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专题08 抛体运动九大问题
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题型一 平抛运动的基本规律....................................................................................................................................1
题型二 平抛运动的临界、极值问题........................................................................................................................5
题型三 斜面上的平抛问题........................................................................................................................................9
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角.......................................................................................9
类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角.....................................................................14
类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角.....................................17
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角............................22
题型四 有约束条件的平抛运动模型......................................................................................................................25
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动.................................................................................................................25
类型2 半圆内的平抛问题.............................................................................................................................27
题型五 平抛的多解问题..........................................................................................................................................32
题型六 平抛与圆周的临界问题..............................................................................................................................35
题型七 斜抛运动的理解和分析..............................................................................................................................39
题型八 类平抛运动..................................................................................................................................................45
题型九 抛体运动中的功能与动量..........................................................................................................................50
题型一 平抛运动的基本规律
【解题指导】1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
2.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：匀速直线运动。
（2）竖直方向：自由落体运动。
3.基本规律（如图）
（1）速度
合速度的大小v＝＝
设合速度的方向与水平方向的夹角为θ，有
tan θ＝＝。
（2）位移
合位移的大小s＝＝
设合位移的方向与水平方向的夹角为α，有
tan α＝＝。
（3）三个重要结论：①合速度方向与水平方向的夹角θ和合位移方向与水平方向的夹角α
的关系，tan θ＝2tan α。
②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位
移的中点，即x ＝。
OC
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学科网（北京）股份有限公司③速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）
相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，
Δv沿竖直方向。
【例1】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图所示，甲、乙两人练习配合传球投
篮，两人分别以2m/s、3m/s的速度同时匀速垂直通过篮球场地中线时，二者相距3m，甲
继续匀速奔跑2s后从1.7m的高度将篮球近似水平抛出，乙在1.5m的高度接住篮球并奔向
篮板。不考虑篮球的自转，忽略空气阻力，重力加速度g取 ，则篮球被甲抛出瞬间
的速度大小约为（ ）
A．10m/s B．15m/s C．18m/s D．20m/s
【答案】D
【详解】从场地中线开始，甲匀速跑动2 s后，甲、乙两人沿垂直场地中线方向的位移差为
。甲抛出篮球后，球做平抛运动，乙接到球时，球下落的竖直高度
由
可得球运动的时间
在球做平抛运动的0.2 s内，乙仍然做匀速运动，此过程篮球的水平位移
由
可解得篮球被甲抛出瞬间的速度
故选D。
【例2】（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）从O点以水平速度v抛出一
小物体，经过M点时速度大小为 v，N点为O到M之间轨迹上与直线OM距离最远的点，
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学科网（北京）股份有限公司不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小物体经N点时的速度方向与OM不平行
B．小物体从O到N经历的时间为
C．O、N之间的距离为
D．曲线ON与MN关于过N点且与OM垂直的直线对称
【答案】B
【详解】A．小物体运动过程中与OM的距离最远，即沿与OM垂直方向的分速度为零，
所以此时的速度方向与OM平行，选项A错误；
B．经过M点时的速度与水平方向的夹角为45°，设OM与水平方向的夹角为α，由几何关
系可知
所以经N点时的速度竖直分量
故从O到N的时间为
选项B正确；
C．ON之间的水平位移
竖直位移
O、N之间的距离为
选项C错误；
D．初速度为v，末速度为 v，所以曲线ON与MN不对称，选项D错误；
故选B。
【例3】．(2022·浙江金华十校4月模拟)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，
小刘模拟消防水柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已
知水在A点时的速度大小为v＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，
速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，
则( )
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学科网（北京）股份有限公司A.图中A点是水在空中运动过程的最高点
B.水在空中运动过程为变加速曲线运动
C.水在B点时的速度大小为8 m/s
D.A、B两点间的高度差为0.7 m
【答案】 D
【解析】 图中A点速度方向不是水平的，则图中A点不是水在空中运动过程的最高点，
选项A错误；水在空中运动过程中，加速度恒定为g，则水在空中运动，为匀加速曲线运
动，选项B错误；水在A、B两点时水平速度相同，则v sin 45°＝v sin 37°，解得B点时水
A B
的速度大小为v ＝5 m/s，选项C错误；A、B两点间的高度差为h＝＝0.7 m，选项D正确。
B
【例4】．（2023·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）如图，正在平直公路行驶的汽
车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为 、 的两件物品，因没有固
定而散落到路面，相距 。由此估算刹车时的车速最接近（ ）
A．40km/h B．50km/h C．70km/h D．90km/h
【答案】A
【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设
为v。
对于物品A，水平方向上，有
竖直方式上，有
对于物品B，水平方向上，有
竖直方式上，有
根据题图分析可知
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学科网（北京）股份有限公司解得汽车的行驶速度
所以刹车时的车速最接近40km/h
故选A。
题型二 平抛运动的临界、极值问题
【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、
最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、
“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位
移规律或速度规律进行解题．
【例1】（2023·山东滨州·统考二模）从高 处的点A先后水平抛出两个小球1和2，
球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面
上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在
D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A．设1、2球的初速度分别为 、 ，从抛出到落到D点运动的时间分别为 、
则对两球在水平方向有
依题意
所以
又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为
故它们飞过挡板前的运动时间满足
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学科网（北京）股份有限公司设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得
故选B。
【例2】(多选)(2022·海南省模拟)将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v
0
水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级
台阶上，则v 可能为( )
0
A．2 m/s B．3.5 m/s
C．4 m/s D．2 m/s
【答案】 AB
【解析】 小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方
向做自由落体运动可知h ＝2L＝gt，x ＝vt ＞2L；小球抛出后不会越过第三台阶，有h ＝
2 2 02 3
3L＝gt，x＝vt≤3L，解得 m/s＜v≤ m/s，故选项A、B正确。
3 03 0
【例3】(2022·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型
放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球由最高点
静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m
【答案】 C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】 小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有 mg(H－h)＝mv2，从右端出口
飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h
时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为 Δh＝1 m－0.8 m
＝0.2 m，故C正确.
