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热点题型·新情境问题攻略
专题 20 带电粒子在立体空间中的运动问题破译
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
03.高考练场................................................................................33
带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利
用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见
将粒子的运动分解为三个方向的运动
运动模型
旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向
一维加一面，如旋进运动 的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该
轴的所在面内的圆周运动
把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转
度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每
后曲线不在原来的平面内
个面的运动
【典例剖析】
例1（2025·八省联考云南）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装
置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。 为
场测量模块的中截面。以 中点O为坐标原点， 方向为x轴正方向，在 平面上建立 平面直
角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O点沿y轴正方向射入。选择开关拨到 挡可在模块内开启垂直于
平面的待测匀强磁场，长为 的 区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到 挡可在模块内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为l的 和 区间 标有刻度线用于表征电场强度的大
小和方向。带电粒子以速度v入射，其质量为m、电荷量为 ，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略
不计。
(1)开关拨到 挡时，在 区间 处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
(2)开关拨到 挡时，在 处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
(3)求该装置 区间和 区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U应增大还是
减小？请简要说明。
【答案】(1) ，垂直纸面向外 (2) ，水平向右
(3) ； ，说明见详解解析
【详解】（1）带正电的粒子向右偏转，受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁感应强度的方向垂直
纸面向外。
由几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R与 的关系为
2R=
根据牛顿第二定律，得
解得
（2）由带正电粒子向右偏转，故电场力水平向右，可判断电场方向水平向右。
带正电的粒子射入电场中做类平抛运动。由水平方向、竖直方向位移公式，
牛顿第二定律可得
联立解得
（3）①若测量磁感应强度的大小和方向：设磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律
动能定理
由几何关系得
联立解得
由磁感应强度表达式可知，r越大B越小，根据左右对称性关系，所以量程为 。
若粒子加速器的电压为U，则磁感应强度的表达式为
可知U应减小，B最小值越小，从而进一步扩大量程。
②若表征电场强度大小和方向：当运动时间最长，水平位移最大时，电场强度最小。由水平方向、竖直方
向位移公式
，
牛顿第二定律可得
联立解得
由根据左右对称性关系，所以量程为
当电压为U时，由动能定理整理得
可知U应减小，E最小值越小，从而进一步扩大量程。
例2．如图所示， 坐标系内有一边长为 的立方体空间 ，立方体空间内及边界附近
存在沿 轴正方向的匀强电场和匀强磁场（图中未画出）， 、 、 和 分别是 、 、 和
的中点。当从 点向 点射出速率为 、质量为 、电荷量为 的带电微粒恰能通过 点。不计空气
阻力，已知重力加速度为 。
(1)该区域的匀强电场的场强 和匀强磁场的磁感应强度
(2)若该微粒在 点沿 方向以速度 射入区域，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；
(3)仅将电场反向，大小不变。若该微粒从 点沿 方向以速度 射入区域，求微粒离开立方
体空间时的位置坐标；
【答案】(1) ； (2) (3)
【详解】（1）因微粒做圆周运动，必有
所以
根据
所以（2）将速度分解为沿 方向和 方向，均为 ；水平方向做匀速圆周运动，其半径仍为 ，运动 周期，
则
运动时间为
方向做匀速运动
因此微粒射出坐标为
（3）将电场反向， 方向
解得
根据
可得
圆周运动周期
微粒运动 周期，如图为俯视图， 点即为射出底面的点，其坐标为 。
例3．（2025高三上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在x − y − z三维坐标系的空间，在x轴上距离坐标
原点x = 0.2 m处，垂直于x轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，电
0
场强度大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O点沿x轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量q =
