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专题04 曲线运动
常考考点
真题举例
斜抛运动
2024·江苏·高考真题
平抛运动速度的计算
2024·湖北·高考真题
斜抛运动
2024·福建·高考真题
平抛运动
2024·浙江·高考真题
①掌握曲线运动的条件和特点，轨迹与速度、合力三者之间的关系；
1
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②掌握运动的合成与分解，并会将其运用到曲线运动问题的求解，例如小船渡河模型和关联速度模型
等；
③掌握平抛运动的规律，学会分析和计算，学会处理平抛运动与斜面、圆等结合的问题以及临界问题；
④掌握斜抛运动的规律，学会分析和计算；
⑤掌握类平抛运动的规律，学会分析和计算。
核心考点01 曲线运动
一、曲线运动.........................................................................................................................................................3
二、曲线运动的条件............................................................................................................................................3
三、曲线运动的轨迹与速度、合力的关系........................................................................................................4
核心考点02 运动的合成与分解..................................................................................................................................5
一、运动的合成与分解........................................................................................................................................5
二、确定合运动性质的方法................................................................................................................................5
三、小船渡河模型.................................................................................................................................................6
四、关联速度模型.................................................................................................................................................7
核心考点03 平抛运动..................................................................................................................................................9
一、平抛运动.........................................................................................................................................................9
二、平抛运动物理量的求解................................................................................................................................9
三、平抛运动在斜面上的三种类型..................................................................................................................10
四、平抛运动与圆面结合的三种类型..............................................................................................................11
五、平抛运动的临界问题...................................................................................................................................11
核心考点04 斜抛运动................................................................................................................................................12
一、斜抛运动.......................................................................................................................................................12
二、斜抛运动物理量的求解..............................................................................................................................13
核心考点04 类平抛运动............................................................................................................................................14
一、类平抛运动...................................................................................................................................................14
二、求解方法.......................................................................................................................................................15
三、重要推论.......................................................................................................................................................15
核心考点01 曲线运动
一、曲线运动
1、运动特点
2
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①速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的切线方向．
②运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动。
曲线运动的速度：
切线的概念：如下图所示，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线叫做曲线的割线。设想B 点逐渐
沿曲线向A 点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B 点非常非常接近A 点时，这条割线就叫做曲线在A
点的切线。
当B 点越来越靠近A 点时，质点的平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向。当B 点与A 点的距离
接近0 时，质点在A 点的速度方向沿过A 点的切线方向。
曲线运动的性质：
质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致，故其速度的方向
时刻改变；物体做曲线运动时，速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速
度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
【注意】曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
二、曲线运动的条件
1、动力学角度
物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
【注意】动力学角度这包含三个内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共
线。
2、运动学角度
物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3、运动性质的判断
①直线运动或曲线运动的判断：看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上。
②匀变速运动或非匀变速运动的判断：合力为恒力(或加速度恒定)，物体做匀变速运动；合力为变力
(或加速度变化)，物体做非匀变速运动。