【例4】（2023·广东惠州·统考一模）“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈
（可视为质点）从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也
为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空
中运动的描述正确的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量不相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D．若小面圈刚被抛出时初速度为 ，则
【答案】AD
【详解】A．所有的小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据
可知所有的小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；
B．所有面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，根据
可知所有面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；
CD．若小面圈刚被抛出时初速度为 ，根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距
离最小值为L，最大值为3L，有
则
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学科网（北京）股份有限公司面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍，但是竖直速度相等，根据速度的合成
可知落入锅中时，最大速度小于最小速度的3倍，C错误，D正确。
故选AD。
题型三 斜面上的平抛问题
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解位移.
x＝vt
0
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝.
(2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解速度
v＝v，v＝gt
x 0 y
tan θ＝
t＝.
【例1】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，在倾角为 的斜面上A点以初速度
水平抛出一个小球，小球恰好落在斜面上的B点，若小球在 点抛出的初速度方向与斜面
垂直，结果小球也恰好落在斜面上的B点，则此时小球抛出的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【详解】根据题意，由平抛运动规律有
解得
则有
设小球与斜面垂直方向以 抛出，则有
解得
故选C。
【例2】（2023春·湖南岳阳·高三岳阳一中校联考阶段练习）如图所示，物体在倾角为θ、
足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列
说法正确的是（ ）
A．物体在空中运动的时间与初速度成正比
B．落到斜面上时，速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大
C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比
D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比
【答案】A
【详解】A．依题意，初速度不同的小球均落在斜面上，则具有共同的位移偏向角 ，根据
平抛运动规律有
得
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学科网（北京）股份有限公司物体在空中运动的时间与初速度成正比，A正确；
B．落到斜面上时，速度与水平方向夹角 满足
则落到斜面上时速度方向与斜面夹角与初速度无关，B错误；
C．抛出点与落点间距离
，
抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比，C错误；
D．当小球在运动过程中速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离最大，把小球初速度
及重力加速度分解在平行斜面与垂直斜面方向上，可得小球离斜面的最大距离为
则物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度的平方成正比，D错误。
故选A。
【例3】（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员
从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为 且
足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初
速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角 D．运动员的质量越大，落点离A越远
【答案】A
【详解】A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，单位时间内速度变化相同，A正确；
B．落点到A的距离利用平抛规律
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学科网（北京）股份有限公司得
所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；
C．速度与水平方向夹角的正切值是 ，C错误；
D．落点与质量无关，D错误。
故选A。
【例4】.（2023·全国·高三专题练习）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前
已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视
为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为 ，不计空气阻
力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（
）
A．他们飞行时间之比为
B．他们飞行的水平位移之比为
C．他们速度变化之比为
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为
【答案】C
【详解】A．运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为 ，飞行时间为 ，斜坡的倾角为 ，
运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时则有
解得
可得他们飞行时间之比为
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学科网（北京）股份有限公司A错误；
B．运动员飞行的水平位移为
他们飞行的水平位移之比为
B错误；
C．两运动员在水平方向的速度不变，在竖直方向的速度变化为
因为他们飞行时间之比为
则有他们速度变化之比为
C正确；
D．运动员在空中离坡面的最大距离为
他们在空中离坡面的最大距离之比为
D错误。
故选C。
类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角
1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)：
合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝.
