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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第4 章 抛体运动
第4.4 讲 抛体运动极值问题
【知识点精讲】
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，
而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值
点往往是临界点。
【方法归纳】
1. 处理平抛运动中的临界问题的关键
处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问
题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件
代入即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条
件。
2. 处理平抛运动中的极值问题的方法
分析求解平抛运动中的极值问题的方法，主要是利用平抛运动规律和相关知识，列出方程，得出相关
函数关系式，利用数学方法得出最大值或最小值。数学方法主要有：
（1）.利用二次函数求极值
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数且a≠0),当x=- b
2a
时,y 有极值ym=4 ac -b
2
4 a
(a>0 时,ym 为极小值
a<0 时,ym为极大值).
（2）. 利用均值不等式求极值
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当
a=b 时,其和a+b 有极小值。
【最新高考题精练】
1（2017 全国II 卷·17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速
度
从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此
1
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距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】B
【名师解析】设小物块运动到最高点的速度为
，半圆形光滑轨道半径为R，小物块由最低点运动到
最高点，由机械能守恒定律，
；小物块从最高点飞出做平抛运动，
x=vtt，2R=
gt2，联立解得，x=2
=4
.当R=
时，x 最大，选项B
正确。
2..(2015·全国卷Ⅰ，18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图10 所示。水平台面的长和宽分别为L1和
L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓
球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v 在某范围内，
通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
【参考答案】 D
【名师解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v 最小时，球沿中线
恰好过网，有：
2
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3h－h＝①
＝v1t1②
联立①②得v1＝
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝v2t2③
3h＝gt ④
联立③④得
v2＝
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为
＜v＜，选项D 正确。
【最新模拟题精练】
一、选择题
1. （2023 湖南邵阳二模）如图所示，小球以v0=10m/s 的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向
与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（
）
A. 小球到达最高点时的瞬时速度为零
B. 小球离地面的最大高度是3.2m
C. 小球在空中的运动时间是0.8s
D. 保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移（射程）的最大值是10m
【参考答案】BD
【名师解析】
小球做斜上抛运动，有
，
当小球到达最高点时，竖直方向的速度减为零，小球的速度为水平方向速度，大小为6m/s，故A 错误；小
3
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球离地面的最大高度为
，故B 正确；
小球在空中运动的时间为
，故C 错误；
保持小球速度大小不变，改变速度方向，设初速度与水平方向的夹角为θ，则有
，
小球的水平分位移为
由此可知，当sin2θ=1，即θ=45°时，小球的水平位移达到最大
故D 正确。
2.（2023 湖北黄冈名校联考）.如图所示为鱼饵自动投放器的装置示意图，其下部是一个高度可以调节的
竖直细管，上部是四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向。竖直细管下端装有原长为L0的轻质弹簧，弹簧下
端与水面平齐，将弹簧压缩并锁定，把鱼饵放在弹簧上。解除锁定当弹簧恢复原长时鱼饵获得速度v0，不
考虑一切摩擦，重力加速度取g，调节竖直细管的高度，可以改变鱼饵抛出后落水点距管口的水平距离，
则该水平距离的最大值为（ ）
A.
