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第三部分 专项提能优化训练
专题3.2 向心力的来源分析与计算
目录
一、从动力学角度分析向心力来源..........................................................................................................................1
类型1 单一性质的力提供向心.......................................................................................................................2
类型2 多种性质的力的合力提供向心力.......................................................................................................4
二、从向心力来源角度分析圆周运动的临界问题..................................................................................................5
类型1 水平面上的圆周运动...........................................................................................................................6
类型2 竖直平面内的圆周运动.......................................................................................................................8
类型3 复合场中的圆周运动.........................................................................................................................10
三．专题强化训练....................................................................................................................................................11
一、从动力学角度分析向心力来源
做圆周运动的物体必须有外力提供其向心力，向心力既可以由某一个力来提供，也可以是由几个力的
合力或某一个力的分力来提供。圆周运动及其相关问题，往往都需要寻找向心力来源，然后根据“供”
“需”关系列出合外力提供向心力的动力学关系式求解相关问题。
【例1】如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上固定一带负电的点电荷A，一带正电的点电荷B绕A在椭
圆轨道上沿逆时针方向运动，椭圆轨道的中心在 O点，P 、P 、P 、P 为椭圆轨道与坐标轴的交点。为使
1 2 3 4
B绕A做圆周运动，某时刻起在此空间加一垂直于 xOy平面的匀强磁场，不计B受到的重力。下列说法中
可能正确的是( )
A．当B运动到P 点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场
1
B．当B运动到P 点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场
2C．当B运动到P 点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场
3
D．当B运动到P 点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场
4
【方法规律】
1．本类问题的三个难点
(1)能否根据受力分析找到向心力来源。
(2)能否从力和运动的角度理解并应用圆周运动向心力的“供”“需”关系。
(3)缺少必要的空间想象力，不能正确描绘合外力作用下圆周运动的场景。
2．轨迹与向心力的“供”“需”关系
(1)物体做匀速圆周运动时合外力恰好提供向心力。
(2)当物体做圆周运动的速度变大时，如果合外力不足以提供向心力，物体就会做离心运动，轨迹由圆变成
椭圆。
(3)当物体做圆周运动的速度变小时，如果合外力大于所需的向心力，物体就会做近心运动，轨迹由圆变为
椭圆。
分类训练
类型1 单一性质的力提供向心
1．[多选]我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。“高分五号”卫星的轨道高度约为705 km，
之前已运行的“高分四号”卫星的轨道高度约为 36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。设“高分五号”
的向心加速度为a ，周期为T ；“高分四号”的向心加速度为a 、周期为T ；固定在赤道上的物体随地球
1 1 2 2
自转的向心加速度为a、周期为T。则下列大小关系正确的是( )
3 3
A．a>a>a B．a>a>a
2 1 3 1 2 3
C．T＝T>T D．T>T>T
3 2 1 2 1 3
2.(多选) (2022·浙江6月选考)如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为 E＝，a为常量。比荷相
同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则( )A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
4.(2022·北京海淀区一模)在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场，两个相同的带电粒子①和②在 P点垂
直磁场分别射入，两带电粒子进入磁场时的速度方向与 x轴的夹角如图所示，二者均恰好垂直于y轴射出
磁场。不计带电粒子所受重力。根据上述信息可以判断( )
A．带电粒子①在磁场中运动的时间较长
B．带电粒子②在磁场中运动的时间较长
C．带电粒子①在磁场中运动的速率较大
D．带电粒子②在磁场中运动的速率较大
类型2 多种性质的力的合力提供向心力
1.光滑的金属轨道分水平段和圆弧段两部分，O点为圆弧的圆心。两金属轨道之间的宽度为0.5 m，匀强磁
场方向如图所示，大小为0.5 T。质量为0.05 kg、长为0.5 m的金属细杆置于金属水平轨道上的M点。当在
金属细杆内通以电流强度为2 A的恒定电流时，金属细杆可以沿轨道向右由静止开始运动。已知MN＝OP
＝1 m且OP水平，则下列说法中正确的是( )
A．金属细杆开始运动时的加速度为5 m/s2
B．金属细杆运动到P点时的速度大小为5 m/sC．金属细杆运动到P点时的向心加速度大小为10 m/s2
D．金属细杆运动到P点时对每一条轨道的作用力大小为0.75 N
2.(2022·“七彩阳光”联考)如图所示，空间内有竖直向上的匀强电场 E，将质量为m、带电量为＋q的小球
恰好以某一速度在内壁光滑的漏斗中做水平面内的匀速圆周运动。轨道平面与地面的距离为 h，漏斗壁与
水平方向的夹角为θ。已知匀强电场E＝，空气阻力忽略不计。下列选项正确的是( )
A．小球做匀速圆周运动的线速度与轨道高度h成正比
B．小球做匀速圆周运动的向心加速度与轨道高度h无关
C．某时刻撤掉漏斗后，小球的落地点无法确定
D．某时刻撤掉漏斗后，小球将做平抛运动，且机械能守恒
二、从向心力来源角度分析圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题是高考考查的热点也是难点，这类问题正确分析出临界状态是关键，而临界状态往