2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该
点圆弧的切线方向
分解速度tan θ＝＝
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学科网（北京）股份有限公司【例1】．（2023·四川·模拟预测）如图所示，从a点以初速度v=6m/s水平抛出一质量
0
m=0.5kg的小球（视为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆
弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧轨道半径R=l.2m，bc段圆弧
所对的圆心角α=60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。
则下列分析错误的是（ ）
A．a、b两点的高度差为5.4m
B．小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70N
C．小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55N
D．小球从d点离开后还能上升的高度为4.8m
【答案】D
【详解】A．小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，则有
解得
h＝5.4m
故A正确，不符合题意；
B．规定c点为零势能面根据能量守恒可得
在c点由牛顿第二定律
解得
故B正确，不符合题意；
C．由牛顿第二定律和机械能守恒定律
解得
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学科网（北京）股份有限公司故C正确，不符合题意；
D．由公式可得
解得
故D错误，符合题意。
故选D。
【例2】（2023春·全国·高三专题练习）如图所示，以速度 从O点水平抛出的小
球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做
匀加速直线运动，已知斜面倾角为 （ ， ），不计空气阻力，取
重力加速度为 。下列说法正确的是（ ）
A．O点到P点的竖直距离为0.45m
B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小
D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度不变
【答案】AC
【详解】A．由题意可知，小球落到斜面上时速度偏转角为 ，则有
解得
又因为
解得
故A项正确；
B．小球做平抛运动时的加速度为 ，小球在斜面上运动时
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学科网（北京）股份有限公司解得
故B项错误；
C．由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知为 ，则小球在斜面上运动时，
在竖直方向的加速度为
由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小
球的下落时间变小，故C项正确；
D．根据机械能守恒得
撤去斜面，h不变，则落地的速率v不变，但是速度方向不同，故D项错误。
故选AC。
类型 3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏
向角的余角
对着斜面平抛
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图)
处理方法：分解速度.
v＝v
x 0
v＝gt
y
tan θ＝＝
可求得t＝.
【例1】（2023·全国·二模）一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度 从
O点抛出小球，小球正好落入倾角为 的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的
连线正好与斜面垂直；当以水平速度 从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相
碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．小球落在P点的时间是
B．Q点在P点的下方
C．
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
【答案】AD
【详解】A．以水平速度v 从O点抛出小球，正好落入倾角为 的斜面上的洞中，此时位
1
移垂直于斜面，由几何关系可知
所以
A正确；
BC．当以水平速度v 从O点抛出小球，小球正好与斜面在Q点垂直相碰，此时速度与斜
2
面垂直，根据几何关系可知
即
故OQ连线与竖直方向的夹角满足
而OP连线与竖直方向夹角为θ，所以 ，故Q点在P点的上方。由 可知，
，又因为水平位移 ，由 可知， ，故B、C错误；
D．落在P点的时间与落在Q点的时间之比是
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学科网（北京）股份有限公司D正确。
故选AD。
【例2】（2023秋·河北邢台·高三统考期末）如图所示，小球以初速度 正对倾角为 的斜
面水平抛出，小球刚好垂直碰撞斜面，已知小球做平抛运动的时间为t，则重力加速度大小
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球刚好垂直碰撞斜面时，碰撞速度与水平速度、竖直速度的情况如图所示
则有
结合
解得
故C正确。
故选C。
【例3】．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）如图，飞机距离水平地面的高度为H，
在水平方向以速度v 匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一箱质量为m的救援物资，救
0
援物资打在山坡上的A点，A点的高度为h，不考虑空气阻力的影响，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．这箱物资在空中飞行的时间为
B．这箱物资落到A点时的动能为
C．A点距山坡底端的水平距离为
D．山坡的倾角θ满足
【答案】C
【详解】A．由
可得这箱物资在空中飞行的时间为
故A错误；
B．不考虑空气阻力的影响，只有重力做功，所以有
可得
故B错误；
C．A点距山坡底端的水平距离即为物资的水平位移，则有
故C正确；
D．山坡的倾角θ满足
故D错误。
故选C。
【例4】．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校考阶段练习）如图在同一竖直平面内将两个完
全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），
初速度分别为 和 ，并且 ，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面
上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角不相同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．两个小球的运动时间一定不同
【答案】D
【详解】A．两小球垂直落入斜面，速度的偏转角相同，由平抛运动的规律可知，速度偏
转角的正切值是位移偏转角的正切值的两倍，所以AO连线与水平方向的夹角一定和BO连
线与水平方向的夹角相同，故A错误；
BD．当小球落到斜面上时，将小球的速度进行分解，由几何关系可得
由平抛运动的规律
解得
由题目可知
所以
小球的末动能
所以
故B错误，D正确；
C．设AO连线与水平方向的夹角为 ，由平抛运动的规律
联立求解可得
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学科网（北京）股份有限公司故C错误。
故选D。
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的
余角
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝＝＝
【例1】.（2023秋·陕西安康·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为37°的斜面体 固
定放置在水平面上，斜面的高度为 ， 点是A点正上方与 点等高的点，让一小球（视
为质点）从 点水平向左抛出，落在斜面的 点，已知 、 两点的连线与斜面垂直，重
力加速度为g， 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．小球在 点的速度为
B．小球从 点到 点的运动时间为
C．小球在 点的速度大小为
D．小球在 点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【答案】A
【详解】AB．过 点作 的垂线与 的交点为 ，设平抛运动的水平位移为 ，即 、
两点之间的距离为 ，如图所示
由几何关系可得
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学科网（北京）股份有限公司由平抛运动的规律可得
，
解得
、 、
A正确、B错误；
CD．小球在 点沿竖直方向的分速度为
小球在 点的速度大小为
与水平方向夹角的正切值为
解得
，
CD错误。
故选A。
【例2】（2023·广东·高三统考阶段练习）如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速
度 抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰
好取最小值，则小球做平抛运动的时间 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有