1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。(1)若微粒初速度v = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x轴的距离；
0
(2)若在该空间再添加一个沿y轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大小的初速度从O
点沿x轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x轴的最大距离（结果保留两位有效数字）。
【答案】(1)0.02 m (2)0.28 m
【详解】（1）设带电微粒在电场中运动时间为t，打在感光片上的点到x轴的距离为y，则有
， ，
解得
（2）粒子在平行于xOz平面内做匀速圆周运动，则有
，
解得
当粒子运动轨迹与感光片相切时该微粒的z坐标最大，此时有
由于粒子运动轨迹与感光片相切，对应圆心角为 ，粒子运动至切点的时间
解得
粒子从O点沿x轴正方向射入到打至感光片运动的轨迹对应圆心角最大值为 ，时间也为最大值，粒子
在平行于xOy平面内做类平抛运动，此时y轴方向的分位移也为最大值，则有
故粒子打在感光片上的位置离x轴的最大距离
解得例4．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示， 平面左侧存在沿y
轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从
点以初速度 、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从 点通过x
轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O点进入磁场运动时间为 时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2所示，若在 平面左侧再加垂直 平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从
点以初速度 、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。
求所加匀强磁场的磁感应强度大小 。
【答案】(1) ， (2) (3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
解得
粒子从O点进入磁场时水平方向的分速度为 ，竖直方向的分速度为
结合上述解得
粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为 的匀速直线运动， 平面方向速度为 的匀速圆周
运动，则有， ，
解得
，
（2）粒子在磁场中水平向右速度为 的匀速直线运动，结合上述可知
由于
表明 平面方向速度为 的匀速圆周运动对应圆心角为 ，根据几何关系有
，
解得
，
即粒子的位置坐标为 。
（3）将速度 分解为水平向右的 和水平向左的 ，且有
，
此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为 的匀速直线运动与速度为 的匀速圆周运动，则有
由于粒子轨迹恰好与x轴负半轴相切，则有
结合上述解得
例5．（2025高三上·广东广州·阶段练习）如图，在长方体区域内，平面 的左边有垂直平面 的匀
强磁场、右边有垂直平面 的匀强电场。现有电量为 、质量为 的一个粒子以大小为 的初速度从
点沿平面 进入磁场区域，经 点并垂直平面 的方向进入电场区域，最后从 点离开电场。已知
长方体侧面 为边长为 的正方形，其它边长如图中标示， ，不计粒子重力。(1)求磁感应强度 和电场强度 的比值；
(2)求带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值；
(3)若只改变电场强度 大小，试讨论：粒子离开长方体区域时动能 与 的关系式。
【答案】(1) (2)
(3) 时，粒子离开长方体区域时动能 ； 时，粒子离开长方体区域时动能
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示
由几何知识得
解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得磁感应强度大小
粒子在电场中做类平抛运动，沿初速度方向
沿电场方向解得
磁感应强度B和电场强度E的比值
（2）设粒子在磁场中转过的圆心角为 ，由几何知识可知
则
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子在磁场中的运动时间
带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值
（3）1.当 时，粒子从 边射出长方体，由动能定理得
解得粒子离开长方体区域的动能
2.当 时粒子从 离开长方体区域，粒子在电场中做类平抛运动。沿初速度方向
沿电场方向
粒子在电场中运动过程，由动能定理得
解得当 时，粒子离开长方体区域时动能 ；当 时，粒子离开长方体区域时动能
。
【变式演练】
1．（2024·全国·模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在 、 的区域内存在沿 轴负方向的匀强
电场，电场强度大小为 （未知）；在 、 的区域内存在沿 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为 （未知）；在 、 的区域内存在沿 轴正方向、磁感应强度大小也为 的匀强磁场。一质
量为 、电荷量为 的带正电粒子在 的平面内由 轴上的 点沿与 轴正方向成 角的方向射入
电场区域，粒子由 轴上的点 沿 轴正方向以大小为 的速度射入 、 区域，粒子经该
磁场偏转后，沿与 轴正方向成 角的方向射入 平面下方。不计粒子的重力。求：
(1)电场强度的大小 ；
(2)磁感应强度的大小 ；
(3)粒子经 点后第三次穿过 平面时的位置坐标。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）粒子由 轴上的 点沿 轴正方向射入 、 区域，则粒子通过 点时沿 轴正方向
的速度减为0，设粒子在 点处沿 轴正方向的分速度大小为 ，则有
