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专题06 抛体运动
考点
考情
命题方向
考点1 平抛运动
2024 年高考北京卷
2022 年高考广东物理卷
2022 年高考广东物理卷
2022 年高考河北卷
2023 高考全国甲卷
2022 年高考全国理综甲卷
2022 高考北京卷
2023 年全国高考新课程卷
1.平抛运动是考查重点，主要
有以下形式：平抛运动与斜面
结合；平抛运动与圆弧面结
合：平抛运动与实际情景结
合；平抛运动与图像结合等。
2.斜抛运动近几年考查有增加
趋势。考查形式主要有：斜抛
运动与实际结合；斜抛运动与
图像结合：斜抛运动与功能结
合、抛体运动与动量冲量结
合、考虑空气阻力的抛体运动
等。
考点2 斜抛运动
2024 年高考福建卷
2024 年高考江苏卷
2024 年高考江西卷
2024 年1 月浙江选考卷
2022 年高考山东物理卷
2024 年高考山东卷
2023 年高考辽宁卷
2023 年高考湖南卷
1
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题型一 平抛运动基本规律的应用
1．性质
加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，
则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
3．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度
v 0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度
v 0 和下落高度
h 共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ 表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与
初速度
v 0和下落高度
h 有关．
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图中A 点和B 点所示．
2
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②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位
移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
[模型演练1] （多选）（2024 春•西城区期末）如图所示为一个简易足球场，球门宽为
6m。一个同学在球门中线距离球门4m 处采用头球将足球顶入球门的左下方死角（图中P 点）。
同学顶球点的高度为1.8m。从头顶球到球落地的过程，忽略空气阻力，足球做平抛运动，g 取
10m/s2，则（ ）
A．足球的位移小于5m
B．足球运动的时间为0.6s
C．足球初速度的大小约为8.3m/s
D．足球在竖直方向上速度增加了6m/s
【解答】解：A、由勾股定理可得头顶球的位置在地面的投影到P 点距离为x=√4
2+( 6
2 )
2m=
5m，而足球的位移大小等于头顶球的位置到P 点的距离，显然，足球的位移大于L＝5m，故A
错误；
B、足球做平抛运动，由在竖直方向做自由落体运动可得：h= 1
2 gt
2=1.8m，解得足球运动时间
为：t＝0.6s，故B 正确；
C、足球做平抛运动的水平位移为x＝5m，由在水平方向做匀速运动得：v0= x
t ，解得足球初速
度的大小为：v0≈8.3m/s，故C 正确；
D、足球到达P 点时在竖直方向上的分速度大小为：vy＝gt＝10×0.6m/s＝6m/s，可知足球在竖直
方向上速度增加了6m/s，故D 正确。
故选：BCD。
[模型演练2] （2024 春•河西区期末）如图，从地面上方某点，将一小球以5m/s 的初速度
沿水平方向抛出，小球经过1s 落地，不计空气阻力，g 取10m/s2，则可求出（ ）
3
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A．小球抛出时离地面的高度是10m
B．小球落地时的速度方向与水平地面成30°角
C．小球落地时的速度大小是15m/s
D．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是5m
【解答】解：A．小球抛出时离地面的高度是h= 1
2 gt
2= 1
2 ×10×1
2m=5m，故A 错误；
B．设小球落地时的速度方向与水平地面成θ 角，则根据速度的合成与分解有
tanθ=gt
v0
= 10×1
5
=2
所以θ≠30°，故B 错误；
C．小球落地时的速度大小是v =√v0
2+(>)
2=√5
2+(10×1)
2m/ s=5√5m/ s
故C 错误；
D．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是
x＝v0t＝5×1m/s＝5m，故D 正确。
故选：D。
[模型演练3] （2024•西湖区校级模拟）如图所示，某环保人员在一次检查时发现一根圆
形排污管正在向外满口排出大量污水。这根管道水平设置，管口离水面的高度为h，环保人员
测量出管口中空直径为D，污水从管口落到水面的水平位移为x，该管道的排污流量为Q（流