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学科网（北京）股份有限公司可得
故选C。
【例3】.如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为 v 时，
0
小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则( )
A.小球从抛出到落到斜面的时间为
B.小球从抛出到落到斜面的时间为
C.小球的抛出点到斜面的距离为
D.小球的抛出点到斜面的距离为
【答案】 BC
【解析】 球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。
设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝，x＝vt，y＝gt2，解得t＝，故选项A错误，B
0
正确；s＝＝＝，选项C正确，D错误。
题型四 有约束条件的平抛运动模型
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。
0
【例1】(多选)(2022·石家庄市质检)如图所示，水平放置的网球发球机正对着竖直墙面发射
网球，两次发射的网球分别在墙上留下A、B两点印迹。测得OA＝AB，OP为水平线，若
忽略网球在空中受到的阻力，下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．两球发射的初速度v ∶v ＝1∶2
A B
B．两球发射的初速度v ∶v ＝∶1
A B
C．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间t ∶t ＝1∶
A B
D．两球从P点发射到碰到墙面所用的时间t ∶t ＝1∶2
A B
【答案】 BC
【解析】 设OA＝AB＝h，忽略空气阻力，则网球做平抛运动，竖直方向上有 h＝gt，2h
＝gt，整理可得t ∶t ＝1∶，选项C正确，D错误；网球在水平方向上做匀速运动，而且水平
A B
位移大小相等，则有x＝v t ＝v t ，整理可得v ∶v ＝∶1，选项A错误，B正确。
AA BB A B
【例2】.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置
的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为 、 ，不计空气
阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则 为（ ）
A．2∶1 B． C． D．
【答案】B
【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律
，
联立得
所以
又因为
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学科网（北京）股份有限公司所以
故选B。
【例3】(2022·云南二模)“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习
投镖，若他每次都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了
靶中心的正上方某处，该同学下次打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（ ）
A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离
B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度
C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度
D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度
【答案】BD
【解析】A．保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离，
则运动到靶的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，A错误；
B．保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，则运动到靶的时间不变，竖直位移
不变，由于降低飞镖出手点距地高度，落点可能在靶中心，故B正确
C．保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度，则运动到靶
的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，故C错误；
D．保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度，则运动到靶
的时间变长，竖直位移变长，落点可能在靶中心，故D正确；
故选BD
类型2 半圆内的平抛问题
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，
如图所示，位移大小等于半径R
利用位移关系
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R
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学科网（北京）股份有限公司的圆弧上，如图所示，水平位移x与R
的差的平方与竖直位移的平方之和等于
半径的平方
【例1】（2023·广东·一模）如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原
点，沿平台右侧竖直向下为y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在
该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。
质量为m的小球从坐标原点O以初速度v（大小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大
0
小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确的
是（ ）
A．当初速度 的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上
B．初速度 越大，小球在空中运动的时间越长
C．初速度 时，小球落到圆弧轨道上的动量最小
D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为
【答案】D
【详解】A．若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛
运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知圆心和水
平位移的中点不是同一位置，故A错误；
B．小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有
解得
可知h越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度v 越小，下落的高度越高，飞
0
行时间越长，故B错误；
CD．设落地点与O点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动
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学科网（北京）股份有限公司Rcosθ=vt
0
由动能定理得
解得
由数学知识得：当
即
E 取最小值
k
根据
可知动能最小时动量最小，此时
联立以上可得
故C错误，D正确。
故选D。
【例2】．（2023·山东滨州·高三校考阶段练习）如图所示， 是半圆弧的一条水平直径，
是圆弧的圆心， 是圆弧上一点， ，在 、 两点分别以一定的初速度 、
水平抛出两个小球，结果都落在 C点，则两个球抛出的初速度 、 的大小之比为（
）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】B
【详解】两球下落的高度相同，根据 ；知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，
根据几何关系可得
则A点抛出的球平抛运动的水平位移
从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为
根据 知
故选B。
【例3】（2023·云南·校联考一模）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为 圆弧bc，
半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v 沿Oc方向水平抛出小球，小球落在
0
坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．落在球面上的最小速度为
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v 大小无关
0
D．无论调整v 大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
0
【答案】BD
【详解】AB．小球做平抛运动
且
而落点的速度
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学科网（北京）股份有限公司整理得
显然当
时速度取得最小值，代入可得最小值为
B正确，A错误；
C． 越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误；