设粒子在电场中运动的加速度大小为 ，则有
又有
解得
（2）设粒子在 、 区域内的磁场中做圆周运动的轨迹半径为 ，粒子沿与 轴正方向成 角的方向射入 平面下方，画出粒子的运动轨迹，由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
（3）粒子第一次穿过 平面时，将粒子的速度沿 轴正方向和 轴负方向分解，可知粒子在沿 轴正方
向做匀速直线运动的同时在 平面下方做匀速圆周运动，运动半个周期后再次到达 平面，然后在
平面上方做匀速圆周运动，运动 个周期后第三次到达 平面。粒子第一次穿过 平面时，在
轴上的坐标为
设粒子在 平面下方做圆周运动的轨迹半径为 ，则有
解得
由
、
可得
粒子在 平面下方运动半个周期的时间内，沿 轴正方向前进的距离
粒子第二次穿过 平面到第三次穿过 平面的时间内沿 轴正方向前进的距离
则粒子第三次穿过 平面时在 轴上的坐标为
粒子第三次穿过 平面时，在 轴上的坐标为故粒子第三次穿过 平面时的位置坐标为 。
2．（2025高三上·广西贵港·阶段练习）如图所示，空间有一棱长为 的正方体区域，带电粒子从平行于
棱且与 共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度为 ，粒子质量为 ，电荷量为
，经垂直于 棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从 段（S为 的中点）垂直进入
正方体区域内，该区域内有垂直平面 向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，从 点射入的粒子
恰好从 点射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。
(1)求线状粒子源处与正方体 段之间的电势差 ；
(2)若该区域内只有垂直平面 向外的匀强电场，电场强度大小为 ，已知从S点射入的粒子从
边上的某点射出，求该点距 点的距离 ；
(3)以 为坐标原点建立空间直角坐标系， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向，若该区域内同时
存在上述磁场与电场，通过计算判断从 点进入的粒子，离开该区域时的坐标和速度大小 。
【答案】(1) (2) (3) ，
【详解】（1）从 点射入的粒子恰好从 点射出的轨迹为 圆周，设运动半径为 ，则
进入正方体之前被电场加速的过程
解得（2）粒子在该区域内电场中做类平抛运动，将运动分解为垂直于 方向的匀速直线运动和平行于 方
向的匀加速直线运动，可得
垂直于 方向
平行于 方向
解得
（3）该区域内同时存在上述磁场与电场时，从S点进入的粒子在正方体区域内做不等距螺旋线运动，可将
其运动分解为沿 方向的初速度为零的匀加速直线运动，和平行于 平面的线速度为 ，半径为
的匀速圆周运动。
分运动为匀速圆周运动的周期
假设粒子可完成 个圆周运动，则
粒子在 方向的位移为
解得
假设成立，且该粒子在 边射出，射出坐标为
离开该区域时沿 方向的速度为
解得3．（2025高三上·甘肃白银·期中）如图所示，空间中有 坐标系， 平面水平，y轴沿竖直方向。在
O处有一个质量为m、带电荷量为 的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)若在 空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小 ，将小球沿y轴正方向以速度
抛出，求小球落回x轴前动能的最小值；
(2)若在 的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y轴正方向，电场强度大小 ，匀
强磁场沿z轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度 从O点抛出，速度方向在 平面内且偏向
上方，与x轴正方向成α角（ ），改变α的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能
的运动轨迹所覆盖的面积；
(3)若在 区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，在 区域存在沿y轴负方向的
匀强磁场，磁感应强度大小为 ，小球从O点沿x轴正方向以大小为 的速度抛出，求小球从抛出到再
次经过y轴所用的时间及经过y轴时到O点的距离。（忽略磁场的边界效应）
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由于
可知小球受到的电场力与重力大小相等，所以电场力与重力的合力大小
方向与x轴负方向的夹角为45°，小球的运动可以看成类斜抛运动，当小球的速度与合力垂直时，速度最小，
动能最小，此时有
， ，
联立可得
则最小速度大小动能的最小值
（2）因为电场强度大小
电场沿y轴正方向，所以重力和电场力平衡，小球做匀速圆周运动，则有
解得
小球在x轴正方向运动轨迹可能覆盖的面积是半个圆，在x轴负方向运动轨迹可能覆盖的面积是以2R为半
径的四分之一圈，如图中阴影部分所示
则所求总面积
（3）小球在 平面两侧分别做匀速圆周运动，根据
可得小球在两个磁场中做圆周运动的半径分别为
，
周期分别为
，
小球在每个磁场中各完成半个圆周运动进入另一个磁场，则在 的时间内沿z轴移动的距离则有
可得
则小球从抛出到再次经过y轴所用的时间
小球在y轴方向做自由落体运动，从抛出到再次经过y轴时，其到O点的距离
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）工程师在制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以 为原点建立空间直角坐标系 ，一粒子源不断释放质量为m，电量为 的带正电
粒子，初速度视为零，经过加速电压U后，以一定速度恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过辐射状电场，接
着垂直平面 射入棱长为L的正立方体区域，入射位置可调节，不计粒子重力及其相互作用。
（1）求辐射状电场中离子运动轨迹处电场强度E的大小；
（2）若仅在正方体区域中加上沿x轴正方向的匀强磁场，让粒子对准MN边中点H入射，电量为q的粒子
