文档内容
第四部分 重点模型与核心问题深究
专题4.2 追及相遇模型
目录
模型一 运动图像模型..............................................................................................................................................1
类型1 xt图像中的追及相遇问题....................................................................................................................2
类型2 vt图像中的追及相遇问题....................................................................................................................3
模型二 交通实际模型..............................................................................................................................................5
模型三 抛体运动模型..............................................................................................................................................7
类型1 平抛运动与自由落体运动以及上抛运动的相遇问题........................................................................8
类型2 反向平抛的两球空中相遇问题.........................................................................................................10
模型四 天体运动模型............................................................................................................................................12
类型1 行星相遇问题.....................................................................................................................................13
类型2 卫星与赤道上物体相遇问题.............................................................................................................13
专题强化训练............................................................................................................................................................14
模型一 运动图像模型
运动图像模型是运动学中的一种常见模型，高考中常结合运动学图像，特别是 vt图像，对该模型进行考查，
多以选择题的形式出现。
【例1】如图所示为三个运动物体A、B、C的速度—时间图像，其中A、B两物体从不同地点出发，A、C
两物体从同一地点出发，A、B、C均沿同一直线运动，且A在B前方3 m处。则以下说法正确的是( )
A．A、C两物体的运动方向相反B．在t＝4 s时，A、B两物体相遇
C．在t＝4 s前，A、C两物体相遇
D．在t＝2 s时，A、B两物体相距最远
【方法规律】运动图像模型问题的常见解法
(1)识图像：在解决此类问题时，首先要对给出的运动图像进行识别，识别时要特别注意图像的截距、交点、
拐点、面积、斜率等所表示的物理意义。
(2)画草图：根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
(3)找关系：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的三个关系：①时间关系；②位移关系；③速度
关系。
(4)列方程：根据找出的三个关系，列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
类型1 xt图像中的追及相遇问题
1．[多选]如图所示是A、B两质点从同一地点开始运动的xt图像，则下列说法中正确的是( )
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．B质点在0～4 s内做加速运动，在4～8 s内做减速运动
D．A、B两质点在4 s末相遇
2.(2022·吉林长春市高三期末)甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动的x－t图象(甲的图线为直线，乙的
图线为抛物线)如图所示．关于两物体的运动，下列说法正确的是( )
A．甲做直线运动，乙做曲线运动B．0～t 时间内，乙的速度方向与加速度方向相反；t～t 时间内，乙的速度方向与加速度方向相同
1 1 2
C．0～t 时间内，乙的速度先增大后减小，t 时刻，甲、乙两物体相遇
2 2