D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰
好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。
故选BD。
【例4】．（2023·安徽六安·高三六安一中阶段练习）如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水
平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v 平抛一小球，小球将
1
击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v 向左平抛另一个小
2
球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（ ）
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为
【答案】BD
【详解】A．根据
可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误；
B．对A点抛出的小球有
，
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学科网（北京）股份有限公司对C点抛出的小球有
，
解得
B正确；
C．A点抛出的小球落到D点时
C点抛出的小球落到D点时
可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误；
D．A点抛出的小球落到D点时
C点抛出的小球落到D点时
结合上述，解得
D正确。
故选BD。
题型五 平抛的多解问题
【例2】（2023春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，两平行竖直光
滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球
（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰
撞），重力加速度为g。
（1）求小球的初速度大小；
（2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平
速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件
（碰撞时间可忽略不计）。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球做平抛运动
，
解得
（2）若小球与挡板碰撞n次后落到地面
解得
【例2】（2023·河南开封·统考三模）如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高
，内径 ，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以 的初
速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度 ，忽略
空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有
解得
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学科网（北京）股份有限公司而根据题意，水平方向有
（ ）
解得
因此 的可能值为 、 、 、 、 、
故选B。
【例3】（2023·北京·统考模拟预测）如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到
两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度 水平抛出一个小球，小球与墙
上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为 ，C
点距地面高度为 ，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点
D．仅将初速度 增为 （n为正整数），小球可能落在N或Q点
【答案】B
【详解】AB．由于竖直线OA到两边墙面距离均为 ，小球与墙面发生弹性碰撞，无能量
损失，小球在运动过程中，竖直方向为自由落体，水平方向匀速运动，运动到B、C及A
水平方向的路程之比为1：3：4，所用时间之比为1：3：4，O到B、C、A的竖直距离分
别为 、 、 ，由匀变速运动规律得
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学科网（北京）股份有限公司故
故A错误，B正确；
C．由于OA间高度不变，小球落到地面时间不变，仅将间距 加倍而仍在两墙中央O点平
抛，小球将与前面碰撞一次后落在A点，故C错误；
D．仅将初速度 增为 （ 为正整数），小球从抛出到落地在水平方向通过路程为
根据对称性，小球一定落在A点，故D错误。
故选B。
题型六 平抛与圆周的临界问题
【例1】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另
一端系有质量为 的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释
放，运动到 点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知 点离地高度为 ，绳长为 ，
重力加速度大小为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远
【答案】CD
【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，
故A错误；
B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误；
C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为 ，根据牛顿第二定律可得
质量为 的小球由静止开始，运动到 点正下方过程中机械能守恒，则有
联立解得
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学科网（北京）股份有限公司故C正确；
D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有
在竖直方向上做自由落体运动，则有
联立解得
根据基本不等式可知，当
即 时，落点距起点的水平距离最远，故D正确。
故选CD。
【例2】（2023·云南·校联考模拟预测）一质量为 可视为质点的小球，系于长为 的轻绳
一端，绳的另一端固定在 点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从 点的正上
方距离 点 的 点以水平速度 抛出，如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达 点正下方时，绳对质点的拉力为
【答案】D
【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有
解得
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学科网（北京）股份有限公司故AB错误；
C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度
故C错误；
D．小球在绳子绷直后运动到 的正下方，机械能守恒，有
又在最低点，根据受力关系
解得
故D正确。
故选D。
【例3】（2023·河北·高三学业考试）某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端
固定在离水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由
静止开始下落，到达最低点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（ ）
时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同
B．当绳长 时，平抛运动的水平位移有最大值，为
C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同
D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同
【答案】D
【详解】A．设人在O点正下方松手时的速度为v，由机械能守恒定律有
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学科网（北京）股份有限公司可得
松手后人做平抛运动，竖直方向有
水平方向有
可得
则当绳长取不同值时，平抛运动的水平位移x可能相同，故A错误；
B．当 ，即 时，平抛运动的水平位移有最大值，为H，故B错误；
C．设人落水时的速度为 ，对全过程由机械能守恒定律有
可得
与绳长无关，故C错误；
D．人做平抛运动，竖直方向有
设人落水时的速度方向与水平方向的夹角为 ，有
L与 一一对应，绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同，故D正确。
故选D。
题型七 斜抛运动的理解和分析
1．定义：将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
0
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，
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学科网（北京）股份有限公司建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v ＝vcos θ，v ＝vsin θ.
