的木块与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端。
木块放在斜面上能处于静止状态。已知斜面倾角 θ＝37°，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。弹簧在弹性
限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
A．弹簧可能处于压缩状态
B．弹簧的最大形变量为
C．木块受到的摩擦力可能为零
D．木块受到的摩擦力方向一定沿斜面向上
【规律方法】(1)弹簧的最大形变量对应弹簧弹力的最大值。
(2)当木块刚好不上滑时所受静摩擦力达到最大值，此时弹簧弹力最大。
【分类训练】
类型1 形变情况已知的弹簧模型
1.木块A、B分别重50 N和70 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2，与A、B相连接的轻弹簧被
压缩了5 cm，系统置于水平地面上静止不动，已知弹簧的劲度系数为100 N/m。用F＝7 N的水平力作用在
木块A上，滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力。如图所示，力F作用后( )
A．木块A所受摩擦力大小是10 N
B．木块A所受摩擦力大小是2 N
C．弹簧的弹力是12 ND．木块B受摩擦力大小为12 N
类型2 形变情况未知的弹簧模型
2.如图所示，原长分别为l 和l 、劲度系数分别为k 和k 的轻质弹簧竖直的悬挂在天花板下，两弹簧之间
1 2 1 2
有一质量为m 的物体，最下端悬挂着质量为m 的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个质量为m
1 2
的平板把下面的物体竖直地缓缓向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，这时平板受到
下面的物体的压力大小是( )
A．mg＋ B．mg＋
1 2
C．mg＋ D．(m＋m－m)g＋
2 1 2
模型二 动力学中的弹簧模型
动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹力往往是变力，物体
的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。)
【例2】如图甲所示，一根质量可以忽略不计的轻弹簧，劲度系数为 k，下面悬挂一个质量为m的砝码A。
手拿一块质量为M的木板B，用木板B托住A向上压缩弹簧到一定程度，如图乙所示。此时如果突然撤去
木板B，则A向下运动的加速度为a(a>g)。现用手控制使B以加速度向下做匀加速直线运动。
(1)求砝码A做匀加速直线运动的时间；
(2)求出砝码A做匀加速直线运动过程的起始和终止时刻手对木板B的作用力大小的表达式。
【解题指导】
(1)木板B与砝码A脱离之前，砝码A做加速度为的匀加速直线运动。
(2)木板B与砝码A脱离瞬间，相互作用力为零。
【题后总结】(1)木板B与砝码A脱离瞬间弹簧不一定处于自然伸长状态。
(2)物体间脱离的标志是相互作用力为零，此时两物体的加速度、速度均相同。
【分类训练】
类型1 与弹簧相连的物体间作用力变化分析
1．[多选]如图所示，光滑水平地面上，可视为质点的两滑块 A、B在水平外力的作用下紧靠在一起压缩弹
簧，弹簧左端固定在墙壁上，此时弹簧的压缩量为x ，以两滑块此时的位置为坐标原点建立如图所示的一
0维坐标系，现将外力突然反向并使B向右做匀加速运动，下列关于外力F、两滑块间弹力F 与滑块B的位
N
移x变化的关系图像可能正确的是( )
类型2 与弹簧相连的物体速度与加速度变化分析
2．[多选]如图所示，以大小为g的加速度加速下降的电梯地板上放有一质量为 m的物体，劲度系数为k的
轻弹簧一端固定在电梯壁上，另一端与物体接触(不粘连)，弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，
在弹性限度内弹簧被压缩了L，撤去F后，物体由静止向左运动2L后停止运动。已知物体与电梯地板间的
动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则撤去F后( )
A．与弹簧分离前，物体相对电梯地板运动的加速度大小越来越大
B．与弹簧分离后，物体相对电梯地板运动的加速度大小越来越小
C．弹簧压缩量为时，物体相对电梯地板运动的速度最大
D．物体相对电梯地板做匀减速运动的时间为2
模型三 与动量、能量有关的弹簧模型
与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，一般不直接用功的定