恰好在 边射出。若使所有粒子都能到达 平面内的 区域，求所加磁感应强度B的大小及n
的最大值；
（3）若在正方体区域中同时加上沿x轴正方向场强为 的匀强电场和（2）中的匀强磁场，让粒子
对准 平面中心 点入射，求电量为q的粒子离开正方体区域时的坐标（结果保留根式和 ）。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）（ ， ， ）
【详解】（1）粒子经过加速电场后速度为 ，根据动能定理有
解得在辐射状电场中满足
解得
（2）由（1）问可知，带电量为 的粒子进入正方体区域的速度为
电量为q的粒子恰好在 边射出，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
解得
带电量为 的粒子进入正方体区域的速度为
由洛伦兹力提供向心力得
可得
当 最大时， 有最小值，若使所有粒子都能到达 平面内的 区域，则 的最小值为
解得的最大值为
（3）由题可知，粒子在平行于 的平面内做圆周运动，而在 方向做匀加速直线运动。对电量为 的
粒子， ，若不考虑 方向的匀加速运动，由几何关系可知偏转角为
粒子在磁场中运动的周期为则粒子在区域中运动的时间为
在 方向，粒子做匀加速直线运动，有
则粒子会从 出射；离开时，在 轴方向的坐标为
根据几何关系，在 轴方向的坐标为
在 轴方向的坐标为
所以，粒子离开时的坐标为（ ， ， ）。
5．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示建立空间坐标系O-xyz，其中x方向水平向右，z方向垂直于纸面
向外，三个无限大且与x轴垂直的平面与x轴依次交于O、M、N三点，相邻两点间的距离均为d，三个平
面将空间划分成不同的区域，在00区域内存在半圆柱体 空间区域，半圆柱沿y轴方向足够高，该区域内存在沿y轴正方
向的匀强磁场，磁感应强度大小 ，平面 在yOz平面内，D点（0，0，0）为半圆柱体底面
圆心，半圆柱体的半径为 。一质量为m、电荷量为 的带电粒子，从A点（-L，0，0）以初速度大
小 ，方向沿着x轴正方向射入匀强电场，经过C点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的
重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。【答案】（1） ；（2） ；（3）（ ， ， ）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有
，
根据牛顿第二定律
联立解得
（2）在磁场中，粒子的运动可以分解为垂匀速圆周运动和沿 正方向的匀速直线运动，垂直磁场方向，
根据洛伦兹力提供向心力
解得
如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中运动的圆心角为 ，粒子在磁场中运动的周期
则带电粒子在半圆柱体内运动的时间
联立解得
（3）在磁场中，沿着 轴正方向的速度大小
轴方向轴方向
轴方向
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为（ ， ， ）。
8．（2024·吉林·二模）如图所示，在三维坐标系 中， 平面左侧区域有沿y轴正方向的匀强电场；
平面右侧与垂直于y轴足够大的荧光屏之间的区域有沿y轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y轴交点位
置的坐标为 。一质量为m、电荷量为 的粒子从坐标为 的P点以大小为 的初速度沿z
轴负方向射出，经电场偏转后从O点进入磁场，再经过磁场偏转后击中荧光屏，粒子再次经过y轴的位置
离O点距离为 ，不计粒子的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标及匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若在 平面与荧光屏之间的区域加上一平行于y轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问
中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。
【答案】（1） ；（2）（ ， ，0）， ；（3）见解析
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动,根据题意
根据牛顿第二定律
解得（2）设粒子经过 点时速度大小为 ，根据动能定理
解得
设 与 轴负方向的夹角为 ，则
解得
粒了从 点进入磁场后，沿平行y轴方向做匀速直线运动，速度大小
在平行 平面内做匀速圆周运动，速度大小为
设做匀速圆周运动的周期为T，根据题意
设圆周运动的半径为r，则
解得
粒子在磁场中运动的时间为
则粒子打在荧光屏上的位置坐标为（ ， ，0），由牛顿第二定律
解得
（3）若所加电场方向沿y轴正方向，则粒子在电场和磁场的叠加场中运动的时间为 ，则解得
若所加电场方向沿y轴负方向，如果粒子做匀减速运动到荧光屏速度刚好为零时，由
解得
由此可知，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问中所求位置，则粒子在电场和磁场的叠加场中运动的时间为
，则
解得
9．（2025高三下·重庆南岸·阶段练习）利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备
中有着广泛的应用。如图，一粒子源不断释放质量为m，带电量为+q的粒子，以一定速度 垂直左面
，射入边长为2L的正方体区域 。可调整粒子源位置，使带电粒子在边长为L
的正方形 区域内入射。以 为原点建立如图所示直角坐标系 ，不计粒子重力及粒子间的
相互作用。若仅在正方体区域中加上沿+x轴方向的匀强电场，要让所有粒子都到达前表面 ，所加电
场强度的最小值设为 ；若仅在正方体区域中加上沿+x轴方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达底面
，所加磁感应强度的最小值设为 。（ ）
（1）求 和 的值。
（2）在正方体区域同时加上沿+x轴方向大小为 的匀强磁场和+z方向大小为 的匀强电场，求从I点