+L0 B、
+2L0
C、
-L0 D、
-2L0
【参考答案】A
【名师解析】
4
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设弹簧恢复原长时弹簧上端距离圆弧弯管口的竖直距离为h，根据动能定理有-mgh=
mv2-
mv0
2。鱼饵离
开管口后做平抛运动，竖直方向有h+L0=
gt2，鱼饵被平抛的水平距离x=vt，联立解得x=
，所以调节竖直细管的高度时，鱼饵被投放的最远距离为
+L0。选项A 正确。
【关键点拨】先根据动能定理求出平抛运动的初速度，结合平抛运动的规律求出水平距离的表达式，通过
数学知识求该水平距离的最大值。本题考查平抛运动和动能定理，考查考生的分析综合能力和应用数学处
理物理问题的能力。掌握动能定理，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的基础。
3. (2023 浙江稽阳联考)如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度为h，
发射器O′A 部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A 点以初速度v0水平发射出去，其中
≤v0≤2
，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球
器绕转轴OO′在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰
区域的最大面积S 是（ ）
A．2πh2
B．3πh2
C．4πh2
D．8πh2
【参考答案】.C
【命题意图】 本题以乒乓球发球器发射乒乓球为情景，考查平抛运动规律及其相关的知识点。
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【解题思路】根据平抛运动规律，h=
gt2，解得t=
。以最小速度v1=
发射的乒乓球，水平位移
最小，最小位移为x1= v1t=
=2h，对应的与桌面相碰区域的1/4 圆最小半径为r1=h+ x1=3h；以
最大速度v2=2
发射的乒乓球，水平位移最大，最大位移为x2= v2t=2
=4h，对应的与桌面
相碰区域的1/4 圆最小半径为r2=h+ x2=5h；乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S=
π[（5h）2-
（3h）2]=4πh2，选项C 正确。
【方法归纳】对于平抛运动问题，要利用平抛运动规律列方程解答。对于平抛运动的初速度在一定范围的
问题，可分别将最小速度和最大速度分别代入求得对应的最小水平位移和最大水平位移。
二、计算题
1．（2023 重庆名校教育联盟质检）如图所示，
是以
为圆心、半径
的四分之一光滑圆轨道，
水平，
竖直；
是光滑的水平直轨道，
与
相切于Q 点；
是以
为圆心、半径
的四分之一圆弧，
水平。小球A 的质量为
，小球B 的质量为
，两球均视为质点。
把小球B 放置在轨道
上，让小球A 从P 点由静止释放，小球A 与小球B 发生弹性正碰（不计空气阻力，
重力加速度为g）。求：
(1)小球A 运动到Q 点时对Q 点的压力；
(2)如果k 值已知，小球A 与小球B 碰撞后小球B 的速度大小；
(3)如果k 的取值可以变化，要使小球B 撞在圆弧
上时速度最小，求k 的取值和此速度的最小值。
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【名师解析】(1)设小球A 到达Q 点时速度为
，由机械能守恒定律有
解得
，
在Q 点对小球A 受力分析，设轨道对小球A 的弹力为
，
由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律得小球A 运动到Q 点时对Q 点的压力
方向竖直向下；
(2)小球A 与小球B 发生弹性正碰，设碰后A、B 的速度分别为
、
，
则根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
(3)小球B 离开
点后做平抛运动，设运动时间为t，水平位移为d，下落高度为h，则
，
由几何关系可得
联立可得
，
设小球B 撞在圆弧上时速度为，
由机械能守恒定律得
，
则
，
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当且仅当
，即
，
，有最小值，
且
，
将
代入，
，得
2. （2023 西安重点高中二模）如图所示为某一游戏简化装置的示意图．AB 是一段长直轨道，与半径 R
＝1 m 的光滑圆弧轨道 BC 相切 于 B 点．BC 轨道末端水平，末端离水平地面的高度为 2 m，圆弧 BC
对应的圆心角θ＝37°，高度 h＝ 2 2 m 的探测板 EF 竖直放置，离 BC 轨道末端 C 点的水平距离为 L，
上端 E 与 C 点的高度差也为 h＝ 2 2 m，质 量 m＝0.1 kg 的小滑块(可视为质点)在 AB 轨道上运动时
所受阻力为重力的 0.2 倍，不计小滑块在运动过程 中所受空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取
10 m/s 2 .