运动类型如下表所示：
F(a)与v 的方向
轨迹特点
加速度特点
运动性质
F(a)＝0
直线
a＝0
匀速直线运动
共线
a 恒定
匀变速直线运动
a 不恒定
非匀变速直线运动
不共线
曲线
a 恒定
匀变速曲线运动
3
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a 不恒定
非匀变速曲线运动
三、曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
1、速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就
是合力指向运动轨迹的凹侧。如下图所示：
【注意】速度方向与运动轨迹相切；合力方向指向曲线的“凹”侧；运动轨迹一定夹在速度方向和合
力方向之间。
2、速度大小的增减判断
①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；②当合外力方向与速度方向的夹角为
钝角时，物体的速率减小；③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
3、曲线运动的总结
核心考点2 运动的合成与分解
一、运动的合成与分解
1、基本概念
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
①运动的合成：已知分运动求合运动；②运动的分解：已知合运动求分运动．
【注意】物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、
速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2、合成与分解法则
运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。其合成、分解遵循平行四边形定则。
【注意】对速度v 进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解。合速度可能比分
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速度大，也可能比分速度小，还可能和分速度大小相等。
3、合运动与分运动的关系
等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同；
等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同；
同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动；
独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
二、确定合运动性质的方法
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速度v0和合加速
度a，然后进行判断：
（1）匀变速运动和轨迹曲直的判断：
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就
是合力指向运动轨迹的凹侧。
（2）互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动
合运动
矢量图
条件
两个匀速直线运动
匀速直线运动
a＝0
一个匀速直线运动和一个匀
变速直线运动
匀变速曲线运动
a 与v 成α
角
两个初速度为零的匀加速直
线运动
初速度为零的匀加速直
线运动
v0＝0
两个初速度不为零的匀加速
直线运动
匀变速直线运动
a 与v 方向
相同
匀变速曲线运动
a 与v 成α
角
三、小船渡河模型
1、模型特点
小船在河流中实际的运动可视为船同时参与了这样两个分运动：①船在静水中的运动，它的方向与船
身的指向相同；②水流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。
2、解决问题的关键
正确区分船的分运动和合运动。
【注意】分运动：船的航行方向也就是船头指向。合运动：船的运动方向也就是船的实际运动方向。
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一般情况下与船头指向不一致。
3、求解方法
模型解读
分运动1
分运动2
合运动
运动
船相对于静水的划行运动
船随水漂流的运动
船的实际运动
速度本质
发动机给船的速度v1
水流给船的速度v2
船相对于岸的速度v
速度方向
沿船头指向
沿水流方向
合速度方向,轨迹(切线)方向
渡河时间最
短情景
①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关。
②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最
短,
t min= d
v1 (d 为河宽)。
渡河位移最
短情景
①若v 船>v 水，当船头方向与上游河岸夹角θ 满
足v 船cos θ＝v 水时，合速度垂直河岸，渡河位移
最短，且xmin＝d
②若v 船<v 水，合速度不可能垂直于河岸，无法
垂直渡河。当船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂
直时，渡河位移最短，且xmin＝＝
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四、关联速度模型
1、模型特点
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称
为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通
常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。
2、分析思路
合速度：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向；
分速度：沿绳或杆的速度和与绳或杆垂直的速度。
【注意】该类模型的特点是沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
3、常见的模型分解
情景图示
结论
总结
v＝v 物cos θ
沿绳(或
杆)方向
的速度分
如图，有一条宽为
的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，小船在
静水中的速度大小为
，水流速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．小船在河水中行驶轨迹为曲线
B．小船在河水中的速度为
C．小船渡河时间为
D．小船在渡河过程中位移大小为
【答案】C
【详解】A．由于小船在静水中的速度、水流速度均恒定，故小船的合速度恒定，小船在河水中做匀速
直线运动，轨迹为直线，A 错误；
B．小船在河水中的速度为：
，B 错误；
C．小船渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，故渡河时间为：
，C 正确；
D．小船沿河流方向的位移为：
，小船在渡河过程中位移大小为：
D 错误。
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量大小相
等。
v 物′＝v∥＝v 物cos θ
v∥＝v∥′
即v 物cos θ＝v 物′cos α
v∥＝v∥′
即v 物cos α＝v 物′cos β
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核心考点3 平抛运动
一、平抛运动
1、定义
以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2、性质
平抛运动是加速度为g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3、平抛运动的条件
v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
4、研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5、运动规律
水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t；
竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝gt2；
如图所示，一工人利用定滑轮和轻质细绳将货物提升到高处．已知该工人拉着绳的一端从滑轮的正下
方水平向右匀速运动，速度大小恒为v，直至轻绳与竖直方向夹角为600．若滑轮的质量和摩擦阻力均
不计，则该过程（ ）
A．货物也是匀速上升 B．绳子的拉力大于货物的重力
C．末时刻货物的速度大小为
D．工人做的功等于货物动能的增量
【答案】B
【分析】人的运动是合运动，其速度v 沿绳子方向的分速度大小等于货物的速度，根据几何关系得出
货物的速度，再分析其变化．然后根据牛顿第二定律求出绳的拉力T 和物体的重力mg 的关系．
【详解】由题意可知，将人的速度v 沿绳子和垂直于绳方向分解，如图所示，沿绳的速度大小等于货
物上升的速度大小，v 货=vsinθ，θ 随人向右运动逐渐变大，sinθ 变大，若v 不变，故货物运动的速度要
变大，故A 错误．
货物的加速度向上，由牛顿第二定律可知其合力向上，则绳的拉力T 大于物体的重力mg，故B 正确；
末时刻货物的速度大小为v 货=vsin600=
v，选项C 错误；根据能量关系可知，工人做的功等于货物动
能和重力势能的增量之和，D 错误．故选B．
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合速度为v=√vx
2+v y
2
即
，方向：v 与水平方向夹角为
，即
a=tan−1( gt
v0
)
。
合位移为S=√x2+ y2
即
，S 与水平方向夹角为
，即
θ=tan−1( gt
2v0
)
。
6、运动图示
【注意】重要推论：①做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的
中点；②速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α=2tanθ 。
二、平抛运动物理量的求解
飞行时间
由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
水平位移