垂直左面入射的粒子离开正方体区域时的位置坐标。
（3）在正方体区域同时加上大小分别为 的匀强电场及 的匀强磁场，方向都沿+x轴。若垂直入射到
区域内不同位置的粒子，有的从前表面 离开正方体区域，有的从底面 离开正方体区
域，则 应满足什么条件？【答案】（1） ；（2）（ ， ， ）；（3）见解析
【详解】（1）正方体区域内加上沿MN的匀强电场时，粒子进入正方体区域后做类平抛运动。
当射入M点的粒子恰好经过P点时，所加的匀强电场的电场强度具有最小值，则
联立知，电场强度的最小值
当正方体区域内加上沿MN方向的匀强磁场时，粒子进入正方体区域后做匀速圆周运动。
当射入M点的粒子恰好经过Q时，磁感应强度具有最小值，此时粒子做圆周运动的半径为
R=2L
由牛顿第二定律解得磁感应强度的最小值
（2）当 时
取
可见粒子以v向右匀速运动，同时以v顺时针方向在竖直面内做匀速圆周运动,其轨道半径
假设从上表面离开，则
解得
运动的时间
沿+y方向运动，则
解得
y = 1.52L<2L
可见假设成立，离开位置坐标为(L,1.52L,2L)
（3）x轴方向获得的速度平行于磁场方向，不受洛伦兹力，粒子沿+x方向做匀加速直线运动，在垂直x轴
平面做匀速圆周运动时，半径
加速度当从J点入射粒子恰好从前面离开
对应的 ，则
解得
当从H点入射粒子恰好从底边离开时
解得可见当 时，粒子全部从前面离开;当 时，粒子全部从底面离开；当 时。两个表
面均匀粒子离开。
10．（2025高三上·广西·阶段练习）在工程师制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以M为原点建立空间直角坐标系M − xyz。质量为m、电量为q的带正电粒子，初速度可视为零，
经过电压为U的电场加速后，以恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过辐射状电场，接着垂直平面MNN M 对
1 1
准MNN M 面中点I射入边长为L的正立方体区域，正方体区域中存在一沿x轴正方向的匀强磁场（含边
1 1
界），不计粒子重力及其相互作用。
(1)求辐射状电场中粒子在圆弧轨迹处电场强度E的大小；
(2)若使粒子都能到达xMy平面内的MNPQ区域，求匀强磁场的磁感应强度B的取值范围。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）粒子经过加速电场，根据动能定理可得
解得
在辐射状电场中，由电场力提供向心力得
解得
（2）若电量为q的粒子恰好在PQ边射出，由几何关系可得在磁场中的轨迹半径满足
解得
由洛伦兹力提供向心力得解得
若电量为q的粒子恰好在MN边射出，由几何关系可得在磁场中的轨迹半径为
由洛伦兹力提供向心力得
解得
故磁感应强度B的取值范围为
1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和 ；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为 ，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为 ；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小 ；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）对于氙离子，仅考虑电场的作用，则氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律
解得氙离子在放电室内运动的加速度大小
（2）电子在阳极附近在垂直于轴线的平面绕轴线做半径做匀速圆周运动，则轴线方向上所受电场力与径
向磁场给的洛仑兹力平衡，沿着轴线方向的匀强磁场给的洛仑兹力提供向心力，即
，
解得径向磁场的磁感应强度大小为
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，设单
位时间内进入放电室的电子数为 ，则未进入的电子数为 ，设单位时间内被电离的氙离子数为 ,则
有
已知氙离子数从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有
联立可得单位时间内被电离的氙离子数为
氙离子经电场加速，有
时间 内氙离子所受到的作用力为 ，由动量定理有
解得由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。
以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均
为v。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
0
力。
（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运
动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为 ，由电子在x轴方向做匀速直线运动得
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有
联立得
当 时，B有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当 有最大值时， 最大，R最大，此时 ，又
，
联立可得
，
（3）当 最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移 ，根据匀变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场I，磁
感应强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度
方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的位
置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽
略离子间相互作用）。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（d，d， ）；（4）
【详解】（1）如图所示将离子甲从 点出射速度为 分解到沿 轴方向和 轴方向，离子受到的电场力沿 轴负方向，可知离子