D．0～t 时间内，t 时刻甲、乙相距最远，两物体一直沿x轴正方向运动
2 1
类型2 vt图像中的追及相遇问题
1．[多选]甲、乙两车初始时相距1 000 m，甲车在后，乙车在前，在同一条平直公路上做匀变速直线运动，
它们的速度—时间图像(vt图像)如图所示，则下列说法正确的是( )
A．两车在t＝36 s时速度相等
B．乙车比甲车早出发8 s
C．两车不会相撞
D．甲车停下时，甲车在乙车前191 m处
2.(2022·安徽六安质检)汽车A在平直的公路上沿直线车道以15 m/s的速度匀速行驶，发现前方12.5 m处相
邻车道停有汽车B，B车从t＝0时以5 m/s2的加速度匀加速启动，该路段限速20 m/s，假设B车达最大速
度后匀速行驶，A车运动v－t图像如图乙所示。则下列说法正确的是( )
A．t＝2 s时，两车相遇
B．t＝2 s时，A车在B车前面
C．两车可以相遇两次，相遇时间分别是1 s和4 s
D．如果A车无法追上B车，则t＝0时两车距离至少为15 m
2.(2022·浙江模拟预测)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是(
)
A.游泳池长50 m
B.两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C.从t＝0时刻起经过1 min两运动员共相遇了3次
D.在0～30 s内，两运动员的平均速度大小之比为8∶5
模型二 交通实际模型
交通实际模型是以交通运动的真实情境为背景，解决交通运动中的追及相遇及避碰问题，在高考中
常以选择题或计算题的形式出现。
【例2】(2022·马鞍山调研)交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有甲、乙
两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为 v ＝9 m/s。当两车快
0
要到十字路口时，甲车司机看到路灯已转换成黄灯，立即紧急刹车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急
刹车。已知甲车刹车时的加速度大小为a ＝5 m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小为a ＝4.5 m/s2，乙车司
1 2
机的反应时间为Δt＝0.5 s(乙车司机看到甲车刹车0.5 s后开始刹车)。
(1)若甲车司机看到路灯转换成黄灯时车头距离停车线9 m，他采取上述措施能否避免闯停车线？
(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大的距离？
【解题指导】
(1)看到“乙车司机的反应时间为Δt＝0.5 s”，想到“乙车在Δt时间内以速度v 做匀速直线运动”。
0
(2)看到“为保证两车在紧急刹车过程中不相撞”，想到“在甲车刹车后，乙车运动的总位移应小于甲车刹
车位移与两车行驶过程中的距离之和”。
【方法规律】两种临界情况的辨析
本题两车的刹车过程中，甲车的初速度等于乙车的初速度，乙车减速的加速度大小小于甲车减速的加速度
大小，二者之间的距离是逐渐减小的，因此求解临界距离时，应该求出速度减为零时的位移。在本题中，如果乙车的初速度大于甲车的初速度，乙车减速的加速度大小大于甲车减速的加速度大小，则
求两车不相撞的临界距离时，应先求甲、乙两车的速度相等时两车的位移。
【针对训练1】(2022·银川一中月考)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，
然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以 v
0
＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x ＝63.5 m处有一辆电动车，正以v ＝6 m/s的速度匀速行驶，
0 1
而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。
若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距
离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，
经过多长时间二者相撞。
【针对训练2】(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10
m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过
多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
模型三 抛体运动模型
抛体运动模型是指多个做平抛、竖直上抛或自由落体运动的物体，在空中相遇的问题，能很好地考查学生
的理解能力和综合分析能力，在高考中多以选择题的形式出现。
【例3】如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h ，B点离地面的高度为2h 。将
0 0
两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，C点离地面的高度为h，已知重力加速度为g，不
0
计空气阻力，两小球均可视为质点，则( )A．两小球一定同时抛出
B．两小球一定同时落地
C．两个小球抛出的时间间隔为(2－)
D．两个小球抛出的初速度的比值为＝
【解题指导】
(1)看到“从A、B两点水平抛出”，想到“两小球从不同高度做平抛运动”。
(2)看到“它们在C点相遇”，想到“两小球同时到达C点，且水平位移相同”。
【解析】 两小球在C点相遇，说明两小球一定是同时到达C点。由于平抛运动的小球在竖直方向上做自