0x 0 0y 0
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v t＝(vcos θ)t①
0x 0
v＝v ＝vcos θ②
x 0x 0
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v t－gt2＝(vsin θ)t－gt2③
0y 0
v＝v －gt＝vsin θ－gt④
y 0y 0
5.方法与技巧
(1)斜抛运动中的极值
在最高点，v＝0，由④式得到t＝⑤
y
将⑤式代入③式得物体的射高y ＝⑥
m
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t ＝⑦
总
将⑦式代入①式得物体的射程x ＝
m
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
0
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上
抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
【例1】（2023·浙江金华·统考三模）如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投
篮，篮球在A点出手时与水平方向成60°角，速度大小为v，在C点入框时速度与水平方
0
向成 角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取重力加速度为g，则下列分析正确的
是（ ）
A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变
B．AC两点的高度差大小为
C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍
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学科网（北京）股份有限公司D．篮球在C点时候的速度大小为 v
0
【答案】B
【详解】A．篮球在空中飞行过程中，仅受重力作用，做匀变速曲线运动，故单位时间内
的速度变化量大小不变，A错误；
B．A点竖直方向上和水平方向上的分速度分别为
，
C点竖直方向上分速度为
竖直方向上可视为竖直上爬运动，根据运动学关系可得AC两点的高度差大小为
B正确；
C．未确定重力势能的零势能面，故篮球在最高点时重力势能的大小与动能大小的无法比
较，C错误；
D．篮球在C点时候的速度大小为
D错误。
故选B。
【例2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过
程如图所示，篮球抛出点 距离篮筐初始位置的水平距离为 、竖直高度为
。同学甲在 点原地静止不动，将篮球以速度 与水平成 角的方向斜向上抛
出，篮球投入篮筐；同学乙以 的速度运球至 点，将篮球相对同学乙自身竖直向上
抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度 取 ，
， 。下列说法正确的是（ ）
A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为
B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为
C．同学甲抛出的篮球最大高度较高
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学科网（北京）股份有限公司D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等
【答案】C
【详解】A．同学甲抛出的篮球在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方
向做竖直上抛运动，则
解得
选项A错误；
D．同学乙将篮球投入篮筐所用时间为
可知甲、乙两同学投出的篮球在空中运动的时间不相等，选项D错误；
B．设同学乙抛出球时竖直方向的分速度为 ，则
解得
选项B错误；
C．同学甲投出的篮球在竖直方向的分速度为
根据
可知同学甲投出的篮球最大高度较高，选项C正确。
故选C。
【例3】．（2023·北京昌平·统考二模）如图所示，把质量为m的石块从距地面高h处以初
速度 斜向上抛出， 与水平方向夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为g。若只改变
抛射角 ，下列物理量一定不变的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．石块在空中的飞行时间 B．石块落地的水平距离
C．石块落地时的动能 D．石块落地时的动量
【答案】C
【详解】A．石块方向分速度
竖直方向根据
可知在空中的飞行时间因 的不同而不同，A错误；
B．水平方向
结合A选项分析可知石块落地的水平距离可能因 的不同而不同，B错误；
C．根据动能定理可得石块落地时的动能
可知石块落地时的动能一定相同，C正确；
D．根据C选项分析可知，落地时速度的大小相同，但是方向不相同，所以石块落地时的
动量不同，D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起
投篮。篮球出手点离水平地面的高度 ，篮筐离地面的高度 。篮球离开手
的瞬间，水平分速度大小 ，篮球到达篮筐时竖直方向的分速度刚好为零。将篮球
看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，取重力加速度大小 。篮球出手
点到篮筐的水平距离为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【详解】篮球做斜抛运动，逆过程处理，上升阶段看作平抛运动，篮球到篮筐时竖直方向
的速度为零，竖直方向则有
代入数据可得
篮球出手点到篮筐的水平距离
故A正确，BCD错误。
故选A。
【例5】．（2023春·山西·高三统考阶段练习）如图所示，某同学在距离篮筐中心水平距
离为x的地方跳起投篮。出手点离地面的高度为h，篮筐离地面的高度为H。该同学出手的
瞬时速度 ，要使篮球到达篮筐中心时，竖直速度刚好为零。将篮球看成质
点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
B．出手时瞬时速度与水平方向的夹角为
C．水平距离
D．水平距离
【答案】C
【详解】根据题意可知，篮球到达篮筐时，竖直速度刚好为零；根据逆向思维将篮球看成
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学科网（北京）股份有限公司从篮筐处开始做平抛运动；设出手时瞬时速度与水平方向的夹角为 ，由平抛运动规律可
得
联立解得
，
故选C。
题型八 类平抛运动
1.类平抛运动的特点
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直
线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常
称为类平抛运动。
(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(3)运动特点：在初速度v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线
0
运动，加速度a＝。
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v 水平抛出(v
0 0
的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向
下。
【例1】 （2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某同学要探究类平抛运动的规