量为单位时间内流体通过某横截面的体积，流量Q＝Sv，S 为横截面的面积，v 为液体的流动
速度）。若不计一切阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．污水流速越快，水从出管口到抛入水面的时间越长
4
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B．污水流速越快，留在空中水的体积越小
C．管道的排污流量为Q = π D
2 x
4 √
g
2h
D．污水抛入水面时速度方向可能与水面垂直
【解答】解：A、根据平抛运动规律可知，污水到达水面的时间，由高度决定，与流速无关，故
A 错误；
B、污水流速越快，一定时间内流出水的体积越大，故B 错误；
C、流速v= x
t =
x
√
2h
g
= x√
g
2h，因为Q＝Sv，所以Q= π D
2 x
4 √
g
2h
，故C 正确；
D、由于污水有初速度，最终速度必不与水面垂直，故D 错误。
故选：C。
题型二 有约束条件的平抛运动模型
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律
还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利
解决．常见的模型如下：
方法
内容
斜面
总结
分
解
速
度
水平：vx＝v0
竖直：vy＝gt
合速度：v＝
分解速度，构建速度
三角形
分
解
位
移
水平：x＝v0t
竖直：y＝gt2
合位移：s＝
分解位移，构建位移
三角形
5
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类型1 对着竖直墙壁的平抛运动
[模型演练4] （2024 春•温州期末）如图所示，某运动员将篮球从A 点斜向上抛出，篮球
垂直撞在竖直篮板上的O 点，反向弹回后正好落在了A 点正下方的B 点。若将篮球看作质点
且
不
计
空
气
阻
力
。
下
列
说
法
正
确
的
是
（
）
A．篮球上升阶段与下降阶段运动时间相同
B．篮球撞击O 点前后的瞬时速度大小相同
C．篮球从O 点运动到B 点过程加速度逐渐增大
D．篮球上升阶段与下降阶段速度变化量的方向相同
【解答】解：A、篮球上升阶段和下降阶段竖直方向都做匀变速直线运动，且加速度都是g，由
于上升和下降的高度相同，根据运动学公式h= 1
2 gt
2，由题意可知，两个阶段的高度变化不同，
可以得出上升比下降的时间段，故A 错误；
B、篮球撞击O 点前后，由于发生了碰撞，速度大小会发生变化，因此瞬时速度大小并不相同，
故B 错误；
C、篮球从O 点运动到B 点过程中，只受重力作用，加速度为g，保持不变，故C 错误；
D、篮球上升阶段和下降阶段，加速度都为g，方向都竖直向下，因此速度变化量的方向也相同，
都是竖直向下，故D 正确。
故选：D。
[模型演练5] （2024 春•庐阳区校级期中）小明同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向
上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，篮球运动轨迹如图所示，不计空气阻力。
关于篮球从抛出到撞击篮板前的过程，下列说法正确的是（ ）
6
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A．两次在空中的时间可能相等
B．两次抛出的水平初速度可能相等
C．两次抛出的初速度竖直分量可能相等
D．两次抛出的初速度大小可能相等
【解答】解：A.篮球做斜抛运动，上升过程的逆运动可以看作平抛运动，根据h= 1
2 gt
2，可得
t =√
2h
g ，由图可知，第二次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A 错误；
B.斜抛运动可以分解为水平方向的匀速运动，设初速度为v0，与水平方向的夹角为θ；根据匀速
运动规律，水平位移x＝vxt，由于两次水平位移相等，但第二次用的时间较短，所以第二次水平
分速度较大，故B 错误；
C.在竖直方向上做自由落体运动，由图可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C 错误；
D.根据速度的合成可知，水平速度第二次大，竖直速度第一次大，故抛出时的速度大小不能确
定，有可能相等，故D 正确。
故选：D。
[模型演练6] （2024 春•深圳期中）如图所示某同学对着竖直墙面练习投篮，在同一高度
的A、B 两点先后将球斜向上投出，篮球均能垂直打在竖直墙上的同一点P 点。不计空气阻力，
则篮球投出后在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两点投出打到P 点的速度大小无法比较
B．B 点投出打到P 点的速度大
7
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C．A 点投出在空中的运动时间长
D．B 点投出在空中运动的时间长
【解答】解：AB．该运动可看作平抛运动的逆过程，根据平抛运动规律有x = v0t = v0√
2h
g
可知，水平位移越大初速度越大，则B 点投出打到P 点的速度大，故A 错误，B 正确；