由落体运动，由h＝gt2可得t＝，由于A点到C点的竖直高度差较大，所以从A点抛出的小球到达C点时
运动的时间长，故一定是A点的小球先抛出，选项A错误；由于两小球在C点相遇时，从A点抛出的小球
竖直方向的速度大，且两小球在竖直方向上加速度相同，均为g，故由匀变速直线运动的规律可知，从A
点抛出的小球一定先落地，选项B错误；由t＝可得两小球从A、B两点抛出的时间间隔为Δt＝t －t ＝－
A B
＝(2－)，选项C正确；两小球在水平方向上做匀速直线运动，故由x＝vt可得v ＝x，所以从A、B两点抛
0 0
出的小球的水平初速度的比值为＝＝＝，选项D错误。
【答案】 C
【方法规律】对于抛体运动中的相遇问题，一般是从相遇点出发，抓住两物体相遇时一定同时到达相遇点
这一条件，再利用抛体运动的规律进行求解。常见解法如下：
(1)找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖直位移)关系、速度
关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
(2)用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。
类型1 平抛运动与自由落体运动以及上抛运动的相遇问题
1.（2022·昆明模拟）如图所示，某同学利用玩具枪练习射击，空中用细线悬挂一个可视为质点的小球，小
球离地高度为h，玩具枪的枪口与小球相距为d且在同一水平面上，子弹以v 的初速度沿水平方向射出，
0
同时剪断悬挂小球的细线，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )A．子弹在自由飞行的过程中，相同时间内其速度变化量不相等
B．子弹在自由飞行的过程中，其动能随高度的变化是不均匀的
C．要使子弹在小球落地前击中小球，则小球的高度必须满足h>
D．子弹一定能击中小球
2[多选]A物体自高为H的塔顶自由落下，同时B物体自塔底以初速度v 竖直上抛，且A、B两物体在同一
0
直线上运动，重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．若v>，两物体相遇时B物体正在下降途中
0
B．若v＝，两物体在地面相遇
0
C．若 B．a>
C．a> D．a>
3.（2022·郑州模拟）甲、乙两辆汽车分别在同一平直公路的两条车道上同向行驶，t＝0时刻它们恰好经过
同一路标。0～t 时间内，两辆车的vt图像如图所示，则( )
2
A．t 时刻甲车追上乙车
1
B．t 时刻甲车的加速度大小大于乙车的加速度大小
2
C．0～t 时间内甲车的平均速度大小为
2
D．0～t 时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
2
4.甲、乙两人同时同地骑自行车出发做直线运动，前1 h内的xt图像如图所示，下列表述正确的是( )
A．0.2～0.5 h内，甲的速度比乙的小
B．0.2～0.5 h内，甲的加速度比乙的大
C．0.6～0.8 h内，甲的位移比乙的小
D．0.8 h时，甲追上乙
5.我国的5G技术世界领先，该项技术在传输、时延、精度方面比4G大有提高，我国许多公司已将该技术
应用于汽车的无人驾驶研究．某公司在研究无人驾驶汽车的过程中，对比甲、乙两辆车的运动，两车在计
时起点时刚好经过同一位置沿同一方向做直线运动，它们的速度随时间变化的关系如图所示，由图可知()
A．甲车任何时刻加速度大小都不为零
B．在t＝3 s时，两车第一次相距最远
C．在t＝6 s时，两车又一次经过同一位置
D．甲车在t＝6 s时的加速度与t＝9 s时的加速度相同
6.甲、乙两车在同一车道同向直线运动，运动中速度随时间变化的 v－t图像如图所示，运动中两车恰好没
有发生碰撞，最终两车均停止，则( )
A．t＝0时，甲车在乙车前方9 m处
B．t＝0时，甲车在乙车后方8.4 m处
C．当甲车刚停下时，乙车速度大小为1.2 m/s
D．当两车均停止时相距0.4 m
7.(2022·甘肃民勤县第一中学期中)一只气球以10 m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球6 m处
有一小石子以20 m/s的初速度竖直上抛，若g取10 m/s2，不计空气阻力，忽略气球大小，则下列说法中正
确的是( )
A．石子一定能追上气球
B．改变石子的初速度，石子和气球可能相遇两次
C．若气球上升速度等于9 m/s，其余条件不变，则石子在抛出后1 s追上气球
D．若气球上升速度等于7 m/s，其余条件不变，则石子恰好在到达最高点时追上气球
8.(2022·广西高三月考)A、B两小球分别从图所示位置被水平抛出，落地点在同一点M，B球抛出点离地面
高度为h，与落地点M水平距离为x，A球抛出点离地面高度为2h，与落地点M水平距离为2x，忽略空气阻力，重力加速度为g，关于A、B两小球的说法正确的是( )
A.A球的初速度是B球初速度的两倍
B.要想A、B两球同时到达M点，A球应先抛出的时间是
C.A、B两小球到达M点时速度方向一定相同
D.B球的初速度大小为x
9.(2022·河南新乡市高三上学期第一次模拟)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落
高度为9 m时，在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中
相遇时，两球下落的高度为( )
A.6 m B.3 m
C.3 m D.1 m
10.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O
等高．现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v 、v 沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰(不计
