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热点题型·计算题攻略
专题 16 电场综合题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 带电粒子（带电体）在匀强电场中的直线运动........................................................................3
题组02 带电粒子（带电体）在匀强电场中的偏转............................................................................12
题组03 带电粒子（带电体）在匀强电场中的圆周运动....................................................................22
03.高考练场 ..............................................................................32
电场力作用下带电粒子（带电体）的平衡与运动问题是高考的热点题型，作为计算题主要从直线运动、
类抛体运动、等效重力场以及交变电场中粒子的周期性运动等角度命题。解答电场问题主要还是应用动力
学基本原理处理直线运动时牛顿运动定律、功能关系、动量关系均可以选择，解决曲线类问题运动的合成
与分解、功能关系是首选。解决电场中多粒子碰撞问题往往用动量守恒或能量守恒来处理。
【提分秘籍】
1．带电粒子(带电体)在电场中运动时重力的处理
基本粒子一般不考虑重力，带电体(如液滴、油滴、尘埃等)一般不能忽略重力，除有说明或明确的暗示外。
2．带电粒子(带电体)在电场中的常见运动及分析方法
常见运动 受力特点 分析方法
静止或匀速直线运动 合外力F ＝0 共点力平衡
合
1.用动力学观点分析：a＝，E＝，v2－v2
0
合外力F ≠0，且与
合 ＝2ad，适用于匀强电场
变速直线运动 初速度方向在同一条
2．用功能观点分析：W＝qU＝mv2－
直线上
mv2，匀强和非匀强电场都适用
0进入电场时v⊥E，
0
粒子做类平抛运动 运动的分解
偏转角：tan θ＝＝＝＝
侧移距离：y＝＝，y＝y＋
0 0
带电粒子在匀强电场中 Ltan θ＝(＋L)tan θ
的偏转 运动的分解
粒子斜射入电场，粒
子做类斜抛运动 垂直电场方向做匀速直线运动：x＝vtsin
0
θ
沿电场方向做匀变速直线运动：y＝vtcos
0
θ－t2
带电粒子在非匀强电场
静电力在变化 动能定理，能量守恒定律
中运动
3．带电体在电场和重力场的叠加场中运动的分析方法
(1)对带电体的受力情况和运动情况进行分析，综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动的规律解决问题。
(2)根据功能关系或能量守恒的观点，分析带电体的运动时，往往涉及重力势能、电势能以及动能的相互转
化，总的能量保持不变。
4.带电体在电场和重力场的叠加场中的圆周运动
(1)等效重力法
将重力与静电力进行合成，如图所示，则F 为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效
合
重力加速度”，F 的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向。
合
(2)等效最高点和最低点：在“等效重力场”中做圆周运动的小球，过圆心作合力的平行线，交于圆周上的
两点即为等效最高点和最低点。题组 01 带电粒子（带电体）在匀强电场中的直线运动
【典例剖析】
【例1-1】（2025高三上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极
板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、
位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极
板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离
（ ），且未与A相碰。已知球形油滴受到的空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为油
滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
(1)比例系数k；
(2)油滴A、B的带电量和电性；
(3)B上升距离 电势能的变化量。
【答案】(1)
(2)油滴A不带电，油滴B带负电，
(3)
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电；油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场
力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电。油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
（3）根据电场力做功与电势能变化关系有