CD．篮球在空中的运动时间由竖直方向的高度差决定，根据位移—时间关系有t =√
2h
g
可知A 点、B 点投出的篮球在空中的运动时间相等，故CD 错误；
故选：B。
类型2 半圆的平抛运动
[模型演练7] （2024•天心区校级一模）如图所示，将半径为R 的圆环固定在竖直平面内，
O 为圆环的圆心，BC 为过圆环顶端的一条直径，现将小球以初速度v 从B 点正上方R 处的A
点沿水平方向抛出，小球落到圆环上的D 点，∠BOD＝37°；若将小球以初速度v1从A 点沿相
同的方向抛出时，小球的运动轨迹恰好与圆环相切sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，2-√3=0.3，忽
略空气阻力，所有的平抛轨迹与圆环在同一竖直平面内，则v
v1
为（ ）
A．√
51
91
B．1
4
C．√
41
91
D．√
41
81
【解答】解：将小球以初速度v 从B 点正上方R 处的A 点沿水平方向抛出，小球落到圆环上的
D 点，根据平抛运动规律可知
Rsin37°＝vt
2 R - Rcos37° = 1
2 gt
2
将小球以初速度v1从A 点沿相同的方向抛出时，小球的运动轨迹恰好与圆环相扣，设此时速度
8
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与水平方向夹角为α，则
tanα = ¿'
v1
Rsinα＝v1t′
2 R - Rcosα = 1
2 gt
2
代入数据联立解得v
v1
=√
51
91
故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[模型演练8] （2023 秋•九龙坡区期末）如图所示，半径为5m 的四分之一圆弧ABC 固定
在水平地面上，O 为圆心。在圆心O 右侧同一水平线上某点处，水平向左抛出一个小球，小球
可视为质点，恰好垂直击中圆弧上的D 点，D 点到水平地面的高度为2m，g 取10m/s2，则小
球的抛出速度是（ ）
A．8√15
3
B．4√15
3
C．4√5
3
D．3√5
2
【解答】解：物体做平抛运动，竖直方向上，h= 1
2gt2，即t=√
2h
g =√
2×3
10
s=√
6
10
s，在D 点的
速度方向与过D 点的圆的切线垂直，设水平分速度与合速的夹角为α，则有tanα= v y
v x
=gt
v0
，由
几何关系，tanα= 3
4 ，两式联立可得v0= 8√15
3
，故BCD 错误，A 正确。
故选：A。
[模型演练9] （多选）（2024 春•重庆期中）半圆弧轨道ACB 与斜面体A1B1C1，B1C1与
圆弧的直径AB 等长，A1C1与圆弧半径等长，不同质量两小球分别同时由A 及A1以相同的速
度水平抛出，分别落在圆弧面和斜面上，则（ ）
9
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A．小球可能先落在圆弧面上
B．小球可能垂直于圆弧面落在圆弧上
C．两小球平抛的末速度可能相同
D．在两小球平抛的过程中，重力的瞬时功率可能始终相等
【解答】解：A、如图所示：
假如小球抛出时的初速度较大，小球能落到圆弧BD 上，此时小球一定是先落在圆弧面上，故A
正确；
B、若小球垂直于圆弧面落在圆弧上，则速度的反向延长线经过圆心，根据平抛运动的推论，其
速度的反向延长线又经过水平位移的中点，两者相矛盾，则小球不可能垂直于圆弧面落在圆弧
上，故B 错误；
C、如图，若两球均能落到D 点，则两小球平抛的末速度相同，故C 正确；
D、两球同时抛出，则任意时刻小球速度的竖直分量始终相同，根据p＝mgvy可知，两球重力不
等，则重力的瞬时功率不可能始终相等，故D 错误。
故选：AC。
类型3 从斜面飞出的平抛运动问题
[模型演练10] （2024•五华区校级模拟）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主
体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、
乙两名可视为质点的运动员从跳台a 处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不
10
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计空气阻力，则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（
）
A．甲、乙飞行时间之比为3：2
B．甲、乙飞行的水平位移之比为4：9
C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3
【解答】解：A、坡面倾角即为位移与水平方向的夹角，设为θ，则有
y
x =
1
2 gt
2
v0t =gt
2v0
=tanθ，故飞行时间与初速度成正比，
整理解得
t甲
t乙
=
2v甲tanθ
g
2v乙tanθ
g
= v甲
v乙
= 2
3
甲、乙两人飞行时间之比为2：3，故A 错误；
B、根据x＝v0t，代入数据解得x甲
x乙
= 4
9
可得甲、乙两人飞行的水平位移之比为4：9，故B 正确；
C、把运动员的运动分解为沿斜面方向的运动和垂直于斜面方向的运动，由几何关系可知，运动
员在垂直于斜面方向上做初速度为v0sinθ，加速度大小为gcosθ 的匀减速运动，当垂直于斜面方