律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另
一端用支撑物垫起，形成一个倾角为 的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手
后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个
平行木板水平向右的初速度 ，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向
建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为 ，不计空气阻力，
重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行
B．小木块获得初速度 开始运动的瞬间，其加速度大小为
C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动
D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小
【答案】D
【详解】ABD．小木块获得初速度 开始运动的瞬间，受重力、支持力、滑动摩擦力，滑
动摩擦力的方向与 方向反向，把重力分解为垂直斜面向下和沿斜面向下的两个力，则根
据牛顿第二定律有
解得小木块获得初速度 开始运动的瞬间的加速度大小为
此后木块在y方向做加速运动，x方向做减速运动，当x方向速度减为零时，x方向不再运
动，最终木块在y方向做匀加速直线运动，其加速度大小为
所以木块不是做类平抛运动，故AB错误，D正确；
C．滑动摩擦力的方向从最初与 方向反向，逐渐变为沿y轴负方向，则小木块沿y轴方向
的分运动为先做加速度减小的加速直线运动，后做匀加速直线运动，故C错误。
故选D。
【例2】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，将小球从倾角为 的光
滑斜面上A点以速度 水平抛出（即 ），最后从B处离开斜面，已知
间的高度 ，g取 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．小球的加速度为
B．小球作平抛运动，运动轨迹为抛物线
C．小球到达B点时的速度大小为
D．小球从A点运动到B点所用的时间为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律有
解得加速度为
故A错误；
B．小球在斜面沿CE方向加速度恒定，做匀加速度运动，沿CD方向做匀速运动，故小球
作类平抛运动，运动轨迹为抛物线，故B错误；
CD．沿斜面向下为匀加速直线运动，根据位移—时间公式可得
代入数据解得
小球到达B点时的速度大小为
故C正确，D错误。
故选C。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为 ，高为h，现
有一小球在A处沿平行于底边的初速度 滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速
度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为
C．小球从A处到达B处所用的时间为
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学科网（北京）股份有限公司D．小球从A处到达B处的位移为
【答案】ABC
【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小
球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A项正确；
B．根据牛顿第二定律知，有
解得
故B项正确；
C．由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为
根据公式
解得
故C项正确；
D．小球在沿初速度方向的位移为
则小球从A处到达B处的位移为
故D项错误。
故选ABC。
【例4】（2022·高三课时练习）风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。
如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速
度v 水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v 的方
0 0
向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v 方向的夹角
0
为θ。试求：
(1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v 方向夹角的正切值”；
0
(2)OP之间的距离。
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， ；(2)
【详解】（1）设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离L。以O点为坐标原点、
初速度v 方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系，如图所示，
0
有
沿v 方向
0
沿风力F方向
由题意知
小球运动到P点时的速度大小
解得
设P点的速度方向和x轴（初速度v）的夹角为α，有
0
P点速度方向与初速度v 方向夹角的正切值
0
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学科网（北京）股份有限公司（2）OP之间的距离
解得
题型九 抛体运动中的功能与动量
【例1】(2023.全国333大联考)如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB
与水平方向的夹角 =30°。一小球自A点由静止释放，从圆周上的C点以速率v 穿出圆形
0
区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零的不同水平速度平行该竖直面射入
圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)该圆形区域的半径；
(2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小；
(3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv，该小球进入圆形区域时的速度大
0
小。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】(1)小球从圆周上的C点以速率 穿出圆形区域，故AC沿竖直方向
由几何关系可知
由运动学公式可知
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学科网（北京）股份有限公司解得
(2)只有重力做功，故由圆形区域最低点（图中D点）穿出的小球重力做功最多，动能增量
最大，由运动学公式可得
解得
(3)只受重力作用，且平抛运动的运动时间只与高度有关，故穿过圆形区域前后的动量变化
量大小为 的小球，必然从与C点等高的B点穿出，由运动学公式可得
解得
【例2】.(2022·山东潍坊市高三下3月一模)质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，
落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块( )
A．抛出点的高度为
B．落地点到抛出点的水平距离为
C．落地时重力的功率为g