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定，与其
他因素无关。
落地速度
v＝＝，以θ 表示落地速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝
＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h 有关。
速度变化
水平方向做匀速直线运动，竖直方向的速度vy=gt，从抛出点看，
每隔∆t 时间的速度的矢量关系如下图所示。任意相等时间间隔∆t
内的速度改变量均竖直向下，则有：∆v=∆vy=g∆t。
平抛运动的分解技巧：①如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度；②如果知道位移的大小
或方向，应首先考虑分解位移。
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平抛运动的分解方法：①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；②沿斜面方向的匀加速
运动和垂直斜面方向的匀减速运动。
【注意】画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方
向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。
三、平抛运动在斜面上的三种类型
方法
内容
斜面
运动时间
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝
由tan θ＝＝得t＝
分解位移
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：s＝
由tan θ＝＝得t＝
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：
v＝
由tan θ＝＝得t＝
【注意】在斜面上以不同的初速度水平抛出的物体，若落点仍在斜面上，则存在以下规律：①物体竖
直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；②物体的运动时间与初速度成正
比；③物体落在斜面上，位移方向相同，都沿斜面方向；④物体落在斜面上时的速度方向平行；由推论
tanα＝2tanθ 知，物体落回斜面的速度方向取决于斜面倾角，与初速度的大小无关；⑤当物体的速度方向与
斜面平行时，物体离斜面的距离最远。
四、平抛运动与圆面结合的三种类型
方法
内容
斜面
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
由tan θ＝＝得t＝
由半径和
几何关系{h=1
2 gt 2 ¿ ¿¿¿
分解速度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
由tan θ＝＝得t＝
【注意】一般题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移
的大小，再用平抛运动的规律列方程求解。
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五、平抛运动的临界问题
1、平抛运动临界问题解决的重点
对题意进行分析，提取实际模型并提炼出关于临界条件的关键信息。此类问题的临界条件：通常为位
置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。
在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动过程的草图，明确临界条件。
2、解题思路
找出情景中临界条件
如“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，明确其含
义。
画出运动过程的草图
确定物体的临界位置，标注位移、速度等临界值。
明确临界过程的轨迹
运用曲线运动的规律进行求解。
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核心考点4 斜抛运动
一、斜抛运动
1、定义：
将物体以v 沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2、性质
加速度恒为g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3、运动规律
图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M 点由静止自由滑下，经过水平NP 段后飞入空
中，在Q 点落地。不计运动员经过N 点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运
动员速度大小v 或加速度大小a 随时间t 变化的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设斜坡倾角为
，运动员在斜坡MN 段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
可得
运动员在水平
段做匀速直线运动，加速度
运动员从
点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度
设在
点的速度为
，则从
点飞出后速度大小的表达式为
由分析可知从
点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且
C 正确，ABD 错误。
故选C。
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水平方向：不受外力，以vx=v0cosα 为初速度做匀速直线运动；水平位移x=v x t=v0cosαt ；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为v0 y=v0sinα ，做竖直上抛运动；任意时刻的速度公式是
v y=v0 y−gt ，位移公式为
y=v0 yt−1
2 gt 2
。
4、运动图示
轨迹方程为：
，为抛物线。
二、斜抛运动物理量的求解
飞行时间
当物体落地时v y=−v0 y=−v0sinα ，由 v y=v0 y−gt 知，飞
行时间
t=
2v0sinα
g
。
射程
由轨迹方程
，令y=0 得落回抛出高
度时的水平射程是
x=
v0
2sin2α
g
。由轨迹方程可得：①当抛射角
α=450 时射程最远，①当抛射角α=450 时射程最远，
；②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射
程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相
等的。
射高
斜上抛的物体达到最大高度时
=0，
此时
，代入
y=v0 yt−1
2 gt 2
即得到抛体所能达到的
最大高度
ymax= v0
2sin2α
2 g
，即当α=900
时，射高最大
H= v0
2
2 g 。
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核心考点5 类平抛运动
一、类平抛运动
1、定义：
在水平方向上不受力，维持初速度不变；在竖直方向上，存在一个恒力（区别于平抛运动的重力）。
2、受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
如图所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面上的A 点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分
别为图上的1、2、3。若忽略空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是（ ）
A．轨迹为1 的物体重力的冲量最大
B．轨迹为3 的物体在最高点的速度最小
C．轨迹为2 的物体在最高点的动能最大
D．三个物体单位时间内速度变化量不同
【答案】A
【详解】A．三个物体做斜抛运动，则由斜抛运动规律，在竖直方向上可得
可知竖直方向上距离最高的物体运动时间最长，所以轨迹为1 的物体运动时间最长。而重力的冲量为
由于三个物体质量相同，则轨迹为1 的物体重力的冲量最大，故A 正确；
B．根据斜抛运动规律，水平方向有
由于轨迹为3 的物体运动时间最短，水平位移最大，所以轨迹为3 的物体水平速度最大，在轨迹最高点
时竖直速度为零，所以轨迹为3 的物体在最高点的速度最大，故B 错误；
C．物体在最高点的动能为
轨迹为3 的物体水平速度最大，则轨迹为3 的物体在最高点的动能最大，故C 错误；
D．三个物体的加速度均为g，则三个物体的速度变化量均为
则三个物体单位时间内速度变化量相同，故D 错误。
故选A。
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3、运动规律
水平方向：初速度v0方向做匀速直线运动；
竖直方向：做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
4、运动图示
二、求解方法
常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)
的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度
v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
【注意】求解步骤：①根据物体受力特点和运动特点判断该问题是否属于类平抛运动问题； ②求出
物体运动的加速度；③根据具体问题选择常规分解法还是特殊分解法将运动分解为沿初速度方向的匀速直
线运动和垂直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动。
三、重要推论
做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如下图所示：
推导过程如下：
tanθ=
y A
xA−xB
¿}¿¿⇒xA=2xB¿
。
速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α=2tanθ 。
推导过程如下：
tanθ=
v y
v0
=at
v0
¿}¿¿⇒tanθ=2tanα¿
。
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