向的速度减小到零时，运动员离斜面距离最大，为
hm= (v0 sinθ)
2
2gcosθ
，
代入数据解得则他们在空中离雪坡面的最大距离之比为
h甲
h乙
= 4
9 ，故C 错误；
D、当落在斜坡上时，瞬时速度与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在斜面上，位移与水平
11
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方向的夹角就相同，所以两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D 错误。
故选：B。
[模型演练11] （2024•合肥三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度v0
从跳台顶端A 水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B 点，运动员运动到P 点时离倾
斜赛道最远，P 点到赛道的垂直距离为PC，P 点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为θ，
重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D 两点间的距离是
（ ）
A．v0
2 sinθtan
2θ
2 g
B．v0
2 sinθtan
2θ
g
C．v0
2 sin
2θtan
2θ
2 g
D．v0
2 sin
2θtan
2θ
g
【解答】解：将运动员在空中的运动分解为沿斜面方向以及垂直斜面方向，根据运动的对称性，
可以得到，运动员从A 运动到P 点和从P 点运动到B 点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面
方向的分运动从A 到C 的时间与从C 到B 的时间相等，运动员沿平行斜面做加速度为gsinθ 的
匀加速运动，设整个运动时间为t，AC＝v0cosθ• t
2 + 1
2gsinθ•（t
2）2
CB＝AB﹣AC＝v0cosθ•t+ 1
2gsinθ•t2﹣v0cosθ• t
2 - 1
2gsinθ（t
2）2＝v0cosθ• t
2 + 3
2gsinθ（t
2）2，则
CB﹣AC＝v0cosθ• t
2 + 3
2gsinθ（t
2）2﹣v0cosθ• t
2 - 1
2gsinθ（t
2）2＝gsinθ（t
2）2，由于从A 到P
的水平位移与从P 到B 的水平位移相等，因此AD＝DB，则CB﹣AC＝CD＝gsinθ（t
2）2运动员
做平抛运动有x＝v0t，y = 1
2 gt
2，tanθ = y
x ，解得 t = 2v0tanθ
g
，则CD= v0
2 sinθtan
2θ
2g
，故A 正
12
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确，BCD 错误。
故选：A。
[模型演练12] （2024•顺庆区校级模拟）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面
顶端把一高尔夫球水平击出让其在与斜面垂直的面内运动，小球刚好落在斜面底端。B 点是运
动过程中距离斜面的最远处，A 点是在阳光照射下小球经过B 点的投影点，不计空气阻力，则
（ ）
A．小球在斜面上的投影做匀速运动
B．OA 与AC 长度之比为1：3
C．若斜面内D 点在B 点的正下方，则OD 与DC 长度不等
D．小球在B 点的速度与整个段平均速度大小相等
【解答】解：AB、将小球的运动分解为沿斜面和垂直斜面两个分运动，可知小球沿斜面方向做
初速度为v0cosθ，加速度为gsinθ 的匀加速直线运动，则小球在斜面上的投影做匀加速直线运动；
小球垂直斜面方向做初速度为v0sinθ，加速度为gcosθ 的匀减速直线运动，B 点是运动过程中距
离斜面的最远处，则此时小球垂直斜面方向的分速度刚好为0，根据对称性可知，O 到B 与B 到
C 的时间相等，均为
t = v0 sinθ
gcosθ
则有
LOA = v0cosθ⋅t + 1
2 gt
2sinθ
LOC = v0cosθ⋅2t + 1
2 g(2t )
2sinθ
可得LAC = LOC - LOA = v0tcosθ+ 1
2 g3t
2sinθ
13
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则有
LOA
LAC
=
v0tcosθ+ 1
2 gt
2sinθ
v0tcosθ+ 1
2 g3t
2sinθ
＞
v0tcosθ+ 1
2 gt
2sinθ
v03tcosθ+ 1
2 g3t
2sinθ
= 1
3
故AB 错误；
C、将小球的运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，则小球从O 到B 有
xOB＝v0t
小球从O 到C 有xOC＝v02t＝2xOB
若D 点到B 点的正下方，则有xOC＝2xOD
可知D 点是OC 的中点，则OD 与DC 长度相等，故C 错误；
D、由A 选项可知，沿斜面方向和垂直与斜面方向将小球的运动分解后，到达B 点的速度为
vB＝v0cosθ+gsinθtOB
小球运动整段的平均速度为v = LOA