又
联立解得
【例1-2】如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡
板相连（两根弹簧的各端都栓接）。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电
的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电
场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。t = 0时撤去电场，C向下加速运动，
下降0.2 m后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为1 J。已知：m = 3 kg，m = 4
A B
kg，m = 2 kg，小球C的带电量为q = 1 × 10−5 C，重力加速度大小取g = 10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动
C
摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小。
(2)求A与B间的滑动摩擦因数，以及C做匀速运动时的速度大小。
(3)若t = 0时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一
段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，
C未与地面相碰）【答案】(1) (2) ， (3)
【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉
力为0，对C
解得
（2）C开始做匀速直线运动后，对C和B分别根据共点力平衡条件
其中
解得
C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，由能量守恒定律有
解得
（3）没有电场时，对A根据共点力平衡有
当电场方向改为竖直向下，对A根据牛顿第二定律可得
对B、C根据牛顿第二定律可得
撤去电场后，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动过程中的最大速度为
联立解得【例1-3】如图所示，一光滑曲面与足够长的水平直轨道平滑连接，直轨道MN段粗糙，其余部分光滑，
MN段存在方向水平向右的匀强电场，N点右侧的P点处静止放置一绝缘物块b，一带正电的物块a从曲面
上距水平面高为h处由静止释放，滑出电场后与物块b发生弹性碰撞。已知h=1.0m，直轨道长L=1.0m，物
块a与MN之间的动摩擦因数μ=0.4，物块a的质量m=1kg，物块b的质量M=2kg，场强E=2×106N/C，物块
a的电荷量q=6×10-6C，重力加速度g取10m/s2。物块a、b均可视为质点，运动过程中物块a的电荷量始终
保持不变。
(1)求物块a与物块b第一次碰撞前瞬间物块a的速度大小；
(2)求物块a与物块b第一次碰撞后，物块b的速度大小；
(3)若每次物块a与P点处的物块碰撞之后，都立即在P点放入与物块b完全相同的静止物块。求物块a静
止释放后，经过足够多次的碰撞，物块a在电场中运动的总路程。
【答案】(1)6m/s (2)4m/s (3) m
【详解】（1）物块a从静止释放到与物块b碰撞前瞬间，根据动能定理有
解得
（2）物块a与物块b发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
（3）物块a与物块b碰撞后，物块a第1次经过N点运动到最左端过程中，根据能量守恒定律有
解得
物块a从最左端运动到第2次经过N点的过程，根据动能定理有
解得物块a与物块b发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
即物块a与物块b（与物块b完全相同的物块）每次发生弹性碰撞后瞬间，物块a的速率均为碰撞前瞬间速
率的 ，物块b（与物块b完全相同的物块）的速率均为碰撞前瞬间物块a速率的 ，，结合（2）可知，
每次物块a与另一物块碰撞后，物块a第1次经过N点和第2次经过N点的速率之比均为 ，设物块b
（与物块b完全相同的物块）每次与物块碰撞后瞬间的速率依次为 、 、 … ，则有
…
归纳可得
经过足够多的碰撞，物块b（与物块b完全相同的物块）获得的总动能为
当 时解得
在物块a的整个运动过程中根据能量守恒定律有
解得【变式演练】
【变式1-1】．（2025高三上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在水平向右且场强大小为E的匀强电场中，
两个半径相同、质量均为m的小球A、B静止放置在光滑的水平面上，且A，B所在直线与电场线平行。A
带电量为 ，B不带电，A、B之间的距离为L。 时刻开始，A在电场力的作用下开始沿直线运
动，并与B发生弹性碰撞。碰撞过程中A、B之间没有电量转移，仅碰撞时才考虑A、B之间的相互作用。
(1)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B之间的最远距离；
(2)从 时刻开始，到A、B发生第n次碰撞前，整个过程中电场力做了多少功?