沿 轴方向做匀速直线运动，沿 轴方向做匀减速直线运动，从 到 的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从 轴
进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿z轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径
为
离子在磁场II中的轨迹半径为
离子从 点第一次穿过到第四次穿过 平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的 坐标为
离子第四次穿过 平面的 坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（d，d， ）。
（4）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示
从 点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
4．（2020·山东·高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间
电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平
面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交
点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为
B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面
上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s、s、s，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，
1 2 3
请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
；（4）s、s、s 分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置
1 2 3
【详解】（1）设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为
α，在M、N两金属板间，由动能定理得
在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得
联立解得
根据题意，画出运动轨迹如图所示
由几何关系得， ，
联立解得
（2）设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为 ，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间
为t，由牛顿第二定律得
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
，
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
联立解得
（3）设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为y'，由运动学公式得
由题意得
联立解得
（4）s、s、s 分别对应氚核 、氦核 、质子 的位置。
1 2 3
5．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其
主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势
差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,
实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子，它们的初速度方向与y轴的正方向夹
角均为 ，其中电子a、b的初速度分别处于xOy 、yOz平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a和b到达电极2所用的时间 和 ；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出 个电子, ，U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收集电子而形成的电流I和U关系的图像,并说明理由
【答案】（1）（ⅰ）沿z轴反方向；（ⅱ） ， （2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a电子，初速度方向在xoy平面内，与y轴正方向成θ角；若磁场方向沿z轴正方向，
a电子在洛伦兹力作用下向x轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z轴反方向，a电子在洛伦兹力
作用下向x轴正方向偏转，符合题意；
b电子，初速度方向在zoy平面内，与y轴正方向成θ角。将b电子初速度沿坐标轴分解，沿z轴的分速度
与磁感线平行不受力，沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x轴正方向偏转，根据左手定则可知，
磁场方向沿z轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴反方向。
（ⅱ）a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图
由图可知电子运动到下一个极板的时间
b电子，沿z轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；
沿y轴方向的分速度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设 ，单位时间内阴极逸出的电子数量N 不变，每个电子打到极板上可以激发δ个电子，经过
0
n次激发阳极处接收电子数量
对应的电流可得I-U图像如图