tOC
整理可得v = v0cosθ+ 1
2 gsintOC
由A 选项结论可知，O 到B 与B 到C 的时间相等，
故tOB= 1
2 tOC
联立上式可知v = vB，故D 正确。
故选：D。
类型4 飞向斜面的平抛运动问题
[模型演练13] （2024 春•西安期中）如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面
底端A 点正上方高度为6m 处的O 点，以1m/s 的初速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后
撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为（g＝10m/s2）（ ）
A．1s
B．1.2s
C．1.5s
D．2s
14
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【解答】解：物体做平抛运动，则水平方向：x＝vt
竖直方向：y = 1
2 gt
2
根据题意和几何关系可知y＝h﹣xtan45°
即h- xtan45° = 1
2 gt
2
代入v＝1m/s，h＝6m，解得t＝1s，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[模型演练14] （2024 春•永川区校级期中）如图所示，倾角为θ 的斜面体固定在水平面上，
两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点
为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B 两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，
小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气的阻力，重力加速度为g。则下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ：1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ：1
C．甲、乙两球的水平位移之比为tanθ：1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值之比为2tan2θ：1
【解答】解：A、设初速度为v0，对乙分析，由于落到斜面上速度与斜面垂直，故v y = v0
tanθ ，
故下落时间t= v y
g =
v0
gtanθ
对甲分析，x＝v0t′，y= 1
2 gt
2，tanθ = y
x ，联立解得t' = 2v0tanθ
g
，故t '
t = 2tan
2θ
1
，故A 错误
B、甲乙下落的高度之比为h'
h =
1
2 gt'
2
1
2 gt
2 = 4tan
4θ
1
，故B 错误
C、甲乙水平位移之比为x'
x = v0t '
v0t = 2tan
2θ
1
，故C 错误；
15
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D、甲球竖直方向的速度为v′y＝gt′＝2v0tanθ，故v ' y
v y
= 2tan
2θ
1
，故D 正确
故选：D。
[模型演练15] （2024 春•泉州期中）如图，两小球P、Q 从同一高度分别以v1和v2的初速
度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A 点，其中小球P 垂直打到斜面上，已知sin53°
＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为（ ）
A．2：1
B．3：2
C．9：16
D．32：9
【解答】解：两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，它们在竖直方向的
位移相等，小球在竖直方向做自由落体运动，由于竖直位移h 相等，它们的运动时间t=√
2h
g
相
等；
对球Q：tanθ＝tan53°= y
x =
1
2 gt
2
v2t =gt
2v2
，
解得：v2= 3
8gt，
球P 垂直打在斜面上，则有：v1＝vytanθ＝gt•tan53°= 4
3 gt，
则：
v1
v2
=
4
3 gt
3
8 gt
= 32
9 ，故D 正确，ABC 错误；
故选：D。
题型三 平抛运动的临界与极值问题
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题．
16
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[模型演练16] （2023 秋•合肥期末）如图所示，水平地面上放置一个直径d＝1.2m、高h＝
0.25m 的无盖薄油桶，沿油桶底面直径距左桶壁s＝1.8m 处的正上方有一P 点，P 点的高度H
＝0.45m，从P 点沿直径AB 方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法不正确的是
（ ）（取，g＝10m/s2，不计空气阻力，小球可视为质点）