【答案】(1)L (2)
【详解】（1）A、B第一次碰撞前
解得A、B第一次碰撞前
A、B第一次碰撞时
解得A、B第一次碰撞后A、B的速度分别为
当再次共速时，间距最远
最远间距
（2）两球第一次碰撞到第二次碰撞解得两球第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为
A、B第二次发生碰撞前
A、B第二次碰撞时
解得A、B第二次碰撞后A、B的速度分别为
同理可得，两小球第 次碰撞前速度与第 次碰撞后速度的关系为
所以第 次碰撞前
，
整个过程中电场力做功
解得
【变式1-2】．如图所示，在水平地面上固定一个倾角为 的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡
板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿
斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，
已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设有匀强电场时滑块上升的加速度为a，根据牛顿第二定律有
1
根据运动学规律有
撤去电场后，此时以沿斜面向下为正方向，根据牛顿第二定律有
滑块先沿斜面向上做匀减速再反向做匀加速，经过相同时间回到原点可得
解得，电场强度的大小为
（2）减速到0时距挡板的距离最大为 ，由动能定理可得
联立解得
【变式1-3】．如图所示，平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板正中有一小孔，初
始时不带电。距小孔正上方高h处不断有质量为m，电荷量为+q的小液滴由静止滴落，当带电液滴接触到
下极板后会把电量全部传给极板，直到液滴不能到达下极板时停止释放液滴（空气阻力忽略不计，极板间
电场可视为匀强电场，重力加速度为g）。求：
（1）小液滴到达小孔处的速度；
（2）电容器所带电荷量的最大值；
（3）最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）因电容器上方无电场，故液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律得
解得
（2）当带电液滴刚好不能到达电容器下极板时电容器的电量达到最大，对刚好不能到达电容器下极板的
带电液滴运用动能定理得
根据
解得
（3）液滴在电容器上方做自由落体运动，由运动学规律
解得
液滴在电容器内部做匀变速运动，由运动学规律
解得
故最后滴下的液滴从开始下落到离开上极板的时间为题组 02 带电粒子（带电体）在匀强电场中的偏转
【典例剖析】
【例2-1】（2025高三上·江苏南京·期中）如图所示，一电荷量为q的带电粒子以一定的初速度由P点射入
匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°角。已知匀强电
场的宽度为d，方向竖直向上，P、Q两点间的电势差为U，不计粒子重力，P点的电势为零。求：
(1)带电粒子在Q点的电势能；
(2)此匀强电场的电场强度大小。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）根据题意有
其中 ，所以
则带电粒子在Q点的电势能为
（2）根据类平抛运动知识可知Q点速度的反向延长线过水平位移的中点，则
可得P、Q两点间的竖直距离为
此匀强电场的电场强度大小为
【例2-2】（2025高三上·江苏南通·期中）静电除尘装置的简化原理图，如图所示。长为L的两块平行带电
极板间为除尘空间。质量为m、电荷量为-q的带电尘埃分布均匀，均以沿板方向的速率v射入除尘空间，
当其碰到下极板时尘埃被收集。现给两极板间加U 的电压，进入的尘埃恰好都能被收集。不计重力及尘埃
0
间的相互作用。(1)求尘埃在极板内运动的最长时间t和最大动能E；
k
(2)求从平行板中心射入的尘埃被收集时，距离入口的水平距离x；
(3)当板间电压调为0.8U 时，求能够被收集的尘埃量与总尘埃量的比值k。
0
【答案】(1) ， (2) (3)0.8
【详解】（1）粒子刚好没有能够从极板间飞出，则
解得
（2）设尘埃在极板间加速度为a，板间的距离为d，则
尘埃从极板中心射入，落在极板前运动时间为t，则
1
解得
（3）板间电压调节后，尘埃在板间的加速度为aʹ，最大偏转量yʹ，则
解得
【例2-3】如图所示， 平面的第一象限内， 的区域内有平行x轴沿x轴负向的匀强电场区域Ⅰ，的区域内存在平行y轴沿y轴负向的匀强电场区域Ⅱ，区域Ⅰ和区域Ⅱ内的电场强度大小相等。第
三象限内有平行 平面方向未知的匀强电场。质量为m、带电量为 的粒子从区域Ⅰ内的适当位置由静
止释放后，能通过坐标原点O。粒子重力不计。
(1)求粒子释放点的坐标应满足的条件；
(2)某粒子从O点射入第三象限的电场后，依次通过 点和 点，且粒子从O到A
的时间和从A到B的时间均为 。
①求第三象限内匀强电场的电场强度 的大小；
②若规定O点电势为零，求从O到B的过程中，粒子电势能的最大值。
【答案】(1) (2)① ；②
【详解】（1）设释放点坐标为 ，可得在区域Ⅰ中，根据动能定理可得
在区域Ⅱ中，粒子做类平拋运动，水平方向
竖直方向
根据牛顿第二定律
解得