往和最大静摩擦力、分离条件、绳的拉力最大或最小等有关，与之相关的关键词是“刚好”“恰好”“取
值范围”“最大”“最小”等。
【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为 m的物体A放在转盘上，物体A到竖直筒中
心的距离为r。物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，物体B与物体A质量相同。物体A与转盘
间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随转盘一起转动。
【方法规律】
1．水平面内的圆周运动
(1)物体做匀速圆周运动时合外力沿水平方向指向圆心，竖直方向合力为零。
(2)转速发生变化时，物体间刚好不滑动的临界条件是物体间达到最大静摩擦力。(3)有关压力、支持力问题的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(4)有关绳上拉力问题的临界条件是绳恰好伸直而无拉力或绳上拉力为最大承受力。
2．竖直面内的圆周运动
正确区分“轻绳”模型和“轻杆”模型，它们在最高点的临界条件不同，轻绳和轻杆在最高点对物体的作
用力的方向特点有所不同。
3．复合场中圆周运动的临界问题
复合场中的圆周运动主要指带电粒子或带电体在重力场、电场和磁场等叠加场中的圆周运动。学生学习的
难点主要表现在以下两点：
(1)不能准确找到带电体在重力场和电场中做圆周运动的“最高点”和“最低点”。
(2)很难对其与已经掌握的竖直面内两种模型进行归类，然后借鉴两种模型的临界条件进行有效讨论。
类型1 水平面上的圆周运动
1.一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方A处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的
小球B，AO＝h，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要
使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)( )
A. B．π
C. D．2π
2.(多选)(2022·山东省济南十一中高三下开学联考)如图，三个小木块a、b和c(均可视为质点)放在水平圆盘
上，a、b质量均为m，c的质量为2m，a与转轴OO′的距离为L，b、c与转轴的距离均为2L，木块与圆盘
间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速
转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A.木块a、b和c同时相对圆盘发生滑动
B.木块b和c同时相对圆盘发生滑动C.当0＜ω≤时，三木块与圆盘保持相对静止
D.当＜ω≤时，三木块与圆盘保持相对静止
3.(多选)(2022·东北四市高三4月联考)如图甲所示，两个完全相同的物块A和B(均可视为质点)放在水平圆
盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的水平轻绳相连．两物块质量均为
1 kg.与圆心距离分别为R 和R ，其中R < R 且R ＝1 m．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同
A B A B A
角速度ω绕轴OO′匀速转动时，绳中弹力F 与ω2的变化关系如图乙所示，重力加速度 g＝10 m/s2.下列说
T
法正确的是( )
A．物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.1
B．物块B与圆心距离R ＝2 m
B
C．当角速度为1 rad/s时圆盘对A的静摩擦力指向圆心
D．当角速度为 rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动
类型2 竖直平面内的圆周运动
1．[多选]如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道半径为R，小球直径略小于管径
(管径远小于R)，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球通过最高点时的最小速度v ＝
min
B．小球通过最高点时的最小速度v ＝0
min
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
2.(2022·浙江6月选考·7)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说
法正确的是( )A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
3.(多选)(2022·湖南岳阳市高三检测)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固
定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为m 的a球置于地面上，质量为m 的b球从与C、D等高的
a b
位置(轻绳伸直)静止释放．当b球摆过的角度为90°时，a球对地面的压力刚好为零，下列结论正确的是(
)
A．m∶m＝2∶1
a b
B．m∶m＝3∶1
a b
C．若只将b的质量变大，则当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零
D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为
零
类型3 复合场中的圆周运动
1.一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右、场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a、c是竖直直径的
两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动。现使小球由a点
静止释放，沿abc运动到d点时速度恰好为零。由此可知，小球在b点时( )A．加速度为零 B．机械能最大
C．电势能最大 D．动能最大
2.(2022·安徽定远县育才学校高三月考)如图所示，带正电的摆球可绕固定点O在竖直平面内摆动．空间中
存在与水平方向夹角为θ＝30°的匀强电场，摆线长度为L，摆球质量为m，把摆球拉到与O点等高处由静
止释放，摆球恰能运动到摆线与电场方向垂直处速度减为0.摆线不可伸长且一直处于拉直状态，摆球可视
为质点，不计空气阻力，重力加速度为g.关于此过程下列说法正确的是( )
A．摆球受到的静电力大小大于重力大小
B．摆球运动到O点正下方时机械能减小了mgL
C．当摆球运动到O点正下方时，摆线的拉力大小为mg
D．摆球速度最大时，摆线上的拉力大小为3mg
三．专题强化训练
1.(2022·山东济南市高三一模)如图所示，a、b两电子围绕静止的正点电荷做匀速圆周运动，不计电子间的
相互作用，下列说法正确的是( )
A.a电子受到的静电力小于b电子受到的静电力
B.a电子的电势能小于b电子的电势能
C.a电子的线速度小于b电子的线速度
D.a电子的周期大于b电子的周期
2.(2022·山西太原市高三一模)如图所示，xOy直角坐标系中，虚线是中心在O点的一个椭圆，P、P、P、
1 2 3
P 为椭圆轨道与坐标轴的交点，Q是位于一焦点上的负点电荷.当带正电的点电荷q，仅在静电力的作用下
4
绕Q在椭圆轨道上沿逆时针方向运动时，下列说法中正确的是( )A.从P 到P 的过程中，q的电势能一直减小
1 2
B.从P 到P 与从P 到P 的过程中，静电力对q做的功相同
2 3 3 4
C.从P 到P 的时间大于从P 到P 的时间
3 4 4 1