A．小球的速度范围为10m/s＜v＜15m/s 时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为6m/s＜v＜10m/s 时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为6m/s＜v＜9m/s 时，小球击中油桶外壁
D．小球的高度低于0.45m，小球也可能击中下底
【解答】解：当小球落在A 点时，根据平抛运动的规律，则H= 1
2 gt1
2
又s＝v1t1
得：v1= s√
g
2 H =1.8×√
10
2×0.45m/s＝6m/s
同理可知，当小球落在D 点时，速度为：v2= s√
g
2( H -h) =1.8×√
10
2×(0.45-0.25)
m/s＝9m/s
假设小球落在B 点时，速度为：v31=(s+d)√
g
2 H =(1.8+1.2)×√
10
2×0.45
m/s＝10m/s＞v2
假设成立；
当小球落在C 点时，速度为：v4=(s+d)√
g
2( H -h) =(1.8+1.2)×√
10
2×(0.45-0.25)
m/s＝
17
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15m/s
结合以上的数据可知，小球的速度 9m/s 时恰好打在D 点，小于10m/s 则不能到达B 点。
ABC、小球的速度范围为10m/s＜v＜15m/s 时，小球击中油桶的内壁，小球的速度范围为9m/s
＜v＜10m/s 时，小球击中油桶的下底，当小球的速度范围为6m/s＜v＜9m/s 时，小球击中油桶
外壁，故AC 正确，B 错误；
D、由以上的分析可知，当H＝0.45m 时，小球的速度范围为9m/s＜v＜10m/s 时，小球都可以击
中油桶的下底，则H 的高度略小一些，小球仍然可能击中下底，故D 正确。
本题选择不正确的，
故选：B。
[模型演练17] （2023 春•天河区校级期中）如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.05m，墙的
厚度d＝0.30m，某人在离墙壁距离L＝1.20m、距窗子上沿h＝0.20m 处的P 点，将可视为质点
的小物件以v 的速度水平抛出，小物件能够直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。
则以下v 的取值范围满足条件的是（ ）
A．v＞7m/s
B．3m/s＜v＜6m/s
C．v＜3m/s
D．3m/s＜v＜7m/s
【解答】解：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v 最大。此时水平方向L＝vmaxt
正方向h= 1
2 gt
2
代入数据解得vmax＝6m/s
恰好擦着窗口下沿左侧时速度v 最小，则有水平方向L+d＝vmint′
竖直方向H +h= 1
2 gt'
2
代入数据解得vmin＝3m/s
故v 的取值范围是3m/s＜v＜6m/s，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
18
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[模型演练18] （2023 秋•齐齐哈尔期末）如图所示，从A 点以某一水平速度抛出一质量m
＝1kg 的小物块（可视为质点），当物块运动至B 点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道
BC，轨道固定，经圆弧轨道后滑上与C 点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C
端切线水平，已知长小物块运动至B 点时的速度大小vB＝5m/s，木板的质量M＝2kg，物块与
长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，圆弧轨道半径R＝
2.75m，OB 与竖直方向OC 间的夹角θ＝37°，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：
（1）小物块由A 运动至B 所经历的时间t；
（2）小物块滑动至C 点时的速度大小vC；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
【解答】解：（1）小物块由A 运动至B 点，物块做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动，
有：vy＝gt
根据运动的合成与分解，有：sin37° = v y
vB
解得：t＝0.3s
（2）从B 点到C 点，根据动能定理可得：mg( R - Rcos37°)= 1
2 m vC
2 - 1
2 m vB
2
代入解得：vC＝6m/s
（3）对小物块受力分析有：μ1mg＝mam
对木块受力分析有：μ1mg﹣μ2（m+M）g＝MaM
根据速度—时间关系有：v 共＝vC﹣amt＝aMt
根据位移—时间关系有：xm= vC + v共
2
t，xM = v共
2 t
最短板长为：L＝xm﹣xM
联立代入解得：L＝3m
19
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题型四 斜抛运动
1．落点与抛出点在同一水平面上时的飞行时间：t＝.