（2）如图所示①由已知条件可知，OA的长度为 ，AB的长度为 。设 的方向与OA的夹角为 ，由运
动学相关规律可得
，
解得
根据牛顿第二定律
解得
②粒子动能最小时电势能最大，设粒子通过 点时平行 方向的分速度大小为 ，垂直 方向的分速度大
小为 ，由能量关系可得粒子的最大电势能
从 到 ，由运动学规律可得
解得
【变式演练】
【变式2-1】如图所示，氢核（ ）从极板A发出（初速度可忽略不计），经A、B板间的电压U 加速，
1
从B板中心孔沿中心线射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电
场），氢核进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直。已知M、N两板间的电压为U，两板间的距离为
2
d，板长为L，氢核的质量为m，电荷量为q，不计氢核受到的重力及它们之间的相互作用力。求：
(1)氢核穿过B板时速度的大小v；
(2)氢核从偏转电场射出时的侧移量y和速度的偏向角α（α可以用其三角函数表示）；
(3)让氢核和氦核的混合物由静止开始通过上述加速和偏转电场，它们是否会分离成两股粒子束？试通过推
理分析加以说明。【答案】(1) (2) ， (3)见解析
【详解】（1）氢核经过加速电场过程，根据动能定理可得
解得氢核穿过B板时速度的大小为
（2）氢核在偏转电场中做类平抛运动，则有
， ，
联立解得
速度的偏向角正切值为
又
联立可得
（3）通过第（2）问的推理和结论可知，带电粒子由静止开始先后经过加速电场和匀强偏转电场，其侧移
量 ，速度偏向角 都与带电粒子电荷量q、质量m均没有关系，所以氢核和氦核的运
动轨迹重合，不会分离成两股粒子束。
【变式2-2】．某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形 区域内存在两层紧邻的
匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向（如图所示）， 边长为 ，
边长为 ，质量为m、电荷量为 的粒子流从 边中点P射入电场，粒子初速度为 ，入射角为θ，在
纸面内运动，不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间t；(2)当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，求入射角θ的范围。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）依题粒子进入磁场后，受到竖直方向的电场力，故水平方向做匀速直线运动，根据几何关
系可知，粒子在水平方向的速度
水平方向匀速直线运动，故该粒子通过电场的时间
（2）粒子进入电场时，竖直方向的速度为
分析易得，粒子竖直方向加速度为
若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，由
整理可得
故
解得
故θ的取值范围是
【变式2-3】．（2025高三上·江苏泰州·阶段练习）空间中存在水平向左的匀强电场，场强E的大小为
。将质量为m、电荷量为 的小球以初速度 水平向右抛出，小球的运动轨迹如图所示。A、C两
点在同一竖直线上，B点的速度方向竖直向下，不计空气阻力，已知重力加速度为g。求：(1)小球从A点运动到B点的时间；
(2)小球从A到C运动过程中的最小速度。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）水平方向，由牛顿第二定律有
由运动规律有
联立解得
（2）设电场力与重力的合力与水平方向的夹角为 ，则
则
当小球的速度与该合力垂直时，最小速度为 ，则
解得
【变式2-4】．如图所示，直角坐标系 在竖直平面内，第一象限内存在大小、方向均未知的匀强电场
，第四象限内存在方向沿 轴正方向、大小未知的匀强电场 。小球a从 点与 轴负方向成 角以
速率 射入第四象限，一段时间后从 点经过，速度沿 轴负方向；另一小球b从 点与 轴正方向成
角以速率 射入第一象限，一段时间后从 点经过，速度方向沿 轴正方向，大小为 。已知a、b小球
的质量均为 ，电荷量均为 ，重力加速度为 ， 点坐标为 ，不考虑小球之间的相互作用力和空气阻力。若第一象限的电场强度大小是其可能的最小值，求：
(1)第四象限内的匀强电场 的大小；
(2)第一象限内的匀强电场 的大小；
(3)M、N两点沿 轴方向的距离。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）小球a从 点运动到 点的过程中，沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直
线运动，可得
①
②
由牛顿第二定律得
③
联立解得
④
（2）连接 ，由于小球b在P点和N点的速度大小相同，因此小球受到的合力方向与 垂直，小球沿
方向做匀速直线运动。设 与 轴正方向之间的夹角为 ，得
⑤
解得
匀强电场 的电场强度最小值为
⑥
联立解得⑦
（3）小球b从P点运动到N点的过程中，沿 轴方向由牛顿第二定律得
⑧
由匀变速直线运动的规律得
⑨
小球a从P点运动到M点的过程中
⑩M、N两点沿 轴方向的距离为
联立解得 ⑪
⑫
【变式2-4】（2025高三上·河北承德·期中）如图所示，在竖直面内建立直角坐标系，第二象限存在竖直向