义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹力做功或弹
性势能。
【例3】如图所示，质量为m ＝1 kg的物块B通过轻弹簧和质量为m ＝1 kg 的物块C相连并竖直放置在
B C
水平地面上。系统处于静止状态，弹簧的压缩量为x＝0.1 m，另一质量为m ＝1 kg的物块A从距弹簧原长
0 A
位置为x 处由静止释放，A、B、C三个物块的中心在同一竖直线上，A、B相碰后立即粘合为一个整体，
0
并以相同的速度向下运动。已知三个物块均可视为质点，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度 g＝10
m/s2，空气阻力可忽略不计。
(1)求A、B相碰后的瞬间，整体共同速度v的大小。(2)求A、B相碰后，整体以a＝5 m/s2的加速度向下加速运动时，地面对物块C的支持力F 。
N
(3)若要A、B碰后物块C能够离开地面，则物块A由静止释放的位置距物块B的高度h至少为多大？
【解题指导】解答本题应把握以下关键点：
(1)物块A与B碰撞之前只有重力做功。
(2)物块A与B的碰撞为完全非弹性碰撞，但损失的机械能没有转化为弹簧弹性势能。
(3)物块A与B碰撞后，A、B与弹簧组成的系统机械能守恒。
【方法规律】(1)两物体发生完全非弹性碰撞时，系统动能损失最大。
(2)因碰撞时间极短，碰撞瞬间物体并没有发生明显位移，即与物体相连的弹簧形变量没有发生变化，故系
统碰撞损失的动能并没有转化为弹性势能。
【例4】(2022·湖北省重点中学4月联考)如图所示，带有挡板的小车质量为m，上表面光滑，静止于光滑
水平面上。轻质弹簧左端固定在小车上，右端处于自由伸长状态。质量也为 m的小球，以速度v从右侧滑
上小车，在小球刚接触弹簧至与弹簧分离的过程中，以下判断正确的是( )
A.弹簧的最大弹性势能为mv2
B.弹簧的最大弹性势能为mv2
C.弹簧对小车做的功为mv2
D.弹簧对小球做功为mv2
【规律与方法】在处理与轻弹簧相关的动量守恒问题中，物体与弹簧相互作用时，弹簧弹力一般是变力，
若将弹簧及其两端的物体作为系统，弹簧弹力是内力，系统动量守恒时不讨论弹簧弹力的变化，处理此类
问题时要注意以下三点：
(1)与弹簧两端相连的两个物体速度相等时，弹簧的长度最长或最短，此时弹簧中储存的弹性势能最大。
(2)对于碰撞问题，由于碰撞时间极短，碰撞过程中物体的位移忽略不计，弹簧的长度来不及变化，弹性势
能不变。
(3)由于弹簧一般会发生弹性形变，涉及弹性势能的变化问题时，还要运用能量守恒定律解题。
【分类训练】
类型1 功能关系中的弹簧模型
1.(2022·河北衡水3月联考)如图所示，半径R＝0.42 m的光滑圆环沿竖直方向固定放置，O为
圆心，A为圆环最高点。轻弹簧劲度系数k＝200 N/m，一端固定在A点，另一端与穿在圆环
上的小球连接。弹簧原长时，小球位于B点，弹簧与竖直直径成53°角。静止释放小球，当小
球运动至C点时，其速度达到最大，速度值为v＝1.2 m/s，此时弹簧与竖直直径成37°角。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，计算结果均保留一位小数，下列说法正确
的是( )
A.小球的质量为1.5 kg
B.小球由B至C，其重力势能减少了4.9 J
C.小球由B至C，其机械能减少了6.8 J
D.小球由B至C，其机械能减少了1.5 J
类型2 动量关系中的弹簧模型
2.如图甲所示，物块A、B的质量分别为m ＝4.0 kg和m ＝3.0 kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，
A B
物块B右侧与竖直墙壁接触。另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并
立即与A粘在一起不再分开，物块C的vt图像如图乙所示，求：
(1)物块C的质量m ；
C
(2)墙壁对物块B在4 s到12 s的时间内的冲量大小和方向；
(3)物块B离开墙后的过程中弹簧具有的最大弹性势能E。
p
专题跟踪检测
1.(2022·山东济宁二模)如图所示，为一种倾斜放置的装取台球的装置，圆筒底部有一轻质弹簧，每个台球
的质量为m，半径为R，圆筒直径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后，又会冒出一个台球，
刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，忽略球与筒间的摩擦力。
则弹簧的劲度系数k的值为( )