1 2
空气阻力)，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．初速度v、v 大小之比为3∶4
1 2
B．若仅增大v，则两球不再相碰
1
C．若v 大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
1
D．若只抛出甲球并适当改变v 大小，则甲球可能垂直击中圆环BC
1
11.(多选)(2022·山西太原市质检)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r∶r＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
a b
A．a、b运动的周期之比为T∶T＝1∶8
a b
B．a、b运动的周期之比为T∶T＝1∶4
a b
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
12.当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了
一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太
阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是( )
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的小
13.快递员驾驶甲车给小明送快递，小明拿到快递后，发现快递员不小心遗落了一件别人的快递在他这里，
小明立即驾驶乙车去追快递员，此时快递员已经驾驶甲车在一条平直公路上行驶了 84 m，速度达到4
m/s，且甲车正以1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，一段时间后，快递员接到小明的信号改为匀速向前行
驶，已知小明驾驶的乙车最初以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动去追赶甲车，速度达到20 m/s后匀速行驶，
结果共经过19 s后追上甲车．
(1)求甲车加速行驶的时间；
(2)若乙车刚追上甲车时两车同时减速运动，40 m后停在同一位置，求两车各自做减速运动的加速度大小和
两车到达停车位置的时间差．
14.(2022·重庆万州纯阳中学校阶段练习)蓝牙可实现固定设备或移动设备之间的短距离数据交换，但设备间
超过一定距离时便无法实现通讯．某次实验中在甲、乙两小车上安装了某种蓝牙设备，该蓝牙设备正常通
讯的有效距离为d＝10 m．两车只能沿一条直线运动，如图所示甲车从O点由静止出发，以a ＝0.6 m/s2的
1
加速度向右做匀加速直线运动，甲车左侧距离为x ＝6 m处，乙车同时以初速度v ＝5 m/s，a ＝0.1 m/s2的
0 0 2
加速度向右做匀加速直线运动，发现两车运动过程中有时蓝牙信号中断，请计算第一次蓝牙信号中断到再次接收到信号的时刻之间的时间间隔．
15.(2022·江西丰城九中期末)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常离不开手机．然而开
车使用手机是一种分心驾驶的行为，极易引发交通事故．如图所示，一辆出租车在平直公路上以v ＝20
1
m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方90米处有一电动三轮车，正以v＝8 m/s速度匀速行驶，而出租车司
2
机此时正低头看手机，t ＝2.5 s后才发现危险，司机立刻采取紧急制动措施，再经t ＝0.5 s后汽车以最大
1 2
加速度8 m/s2开始做匀减速直线运动．
(1)当出租车开始减速时出租车与三轮车间的距离是多少？
(2)在出租车刹车过程中，两车是否相撞，若不相撞，求出最小距离；若相撞，写出证明过程．
16.足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行
传中。如图所示，某足球场长90 m、宽60 m，攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上
的运动可视为初速度为12 m/s的匀减速直线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s2。
(1)足球从开始减速到停下来的位移为多大？
(2)若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启动过程可视为初速
度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，则该前锋队员经过多长时间才
能追上足球？
17.(2022·安徽江淮十校联考)2010年诺贝尔物理学奖授予英国曼彻斯特大学科学家安德烈·海姆和康斯坦丁·
诺沃肖洛夫，以表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究。石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它
的发现使“太空电梯”缆线的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。如图所示，现假设
有一“太空电梯”悬在赤道上空某处，相对地球表面静止，忽略下面缆线的质量。已知地球半径为 R，自
转周期为T，地球质量为M，引力常量为G。(1)求“太空电梯”距地面的高度；
(2)若赤道平面内的一颗卫星环绕地球做圆周运动，环绕方向与地球自转方向相反，周期为2T，某一时刻卫
星在“太空电梯”正上方，问至少经过多长时间卫星再次经过“太空电梯”正上方？