上的匀强电场E，第一象限存在平行于xOy平面且方向未知的匀强电场E。质量为m、电荷量为+q的带电
1 2
小球从A（−2L，0）点以初速度 （g为重力加速度大小）进入第二象限，后经y轴上的B（0，
L）点水平向右进入第一象限，落在x轴上的C（L，0）点时速度大小为 。E、E 的大小均未知，
1 2
不计空气阻力，小球重力不可忽略。求：
(1)电场强度E 的大小；
1
(2)电场强度E 的大小。
2
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设小球在A点的初速度与x轴正方向的夹角为θ，由牛顿第二定律
水平方向有
竖直方向有解得
（2）小球经过B点时的速度
设第一象限匀强电场的水平分量为Ex，竖直分量为Ey，则
设C点的水平分速度为vx，竖直分速度为vy，则
且
解得
则题组 03 带电粒子（带电体）在匀强电场中的圆周运动
【典例剖析】
【例3-1】（2025高三上·广东东莞·阶段练习） 如图所示，在方向水平向左、范围足够大的匀强电场中，
固定一由内表面绝缘光滑且内径很小的圆管弯制而成的圆弧 ，圆弧的圆心为O，竖直半径（ ，
B点和地面上A点的连线与地面成 角，一质量为m、电荷量为q的小球（可视为质点）沿 方向
做直线运动恰好无碰撞地从管口B进入管道 中，小球恰好经过管道内C点（未画出）并顺利到达D点，
其中C点是小球在管道内的速度最小点，已知 ， ，重力加速度大小为g。求：
(1)说明小球的电性、求匀强电场的场强大小E。
(2)小球到达D处时，轨道对小球的支持力。
【答案】(1)正电， (2)2mg，方向竖直向下
【详解】（1）小球做直线运动时的受力情况如图甲所示
所以小球带正电，且
得
（2）小球到达C处时电场力与重力的合力恰好提供小球做圆周运动的向心力，如图乙所示OC∥AB，则
得
小球从C处运动到D处的过程，根据动能定理有
得
小球在D点，根据向心力公式有
得
故轨道对小球的支持力大小为2mg，方向竖直向下。
【例3-2】（2025高三上·河南·阶段练习）如图所示，内壁光滑的绝缘薄壁圆筒倾斜固定在水平地面上，倾
角 ，圆筒的横截面圆的半径 为圆筒上横截面圆的圆心， 分别为该截面圆的最低点
和最高点， 为圆筒下横截面圆的圆心， 、 分别为该截面圆的最低点和最高点，图中 与 垂直，
与 垂直。空间存在一沿 方向的匀强电场 ，一带电荷量 、质量 的小球（可
视为质点）自 点从圆筒壁内侧以初速度 沿与 平行的方向抛出后，小球在 面内做圆周运动，
且恰未离开圆筒内壁，已知 ，重力加速度 。(1)求 的大小；
(2)求 的大小；
(3)若撤去电场 ，在空间施加方向与 平行且向上的匀强电场 ，场强大小 ，让小球仍从
点以同样的速度抛出，则小球将以最短的时间从 点离开圆筒，求圆筒的长度 （结果可保留 ）。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由题得
解得
（2）小球在圆筒内运动经过横截面的最高点时，设其做圆周运动速度大小为 ，则有
小球从 点开始运动到最高点，由机械能守恒定律有
联立解得
（3）加上电场 后，小球受到的沿 向上的电场力
小球的重力沿 向下的分量
表明小球在垂直于中轴线 的平面内做匀速圆周运动，设其周期为 ，则有
小球在平行中轴线 方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有由牛顿第二定律
解得
【例3-3】（2025高三上·河南驻马店·期中）如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一电荷量为 的带正
电小球，另一端固定在 点， 点左侧某处有一钉子 ，直线 上方存在竖直向上的匀强电场，开始时，
小球静止于A点。现给小球一方向水平向右、大小 的初速度，使其在竖直平面内绕 点做圆周
运动。途中细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线的
拉力达到最大值，且刚好被拉断，然后小球会再次经过A点。已知小球的质量为 ，细线的长度为 ，重
力加速度大小为 。求：
(1) 、 两点的距离；
(2)细线的最大拉力；
(3)匀强电场的电场强度大小的范围。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）小球的运动轨迹如图所示
小球从A点出发到再次回到A点的过程中，所受各个力做功均为零，所以小球再次回到A点时速度大小仍为 ，其速度方向与水平方向的夹角设为 ， 、 两点的距离设为 ，小球由F点运动到A点过程中做
平抛运动，根据平抛运动推论，经过A点时速度的反向延长线必过FG的中点H，根据题意可知
小球由F点运动至A点的过程中，水平方向和竖直方向分别有
联立求得
（2）小球经过F点时的速度为
小球绕O点圆周运动的半径为
小球经过F点时，重力与最大拉力的合力提供向心力，有
求得
（3）设电场强度大小为 时小球恰好能通过最高点C，则小球由A点运动到C点过程中，由动能定理得
小球经过最高点C时，有
联立求得
设电场强度大小为 时小球通过最高点C时细线恰好断裂，这种情况下，小球由A点运动到C点过程中，由动能定理得
小球经过最高点C时，有
其中
联立求得
综合以上，匀强电场的电场强度大小的范围为
【变式演练】
【变式3-1】如图所示，质量为 、带电荷量为 的小球与不可伸长的绝缘丝线相连，丝线另一端固定在