A. B.
C. D.
2.(多选)(2022·黑龙江哈尔滨模拟)如图甲所示，一轻质弹簧上端固定，下端连接一质量为1 kg的物体，物体处于静止状态。用一竖直向上的外力 F作用于物体上，物体从静止开始竖直向上做一段匀加速直线运动，
外力F与物体离开静止位置的位移x的关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度 g＝10
m/s2。下列说法正确的是( )
A.物体运动的加速度大小为2 m/s2
B.弹簧开始时形变量为2 cm
C.弹簧的劲度系数为250 N/m
D.从物体开始运动时计时，当t＝0.1 s时弹簧的形变量为1 cm
3.(2022·衡水中学质检)如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用
下，系统处于静止状态，此时弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为k 、k ，且原长相等。弹簧
A B
A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为F、F 。小球直径相比弹簧长度可以忽
A B
略。则( )
A．k ＝k B．tan θ＝
A B
C．F＝mg D．F ＝2mg
A B
4.(多选)(2022·湖南教研联盟二次联考)如图所示，在粗糙的水平面上，有四个完全相同的物块，放在一等腰
梯形的四个顶点上，用四根完全相同的弹簧将它们连接起来，且da之间、ab之间、bc之间的弹簧长度相
等，是cd之间的弹簧长度的一半。系统静止在水平地面上，已知 da之间弹簧弹力的大小是cd之间弹簧弹
力大小的一半，a受到的摩擦力大小为F，则( )
f
A.cd之间的弹簧一定是拉伸的
B.b受到的合力指向∠abc的角平分线方向
C.d受到的摩擦力大小为F
f
D.c受到的摩擦力大小为F
f
5.(2022·吉林洮南期中)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并
使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知 A的质量为4m，
B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放
A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面，不计空气阻力，在这一过程中A始终在斜面上，下列
说法正确的是( )
A.释放A的瞬间，B的加速度为0.5g
B.C恰好离开地面时，A达到的最大速度为2g
C.斜面倾角α＝45°
D.从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
6．[多选]质量分别为2 kg和3 kg的物块A、B放在光滑水平面上并用轻质弹簧相连，如图所示，今对物块
A、B分别施以方向相反的水平力F、F，且F＝20 N、 F＝10 N，则下列说法正确的是( )
1 2 1 2
A．弹簧的弹力大小为16 N
B．若把弹簧换成轻质绳，则绳对物体的拉力大小为10 N
C．如果只有F 作用，则弹簧的弹力大小变为12 N
1
D．若F＝10 N、 F＝20 N，则弹簧的弹力大小不变
1 2
7.(多选)如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量 m＝0.1 kg的小球在轻弹
簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下
为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图
乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重
力加速度g＝10 m/s2，则( )
A.小球释放位置距地面的高度为0.6 m
B.小球在下落过程受到的风力为0.1 N
C.小球刚接触弹簧时的动能为0.45 J
D.小球刚接触弹簧时的动能为0.54 J8.(2022·北京测试)把一定质量的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松
手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正好恢复原长(图乙)。弹簧质
量和空气阻力均可忽略。下列说法正确的是( )
A．A到C的过程，小球的动量增加
B．A到C的过程，小球重力冲量小于弹簧弹力的冲量
C．A到B的过程，小球动量的增加量等于弹簧弹力的冲量
D．A到B的过程，小球重力的冲量一直变大
9.如图所示，一个劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置，弹簧上端固定一质量为 2m的物块A，弹簧下端固定
在水平地面上。一质量为m的物块B，从距离弹簧最上端高为h的正上方处由静止开始下落，与物块A接
触后粘在一起向下压缩弹簧。从物块B即将与A接触到弹簧压缩到最短的整个过程中(弹簧保持竖直，且形
变在弹性限度内)，下列说法正确的是( )
A．物块B的动能先减小后增加又减小
B．物块A和物块B组成的系统动量守恒
C．物块A和物块B组成的系统机械能守恒
D．物块A、物块B和弹簧组成的系统机械能守恒
10.如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于 mg的恒力F向上拉
B，运动距离为h时，B与A分离。下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长
B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于
D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
11．[多选](2022·南昌模拟)如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为 m的小球，
从离弹簧上端高h处由静止释放。研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，以小球开始下落