(1)若将小滑块从 B 点静止释放，求经过圆弧轨道最低点 C 点时小滑块对轨道的作用力大小；
(2)小滑块从 C 点以不同的速度飞出，将打在探测板上不同位置，发现打在 E、F 两点时，小滑块的动能
相 等，求 L 的大小；
(3)利用(2)问所求 L 值，求小滑块从距 B 点多远处无初速度释放时，打到探测板上的动能最小？最小动
能 为多少？
【参考答案】.（14 分） (1)1.4 N (2)2 m (3)2 m 2 J
【名师解析】 (1)小滑块从B 运动到C 的过程中，由动能定理得
mgR(1－cos θ)＝mvC
2－0，
设C 点时轨道对小滑块的作用力大小为F，由牛顿第二定律得F－mg＝，得F＝1.4 N
根据牛顿第三定律，经过圆弧轨道最低点C 点时小滑块对轨道的作用力大小F′＝F＝1.4 N
(2)从C 点到E 点，小滑块做平抛运动，h＝gt2，L＝vC1t 得vC1＝
打在E 点的动能EkE＝mvC1
2＋mgh＝同理可知：打在F 点的动能为EkF＝
又因为EkE＝EkF 得L＝2 m
(3)令小滑块从距B 点x 处无初速度释放
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从释放点运动到C，由动能定理得 mgxsin θ－Ffx＋mgR(1－cos θ)＝mvC′2－0
其中Ff＝0.2mg
从C 点到探测板小滑块做平抛运动，竖直方向位移 y＝g()2
打到探测板上的动能Ek＝mvC′2＋mgy
解得Ek＝(＋) J，
则当＝时，Ek有最小值．
即x＝2 m 时，动能最小值Ekmin＝2 J.
3．（16 分）（2023 河北石家庄重点高中期中）如图所示，一段半径为R、圆心角为θ=37°的光滑圆弧BO
上端点与斜面AB 平滑连接，下端切线水平。质量为m 的小球P 从斜面上距离O 点竖直高度h=2R 处由静
止释放，小球运动到O 点水平抛出之后，落入固定放置在水平地面上的竖直四分之一光滑圆弧轨道内，该
段圆弧的圆心在O 点，半径也为R。小球P 在斜面AB 上受到的摩擦力为重力的0.2 倍，当地重力加速度为
g，sin37°=0.6，cos37°=0.8.。
（1）求小球P 运动到O 点时对圆弧轨道的压力F；（2）若改变小球P 下滑的高度h，使小球P 从O 点抛
出后，落至圆弧轨道上时具有最小动能，求此时的下滑高度及对应的最小动能。
【名师解析】：
（1）如图由几何关系可知，斜面AB 的倾角为37°，设小球P 运动到O 点的速度为v0，对小球从A 点到O
点由动能定理有
┄┄┄┄（2 分）
小球P 在O 点由牛顿第二定律有
┄┄┄┄ （2 分）
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解得
┄┄┄┄（1 分）
由牛顿第三定律有
所以
，方向竖直向下┄┄┄┄（1 分）
（2）由（1）问知小球P 从O 点水平抛出，抛出速度
┄①┄┄┄┄（1 分）
由平抛规律得
┄②┄┄┄┄（2 分）
如图由几何关系可知
┄③，
由②③联立得
┄┄┄┄（2 分）
设落至圆轨道上的动能为
，则由机械能守恒定律得
┄┄┄┄（2 分）
将①代入得
┄┄┄┄（1 分）
由数学知识可得，当
时即
时
有最小值
即
┄┄┄┄（1 分）
将
代入
得
结合
，可求得
┄┄┄┄（2 分）
R
h
A
B
O
P
θ
y R
x
10
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4. （2022 浙江山水联盟开学考试）如图甲，固定在竖直平面内的倾斜轨道
，与水平轨道
相连，一
个质量
的小物块可视为质点，在足够长轨道
上从距离O 点竖直高度
、水平距离
处由静止释放，然后又从O 点水平抛出，O 点离地高度H 足够高。已知小物块与所有轨道间的动
摩擦因数均为0.5，忽略小物块在轨道交接处B 点因碰撞而带来的机械能损失（重力加速度
）。
（1）求小物块运动到O 点时的速度大小；
（2）小物块从O 点飞出后刚好沿切线进入竖直圆弧轨道D 点，如图乙，已知轨道半径
，
，C 为最高点，求小球到达C 点时对轨道的压力。
（3）撤掉圆弧轨道，过O 点在竖直面内建立坐标系，y 轴竖直向下，有挡板其形状满足
，如图
丙。改变小球出发位置，求小物块击中挡板时动能的最小值（取
）。
【参考答案】（1）
；（2）0N；（3）2.2J
【命题意图】本题考查动能定理、类平抛运动及其相关知识点。
【解题思路】（1）由动能定理，mgh-μmgL=
mv0
2，解得v0=2m/s
（2）小物块从O 点飞出后刚好沿切线进入竖直圆弧轨道D 点，则在D 点的竖直方向速度vy=v0tan60°=2
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m/s
由vy
2=2gh，解得h=0.6m，因为D 到C 的竖直高度R+Rsin30°=0.6m，所以C 点与O 点同高，
由机械能守恒定律可知，小物块运动到C 点时的速度大小为vC=v0=2m/s
设小物块运动到C 时受到的轨道压力为F，由牛顿第二定律，F+mg=m
解得：F=0，由牛顿第三定律可知小球到达C 点时对轨道的压力0.