2．射高：Y＝＝.
3．落点与抛出点在同一水平面上时的射程
X＝v0x·t＝v0cos θ·＝.
4．影响射程的因素
(1)当θ 一定，v0 越大，射程越大．
(2)当v0 大小一定，θ＝45°时射程最大，当θ>45°时，射程随θ 增大而减小；θ<45°时，射程随θ 减
小而减小．
[模型演练19] （2024 春•重庆期末）如图所示，将同一小球从距水平地面一定高度的P 点，
分别沿四个不同方向以相同大小的速度抛出，甲为竖直上抛，乙为斜向上抛，丙为水平抛出，
丁为斜向下抛。不计空气阻力，水平地面足够长，则从抛出到第一次落地过程中，该小球在空
中运动时间最短的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解答】解：甲初速度竖直向上，抛出后只受重力，故甲为竖直上抛运动；乙为斜向上抛，竖
直方向上做匀减速直线运动；丙为平抛运动，竖直方向做自由落体运动；丁为斜向下抛，在竖
直方向上，向下做匀加速直线运动，则在空中运动的时间最短，故D 正确，ABC 错误。
故选：D。
[模型演练20] （2024 春•黄埔区期末）如图所示，A、B 两篮球从相同高度以相同方向抛
出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列判断正确的是（ ）
20
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A．.两球在最高点加速度都为零
B．两球运动的最大高度相同
C．.两球抛出时的初速度大小相等
D．.两球速度变化量的方向始终竖直向下
【解答】解：A、两球在最高点的加速度均为重力加速度，故A 错误；
C、A、B 两球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，A 球水平位移大于B 球，说明A 球
水平分速度大于B 球，由于初速度方向相同，所以A 球的初速度大于B 球，故C 错误；
B、设初速度方向与水平方向夹角为θ，则
hA = (v A sinθ)
2
2g
hB= (vB sinθ)
2
2g
vA＞vB
所以hA＞hB，故B 错误；
D、速度变化量的方向与加速度方向相同，所以两球速度变化量的方向即为重力加速度的方向，
即速度变化量的方向始终竖直向下，故D 正确。
故选：D。
[模型演练21] （2024 春•朝阳区期末）水稻播种时某次同时抛出的谷粒中有两颗运动轨迹
如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P 点，抛出时谷粒1 和谷粒
2 的初速度大小分别为v1和v2，且v1＝v2，v1方向水平，v2方向斜向上。两颗谷粒质量相同。
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
21
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A．谷粒1 和谷粒2 在P 点相遇
B．谷粒1 在P 点的速度大于谷粒2 在P 点的速度
C．从O 点运动到P 点的过程中，谷粒1 的速度变化量小于谷粒2 的
D．从O 点运动到P 点的过程中，谷粒1 的动能变化量小于谷粒2 的
【解答】解：A、根据图像可知，谷粒1 做平抛运动，谷粒2 做斜抛运动，令谷粒2 抛出速度与
水平方向夹角为θ，从O 到P 过程，对谷粒1、2 分别有
hOP= 1
2 gt1
2
-hOP= v2sinθ⋅t2- 1
2 gt2
2
整理解得
t1=√
2hOP
g
t2= v2sinθ
g
+√
v2
2sin
2θ
g
2
+ 2hOP
g
则有t1＜t2
可知，谷粒1 先到达P 点，谷粒1 和谷粒2 不能在P 点相遇，故A 错误；
BD、因初速度大小相等，两谷粒质量相等，所以初动能相等，由动能定理得，从O 点运动到P
点的过程中，谷粒1 和谷粒2 重力做功相等，动能变化量相等，故P 点的动能也相等，故谷粒1
在P 点的速度等于谷粒2 在P 点的速度，谷粒1 的动能变化量等于谷粒2 的，故BD 错误；
C、由抛出后只受重力，加速度为重力加速度，故
Δv＝gt
因为t1＜t2
所以从O 点运动到P 点的过程中，谷粒1 的速度变化量小于谷粒2 的，故C 正确。
故选：C。
22
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题型五 类平抛运动
[模型演练22] （2023 秋•武昌区校级期末）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调
节。当倾角为θ1时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A 以初速度v0水平射入，恰好