拉力传感器上的 点（拉力传感器未画出），丝线长度为 ， 点距离水平地面的高度为 ，空间存在竖
直向下的匀强电场。现给小球一水平初速度，使球绕 点在竖直平面内做半径为 的圆周运动，拉力传感
器显示出丝线拉力的最小值为 ，最大值为 ，重力加速度大小为 。
(1)求匀强电场的电场强度大小 ；
(2)若小球运动到最低点时小球脱离丝线，求小球的落地点到 点的水平距离x；
(3)若电场的电场强度大小变为 ，将方向改为水平向右，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，求
拉力传感器显示的最大拉力与最小拉力之差 。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）依题意，小球通过最高点时，由牛顿第二定律
从最高点到最低点，根据动能定理可得通过最低点时
联立，解得
（2）绳断后小球做类平抛运动，竖直方向有
水平方向有
根据牛顿第二定律可得
联立，解得
（3）若电场的电场强度大小变为
将方向改为水平向右，则重力与电场力的合力
方向斜向右下与水平方向成 ，将此合力等效为新的重力，则小球在等效最高点有
其中
小球在等效最低点有
从等效最高点到等效最低点，根据动能定理可得
联立可得
【变式3-2】．如图所示，长为 的绝缘细线一端固定在O点，另一端连接一质量为 、电
荷量为 的带正电小球，整个区域内有电场强度大小为 、方向水平向右的匀强电场，现将小球拉至最高位置并给小球一水平向左的初速度，让小球恰好能在竖直面内做半径为L的圆周运动，PQ
为竖直直径，重力加速度g取 ， ， 。
(1)求小球运动过程中的最小动能；
(2)求小球电势能最小时细线的张力；
(3)若在某时刻剪断细线，同时在整个区域内加上一个方向垂直纸面的匀强磁场，恰使小球做匀速直线运动，
求所加匀强磁场的磁感应强度。
【答案】(1)0.5J (2)24N，方向水平向左
(3) ，方向垂直纸面向外；或 ，方向垂直纸面向里
【详解】（1）当小球运动到重力与电场力的“等效最高点”时动能最小，此时重力和电场力的合力提供
向心力，细线张力为零，有
其中小球受到的电场力
重力
小球的最小动能
（2）由题意可知当小球运动至圆周运动轨迹的最右端时其电势能最小，从“等效最高点”到该处的过程
中，由动能定理有
其中θ为重力与电场力的合力与竖直方向的夹角，且
又根据牛顿第二定律有
联立解得方向水平向左。
（3）由题意可知，剪断细线后，小球沿切线方向做匀速直线运动，小球受到的重力、电场力和洛伦兹力
三力平衡，又根据左手定则，小球受到的洛伦兹力沿半径方向，所以剪断细线时，小球的位置应在重力和
电场力的“等效最高点”或“等效最低点”。
①当小球的位置在“等效最高点”时，有
由（1）知
解得
方向垂直纸面向外。
②当小球的位置在“等效最低点”时，有
小球从“等效最高点”到“等效最低点”的过程，根据动能定理有
联立解得
方向垂直纸面向里。
【变式3-3】．（2025高三上·广西南宁·阶段练习）固定在 点的细线拉着一质量为 、电荷量为 的带正
电小球。该区域内存在水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度 ，小球能在竖直平面内做
半径为 的完整圆周运动。圆周上A点在圆心 的正上方，小球过 点时的速度大小为 ，方向水平向左。
不计一切阻力，重力加速度为 ，求：
(1)小球做圆周运动过程中的细线对小球最小作用力 ；(2)若取过 点的面为零势面（包括重力势能和电势能），求小球做圆周运动过程中最小的机械能 。
【答案】(1) ，与竖直方向成 斜向下 (2)
【详解】（1）设电场力和重力的合力与竖直方向夹角为 ，则有
可得
如图所示
当小球到达等效最高点 点时速度最小，从A到 由动能定理得
解得小球做圆周运动过程中的最小速率为
在 点，以小球为对象，根据受到第二定律可得
解得
方向与竖直方向成 斜向下。
（2）小球做圆周运动过程中只有重力和电场力做功，所以小球的机械能和电势能之和保持不变，过圆心
沿着电场方向做一条直线交于圆 点和 点，如图所示在 点的时候电荷的电势能最大，机械能最小，由
能量守恒得由于
即
解得
1．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一
质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动 距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有解得
（3）设带电粒子运动 距离时的速度大小为vʹ，根据功能关系有
带电粒子在前 距离做匀加速直线运动，后 距离做匀速运动，设用时分别为t、t，有
1 2
，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
2．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为 、质量为m，A、B两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小。
（2）小球在A、B两点的速度大小。
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得A到B过程根据动能定理得
联立解得