D．整个下落过程中动量变化量的大小为2
【答案】 D
【解析】 由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝，故A错误；由E＝
mv2，水平方向x＝vt，竖直方向h＝gt2，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝，故B错
0 0
误；落地时速度的竖直分量v＝＝2，故落地时重力的功率为P＝mgv＝2g，故C错误；整
y y
个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔv＝m·2＝2，故D正确．
y
【例3】（2022届云南省昆明市高三（下）“三诊一模”摸底诊断测试理综物理试题）跳
台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，图甲是2022年北京冬奥会跳台滑雪的主跳台“雪如意”，
图乙是其部分赛道及运动情况简化示意图。现有一运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳
台a处沿水平方向飞出，在斜坡上b处着陆，测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向的
夹角为30°，运动员（包括装备）质量为60kg，且可视为质点，不计空气阻力，取重力加
速度g=10m/s2，则运动员（包括装备）（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 从a处运动到b处的时间为2s
B. 落到b处前瞬间动能为2.1×103J
C. 从a处运动到b处过程中动量变化率不变
D. 在空中距离斜坡最大距离为
【答案】ACD
【解析】A．由a到b过程，运动员做平抛运动在竖直方向
解得
A正确；
B．在水平方向
解得
运动员在b点处的竖直速度为
运动员在b点处的速度大小为
落到b处前瞬间动能
B错误；
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学科网（北京）股份有限公司C．从a处运动到b处过程中
解得
C正确；
D．沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系，沿垂直斜面初速度的分量为 ，重
力加速度g垂直斜面的分量为 ．设所求最大距离为H，在垂直斜面方向，根据运
动学公式得
得
D正确。
故选ACD。
【例4】（2023·山东·高三专题练习）我国正在攻关的 超高速风洞，是研制新一代飞
行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速
的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，
其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球
在M点动能为 ，在O点动能为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球所受重力和风力大小之比为
B．小球落到N点时的动能为
C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为
D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为
【答案】BD
【详解】A．根据题意，设风力大小为 ，小球的质量为 ，小球的初速度为 ， 的
水平距离为 ，竖直距离为 ，竖直方向上有
则有
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学科网（北京）股份有限公司从 到 过程中，由动能定理有
可得
又有
水平方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
由于运动时间相等，则
则有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，小球在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，由对称性可知，小
球从 和从 的运动时间相等，设 的水平距离为 ，则有
小球由 过程中，由动能定理有
解得
故B正确；
C．由功能关系可知，小球机械能的变化量等于风力做功，则小球在上升和下降过程中机
械能变化量之比为
故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司D．根据题意可知，小球在重力和风力的合力场中做类斜抛运动，当小球速度方向与合力
方向垂直时动能最小，根据前面分析可知合力与竖直方向的夹角的正切值为
根据速度的合成与分解可得小球从 点运动到 点过程中的最小速度为
则最小动能为
故D正确。
故选BD。
【例5】（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，网球运动员发球时，将质量为m
的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速度 水平抛出，网球经过M点时，速度方向
与竖直方向夹角为 ；网球经过N点时，速度方向与竖直方向夹角为 。不计空气阻力，
网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据平抛运动规律可知，网球在M点时竖直分速度为
在N点的竖直分速度为
则网球从M点到N点的时间为
在从M点运动到N点的过程，由动量定理求得网球动量变化大小为
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学科网（北京）股份有限公司故选D。
【例6】（2023·海南海口·校考模拟预测）如图所示，空间P点有一个点光源，仅靠P点右
侧A点有一个质量为m的小球水平抛出，不计空气阻力，小球打在竖直墙上的位置离A点
的高度为h，A到竖直墙面间的距离也为h，重力加速度为g。则当小球在竖直墙上的影子
下移 时，小球重力的瞬时功率大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小球从A点平抛击中Q点，有
可得
，
当小球在竖直墙上的影子下移 时，即平抛至A 点，影子在A 点，如图所示
1 2
由A至A 点由相似三角形有
1
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学科网（北京）股份有限公司而
解得
则重力做功的瞬时功率为
故选B。
【例7】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）C919国产大飞机将于近日进行商业首飞，
若C919某次起飞离地速度为v，离地一段时间内水平方向速度不变，竖直方向升力（竖直
0
方向升力为空气对飞机作用力在竖直方向合力）保持不变，飞机水平位移为x时离地高度
为y，已知起飞阶段C919质量为m且保持不变，重力加速度为 ，下列说法正确的是（
）
A．起飞阶段飞机竖直方向升力为
B．起飞阶段飞机竖直方向升力为
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为
D．自起飞至离地高度为y的过程中，飞机机械能的增加量为
【答案】BC
【详解】AB．由题意，可知水平方向满足
竖直方向满足
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故A错误，B正确；
C．自起飞至离地高度为y的过程中，竖直升力对飞机做功为
故C正确；
D．自起飞至离地高度为y的过程中，根据功能关系可知飞机机械能的增加量即为竖直升
力所做的功，则
故D错误。
故选BC。
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