的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F的大小随小球下落的位置坐标x变化的关系图像，如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下说法正确的是( )
A．小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，速度始终减小
B．小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大
C．当x＝h＋2x 时，小球的动能为零
0
D．小球动能的最大值为mgh＋
12.(2022·河北衡水中学期中)如图所示，静止在光滑水平面上的木板右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板
相连，木板质量M＝3 kg。质量m＝1 kg的铁块以水平速度v ＝4 m/s，从木板的左端沿板面向右滑行，压
0
缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为( )
A.3 J B.6 J
C.20 J D.4 J
12．[多选](2022·枣庄联考)如图所示，一根粗细均匀的光滑细杆竖直固定，质量为 m的小环C穿在细杆上，
一个光滑的轻质小滑轮D固定在竖直墙上(竖直墙在图中没有画出)。A、B两物体用轻弹簧相连，竖直放在
水平面上。一根没有弹性的轻绳，一端与A连接，另一端跨过小滑轮D与小环C相连。小环C位于M时，
绳子与细杆的夹角为θ，此时B物体刚好对地面无压力。现让小环C从M点由静止释放，当下降h到达N
点时，绳子与细杆的夹角再次为θ，环的速度达到v，下面关于小环C下落过程中的描述正确的是( )
A．小环C和物体A组成的系统机械能守恒
B．当小环落到与滑轮同一高度时，小环的机械能最大
C．小环C到达N点时A的速度为vcos θ
D．小环C到达N点时物体A的动能为mgh－mv2
13.[多选]如图所示，在倾角θ＝37°固定斜面体的底端附近固定一挡板，一质量不计的弹簧下端固定在挡板
上，弹簧自然伸长时其上端位于斜面体上的 O点处。质量分别为m ＝4.0 kg、m ＝1.0 kg的物块A和B用
A B
一质量不计的细绳连接，跨过固定在斜面体顶端的光滑定滑轮，开始物块 A位于斜面体上的M处，物块B
悬空，现将物块A和B由静止释放，物块A沿斜面下滑，当物块A将弹簧压缩到N点时，物块A、B的速
度减为零。已知MO＝1.0 m，ON＝0.5 m，物块A与斜面体之间的动摩擦因数为μ＝0.25，重力加速度取g
＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，整个过程细绳始终没有松弛。则下列说法正确的是( )A．物块A在与弹簧接触前的加速度大小为1.2 m/s2
B．物块A在与弹簧接触前的加速度大小为1.5 m/s2
C．物块A位于N点时，弹簧所储存的弹性势能为9 J
D．物块A位于N点时，弹簧所储存的弹性势能为21 J
14．如图所示，在距水平地面高h＝1.2 m的光滑水平台面上，一个质量为m＝1 kg的小物块压缩弹簧后被
1
锁定。现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度 v 向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线
1
方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道BC。已知B点距水平地面的高度h ＝0.6 m，圆弧轨道BC的圆心O与
2
水平台面等高，C点的切线水平，并与长L＝2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处。
重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力忽略不计。求：
(1)小物块由A到B的运动时间t；
(2)解除锁定前弹簧所储存的弹性势能E；
p
(3)小物块与轨道CD间的动摩擦因数μ。
15.(2022·山东省实验中学模拟)如图所示，一根劲度系数为k＝3 N/cm的轻质弹簧竖直放置，上、下两端各
固定质量均为m ＝3 kg的物体A和B(均视为质点)，物体B置于水平地面上，整个装置处于静止状态，一
0
个质量为m＝2 kg的小球P从物体A正上方距其高度h＝5 m处由静止自由下落。与物体A发生弹性正碰
(碰撞时间极短且只碰一次)，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：
(1)碰撞后瞬间物体A的速度大小；
(2)当地面对物体B的弹力恰好为零时，物体A的速度大小。
16.如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水平地面在P点相切。一
个质量为2m的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左端固定有轻弹簧，Q点为弹簧处于原长时的左端
点在水平地面上的位置，P、Q间的距离为R，PQ段地面粗糙，与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5，Q点右
侧水平地面光滑。现将质量为m的物块A(可视为质点)从圆弧轨道的最高点由静止开始下滑，重力加速度
为g，求：
(1)物块A沿圆弧轨道滑至最低点P时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩后的最大弹性势能(未超过弹性限度)；(3)物块A最终静止时的位置到Q点的距离。
17.(2022·浙江名校联盟联考)如图所示，弹射器固定在高度为h 的固定光滑桌面上，桌面左端无缝挨着一个
1
上表面为光滑圆弧的小车，圆弧的半径为R，在空中距地面高h 处(高度未知)固定一个圆环，已知小车、
2
小球的质量均为m，假设弹射器的弹性势能全部转化为小球的动能。某次测试时，弹射器的弹性势能为
E ，弹出的小球恰能水平经过圆环圆心，然后恰能落回小车的圆弧，最后飞出小车。忽略小车的滚动摩擦
p
和空气阻力的影响，小球可视为质点，求：
(1)小球离开弹射器时的速度大小；
(2)圆环的高度h；
2
(3)小球先后两次对小车做的功之比。