3．（2023·山东·高考真题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭
火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火
弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离 ，灭火弹出膛速度
，方向与水平面夹角 ，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小 ，
。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能 ，转化为灭火弹动能的效率 ，灭火弹的质量为 ，电容
，电容器工作电压U应设置为多少？
【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有
竖直方向上有
代入数据联立解得
（2）根据题意可知
又因为联立可得
4.（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面
上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相
连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C
均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。 时撤去电场，C向下加速运动，下降 后
开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为 。已知A、B、C的质量分别为 、
、 ，小球C的带电量为 ，重力加速度大小取 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小；
(3)若 时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一
段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，
C未与地面相碰）
【答案】(1) (2) ； (3)
【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉
力为0，对C根据共点力平衡条件有
解得
（2）C开始做匀速直线运动后，对C和B根据共点力平衡条件分别有
，
其中解得
C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，此时A、B、C三者速度大小相等，M、N两弹簧的弹性势
能相同，C下降 的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
解得
（3）没有电场时，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，所以此时A的加速度为零，对A根据
共点力平衡有
当电场方向改为竖直向下，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为 ，对A根据牛顿第二定律可得
对B、C根据牛顿第二定律可得
撤去电场后，由第（2）问的分析可知A、B在C下降 时开始相对滑动，在C下降 的过程中，对
A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
此时A的速度是其从左向右运动过程中的最大速度，此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动过程
中的最大速度为
联立解得
5．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电荷
量分别为 和 。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间
存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为
。 时，A以初速度 向右运动，B处于静止状态。在 时刻，A到达位置S，速度为 ，此时弹簧
未与B相碰；在 时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为 ；在细杆与B碰前的瞬间，A的速
度为 ，此时 。 时间内A的 图像如图（b）所示， 为图线中速度的最小值， 、 、 均
为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为
真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求 时间内，合外力对A所做的功；（2）求 时刻A与B之间的距离；
（3）求 时间内，匀强电场对A和B做的总功；
（4）若增大A的初速度，使其到达位置S时的速度为 ，求细杆与B碰撞前瞬间A的速度。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1） 时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知 时刻A的加速度为0，此时滑块A所受合外力为0，设此时A与B之间的距离为r，
0
根据平衡条件有