沿底端D 点离开斜面；改变倾角为θ2时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A 以初速度v0水平
射入，发现物块沿CD 边中点离开斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为2：1
B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1
C．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：1
D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2
【解答】解：AB.第一次，物块恰好沿底端D 点离开斜面，第二次，物块沿CD 边中点离开斜面，
则沿斜面方向的位移y 之比2：1，平行斜面方向x 相同，根据x＝v0t，则时间相同，再根据y
= 1
2 gsinθt
2，则sinθ1＝2sinθ2，根据结合关系高度h＝ysinθ，故物块离开斜面时，前后两次下落
的高度之比为4：1，故A 错误，B 正确；
CD.物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量Δv＝gsinθt，故前后两次速度变化量的大小之
比为2：1，故CD 错误。
故选：B。
[模型演练23] （2024 春•大兴区期末）第24 届冬季奥林匹克运动会在2022 年由北京市和
张家口市联合举办，跳台滑雪是比赛项目之一。如图所示，运动员从跳台边缘的O 点水平滑
出，落到斜坡CD 上的E 点。运动员可视为质点，忽略空气阻力的影响，重力加速度已知，则
运动员由O 点出发运动到E 点过程中下列说法正确得是（ ）
23
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A．运动员运动时间仅由OC 的高度决定
B．运动员的落点E 仅由OC 的高度决定
C．若测出OE 的水平距离则可计算运动员离开平台时的速度
D．若测出运动员空中飞行时间及OE 的水平距离则可计算出落到E 点时的速度大小
【解答】解：ABC、根据平抛运动规律有h= 1
2 gt
2
x＝v0t
可知运动员运动时间由OE 的高度决定，运动员的落点E 由OC 的高度和初速度决定，若只测出
OE 的水平距离，时间长短未知，无法计算初速度，故ABC 错误；
D、若测出运动员空中飞行时间及OE 的水平距离则有
x＝v0t
vy＝gt
可依据v =√v0
2+ v y
2
计算落到E 点时的速度大小，故D 正确。
故选：D。
[模型演练24] （多选）（2023 秋•包河区校级期末）如图所示，两个倾角分别为30°、45°
的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的
小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a、c 两小球在斜面顶端。
若同时释放a、b、c 小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t 若同时沿水平方向抛出，初速度
方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′．下列关于时间的关系正确的是（
）
A．t1＞t3＞t2
B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
24
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C．t1′＞t3′＞t2′
D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
【解答】解：第一种情况：b 球做自由落体运动，a、c 做匀加速运动。设斜面的高度为h，则
对a 球：
h
sin30° = 1
2 gsin30°t1
2，
对b 球：h= 1
2 gt2
2
对c 球：
h
sin 45° = 1
2 gsin45°t3
2
由数学知识得：t1＞t3＞t2。
第二种情况：a、c 两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，
a 的加速度为gsin30°，c 的加速度为gsin45°，b 球做平抛运动，则有
对a 球：
h
sin30° = 1
2 gsin30°t1'
2
对b 球：h= 1
2 gt2'
2
对c 球：
h
sin 45° = 1
2 gsin 45°t3'
2
比较可知，t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′．故ABC 正确。D 错误
故选：ABC。
25