D.当q到达P 点时，若加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，q可能做直线运动
4
3．[多选]如图所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周
运动，以下说法中正确的是( )
A．它们所需要的向心力大小相等
B．它们的运动半径与电荷量成反比
C．它们做圆周运动的角速度相等
D．它们的线速度与其质量成反比
4.如图所示，真空中A、B两点固定两个等电荷量的正电荷，一个具有初速度的带负电的粒子仅在这两个电
荷的作用下，可能做( )
A．匀速直线运动
B．匀变速直线运动
C．匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动
5．(2022·衡水中学质检)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半
径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A．小球过最高点的最小速度是
B．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
6.球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图(a)所示，这是人造的第一
个自动控制系统。如图(b)所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的球通过4根长为l的轻杆与竖直轴
的上、下两个套筒用铰链连接。上面套筒固定，下面套筒质量为 M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重
力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直轴之间的夹角θ的余弦值
为( )
A. B.
C. D.
7.(2022·黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三
角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星
体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．三颗星体的质量可能不相等
B．某颗星体的质量为C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
8.(2022·安徽合肥市高三一模)如图所示，置于竖直面内的光滑细圆环半径为R，质量为m的小球套在环上，
一原长为R的轻弹簧一端系于球上，另一端系于圆环最低点，圆环绕竖直直径转动，重力加速度为g.若角
速度ω由零开始缓慢增大，下列说法正确的是( )
A．当ω<时，小球仅受两个力的作用
B．当ω＝时，弹簧恰好处于原长状态
C．当ω>时，弹簧一定处于压缩状态
D．当ω足够大时，小球能够到达与圆心等高的位置
9．[多选]如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、
C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离
分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
10．(2022·烟台模拟)如图所示，正方形区域内有匀强磁场，现将混在一起的质子 H和α粒子加速后从正方
形区域的左下角射入磁场，经过磁场后质子H从磁场的左上角射出，α粒子从磁场右上角射出磁场区域，
由此可知( )
A．质子和α粒子具有相同的速度B．质子和α粒子具有相同的动量
C．质子和α粒子具有相同的动能
D．质子和α粒子由同一电场从静止加速
11.(多选)(2022·四川乐山市第一次调查研究)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场
中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球．小球静止时细线与
竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速
度为g.下列说法正确的是( )
A．匀强电场的电场强度E＝
B．小球动能的最小值为E＝
k
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
12．[多选](2022·江苏百校第三次联考)我国研制的“嫦娥四号”探测器实现了人类历史上与月球背面的第
一次“亲密接触”。如图所示，为了实现地月信息联通搭建“天桥”，中继卫星“鹊桥”在地球引力和月
球引力共同作用下，绕地月连线延长线上拉格朗日点L 沿“Halo”轨道运动。下列说法正确的有( )
2
A．地球和月球对“鹊桥”卫星的引力方向不相同
B．“鹊桥”卫星受到地球和月球引力的合力方向指向L 点
2
C．“鹊桥”卫星在地球上的发射速度大于11.2 km/s
D．“Halo”轨道的半径大到一定的值后才能实现“嫦娥四号”与地面测控站之间的中继通信
13.(2019·全国卷Ⅲ)如图所示，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 B和B、方向均垂
直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y
轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )A. B.
C. D.
14.(2022·新乡一模)据天文学家推测，存在这样的平面四星系统，四颗恒星分别位于菱形的四个顶点，绕菱
形的中心点、在菱形所在的平面内做角速度相同的圆周运动，位于对角的两颗恒星质量相等。根据测量可
知菱形的一个顶角为2θ，位于该顶角的恒星的质量为m，位于相邻顶角的恒星的质量为m，则＝( )
1 2
A. B.
C. D.
15.(多选)(2022·广东深圳高级中学月考)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，匀
强电场的方向平行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低点，M、N是轨道上与圆心O
等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为g，电场强
度E＝，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点
C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg
D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg
16．[多选]如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为
L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知
重力加速度为g，电场强度为，不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度v ≥
min
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在CBD圆弧上往复运动
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够沿圆周到达B点
17.(2022·湖南湘潭一中月考)物体做圆周运动时所需的向心力F 由物体运动情况决定，合力提供的向心力
需
F 由物体受力情况决定。若某时刻F ＝F ，则物体能做圆周运动；若F >F ，物体将做离心运动；若
供 需 供 需 供
F