其中
联立可得
（3）在 时刻，A的速度达到最大，此时A所受合力为0，设此时A和B的距离为r，则有
1
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A和B做的总功（4）过S后，A、B的加速度相同，则A、B速度的变化相同。设弹簧的初始长度为 ；A在S位置时，此
时刻A、B的距离为 ，A速度最大时，AB距离为 ，细杆与B碰撞时，A、B距离为 。
A以 过S时，到B与杆碰撞时，A增加的速度为 ，则B同样增加速度为 ，设B与杠相碰时，B向左运
动 。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动 。对A根据动能定理有
对B有
当A以 过S时，设B与杆碰撞时，A速度为 ，则B速度为 ，设B与杠相碰时，B向左运动 。
设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动 。
对A根据动能定理有
对B
联立解得
6．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴
a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v、 ；两板间加上电压后（上板为正
0
极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v时受阻力则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，可知油滴a做减速运动，
油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得
其中
对b由受力平衡可得
其中
联立解得
7．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度
大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴夹
角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
8．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央
有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、位于
同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离
，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1） ；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量 ，电势能的变化
量 ；（3）见解析
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得
（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场
力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得根据
又
联立解得
（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为 ，新油滴所受电场力
若 ，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；
若 ，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
9．（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小
球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d、不考
虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为 ，其中r为颗粒的
半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为 和 的
两种颗粒，若 的颗粒恰好100%被收集，求 的颗粒被收集的百分比。
【答案】（1） ；（2）a、 ；b、25%
【详解】（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集，水平方向有
竖直方向根据牛顿第二定律
又
解得
（2）a.颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，竖直方向
且
解得
b. 带电荷量q的颗粒恰好100%被收集，颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等
于电场力，有
在竖直方向颗粒匀速下落
的颗粒带电荷量为
颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度，所受阻力等于电场力，有
设只有距下极板为 的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落
解得
的颗粒被收集的百分比