（3）由平抛运动规律 x=v0t，y=
gt2，而
小物块击中挡板时动能Ek=
mv0
2+mgy，联立解得Ek=
-
+mgy，
由于
·mgy=
m2g2，为常数，
当
=mgy ，即y=
时动能有最小值，动能的最小值为Ekmin=
-
=2.2J。
5．（2022 浙江杭州九校联考）小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质
量为m 的小球，甩动手腕使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行
水平距离d 后落地．如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间绳长为3 / 4
d
，重力加速度为
g．忽略手的运动半径和空气阻力．求：
（1）绳突然断掉时球的速度大小
0v ；
（2）轻绳能承受的最大拉力多大？
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（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳
长应是多少？最大水平距离为多少？
【参考答案】（1）
0
2
v
gd ；（2）
11
3
F
mg
；（3）
1
2 d
，
2 3
3 d
【名师解析】（1）绳突然断掉，小球做平抛运动，平抛高度
/ 4
h
d
则水平方向上做匀速直线运动
1
d
v t 1 分
竖直方向上自由落体运动
2
1
2
h
gt
1 分
联立可解得
0
2
v
gd 1 分
（2）当小球在最低点时，绳恰好断，故绳能承受的拉力满足
2
0
3
4
v
T
mg
m
d
2 分
（此处
3
4 d
写成r 也给相应分数）
代入数据解得
11
3
T
mg
1 分
（3）设绳长为x，最低点的速度为
0v ，绳仍在球运动到最低点时断掉，则
2
0
v
T
mg
m
x ①
得
0
8
3
v
gx
②有①或②1 分
小球以
0v 在最低点做平抛运动，则有
2
1
2
d
x
gt
③
得
2(
)
d
x
t
g
④有③或④1 分
0
s
v t
13
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联立得
8
2(
)
16(
)
3
3
gx
d
x
d
x x
s
g
当
d
x
x 时，即
2
d
x
时，最大水平距离为
m
2 3
3
s
d
1 分
6. （2022 山东济宁兖州高一期中）如图所示，光滑半圆形轨道处于暨直平面内，半圆形轨道与光滑的水
平地面相切于半圆的端点A.一质量为m 的小球在水平地面上C 点受水平向左的恒力F 由静止开始运动，当
运动到A 点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B 点，最后又落在水平地面上的D 点
(图中未画出).已知A、C 间的距离为L，重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B 点时对轨道的压力FN的大小；
(2)为使小球能站动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值
；
(3)轨道半径R 多大时，小球在水平地面上的落点D 到A 点距离最大?最大距离
是多少?
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【名师解析】
(1)设小球到B 点速度为v，从C 到B 根据动能定理有
解得
在B 点，由牛顿第二定律有：
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解得:
根据牛顿第三定律可知:
(2)小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有
解得：
(3)设小球平抛运动的时间为t，有
解得：
水平位移
当
时，水平位移最大，解得
D 到A 的最大距离
.
15
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