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专题 20 带电粒子在立体空间中的运动问题破译
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
03.高考练场................................................................................33
带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利
用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见
将粒子的运动分解为三个方向的运动
运动模型
旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向
一维加一面，如旋进运动 的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该
轴的所在面内的圆周运动
把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转
度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每
后曲线不在原来的平面内
个面的运动
【典例剖析】
例1（2025·八省联考云南）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装
置，其模型如图所示．该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。 为
场测量模块的中截面。以 中点O为坐标原点， 方向为x轴正方向，在 平面上建立 平面直
角坐标系。
带电粒子经粒子加速器加速后可从O点沿y轴正方向射入。选择开关拨到 挡可在模块内开启垂直于
平面的待测匀强磁场，长为 的 区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到 挡可在模块内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为l的 和 区间 标有刻度线用于表征电场强度的大
小和方向。带电粒子以速度v入射，其质量为m、电荷量为 ，带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略
不计。
(1)开关拨到 挡时，在 区间 处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；
(2)开关拨到 挡时，在 处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；
(3)求该装置 区间和 区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U，要进一步扩大量程，U应增大还是
减小？请简要说明。
例2．如图所示， 坐标系内有一边长为 的立方体空间 ，立方体空间内及边界附近
存在沿 轴正方向的匀强电场和匀强磁场（图中未画出）， 、 、 和 分别是 、 、 和
的中点。当从 点向 点射出速率为 、质量为 、电荷量为 的带电微粒恰能通过 点。不计空气
阻力，已知重力加速度为 。
(1)该区域的匀强电场的场强 和匀强磁场的磁感应强度
(2)若该微粒在 点沿 方向以速度 射入区域，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；
(3)仅将电场反向，大小不变。若该微粒从 点沿 方向以速度 射入区域，求微粒离开立方
体空间时的位置坐标；例3．（2025高三上·河南南阳·阶段练习）如图所示，在x − y − z三维坐标系的空间，在x轴上距离坐标
原点x = 0.2 m处，垂直于x轴放置一足够大的感光片。在x ≥ 0空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，电
0
场强度大小E = 8.0 × 102 V/m。现有一带正电的微粒从O点沿x轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量q =
1.6 × 10−16 C，质量m = 3.2 × 10−22 kg。
(1)若微粒初速度v = 2.0 × 104 m/s，求微粒打在感光片上的点到x轴的距离；
0
(2)若在该空间再添加一个沿y轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1 T。微粒以不同大小的初速度从O
点沿x轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x轴的最大距离（结果保留两位有效数字）。
例4．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示， 平面左侧存在沿y
轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从
点以初速度 、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从 点通过x
轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O点进入磁场运动时间为 时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2所示，若在 平面左侧再加垂直 平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从
点以初速度 、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。
求所加匀强磁场的磁感应强度大小 。
例5．（2025高三上·广东广州·阶段练习）如图，在长方体区域内，平面 的左边有垂直平面 的匀
强磁场、右边有垂直平面 的匀强电场。现有电量为 、质量为 的一个粒子以大小为 的初速度从
点沿平面 进入磁场区域，经 点并垂直平面 的方向进入电场区域，最后从 点离开电场。已知
长方体侧面 为边长为 的正方形，其它边长如图中标示， ，不计粒子重力。(1)求磁感应强度 和电场强度 的比值；
(2)求带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值；
(3)若只改变电场强度 大小，试讨论：粒子离开长方体区域时动能 与 的关系式。
【变式演练】
1．（2024·全国·模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在 、 的区域内存在沿 轴负方向的匀强
电场，电场强度大小为 （未知）；在 、 的区域内存在沿 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为 （未知）；在 、 的区域内存在沿 轴正方向、磁感应强度大小也为 的匀强磁场。一质
量为 、电荷量为 的带正电粒子在 的平面内由 轴上的 点沿与 轴正方向成 角的方向射入
电场区域，粒子由 轴上的点 沿 轴正方向以大小为 的速度射入 、 区域，粒子经该
磁场偏转后，沿与 轴正方向成 角的方向射入 平面下方。不计粒子的重力。求：
(1)电场强度的大小 ；
(2)磁感应强度的大小 ；
(3)粒子经 点后第三次穿过 平面时的位置坐标。
2．（2025高三上·广西贵港·阶段练习）如图所示，空间有一棱长为 的正方体区域，带电粒子从平行于
棱且与 共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度为 ，粒子质量为 ，电荷量为
，经垂直于 棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从 段（S为 的中点）垂直进入
正方体区域内，该区域内有垂直平面 向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，从 点射入的粒子
恰好从 点射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。(1)求线状粒子源处与正方体 段之间的电势差 ；
(2)若该区域内只有垂直平面 向外的匀强电场，电场强度大小为 ，已知从S点射入的粒子从
边上的某点射出，求该点距 点的距离 ；
(3)以 为坐标原点建立空间直角坐标系， ， ， 分别为 ， ， 轴的正方向，若该区域内同时
存在上述磁场与电场，通过计算判断从 点进入的粒子，离开该区域时的坐标和速度大小 。
3．（2025高三上·甘肃白银·期中）如图所示，空间中有 坐标系， 平面水平，y轴沿竖直方向。在
O处有一个质量为m、带电荷量为 的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)若在 空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小 ，将小球沿y轴正方向以速度
抛出，求小球落回x轴前动能的最小值；
(2)若在 的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y轴正方向，电场强度大小 ，匀
强磁场沿z轴负方向，磁感应强度大小为B。小球以初速度 从O点抛出，速度方向在 平面内且偏向
上方，与x轴正方向成α角（ ），改变α的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能
的运动轨迹所覆盖的面积；
(3)若在 区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，在 区域存在沿y轴负方向的
匀强磁场，磁感应强度大小为 ，小球从O点沿x轴正方向以大小为 的速度抛出，求小球从抛出到再
次经过y轴所用的时间及经过y轴时到O点的距离。（忽略磁场的边界效应）4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）工程师在制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以 为原点建立空间直角坐标系 ，一粒子源不断释放质量为m，电量为 的带正电
粒子，初速度视为零，经过加速电压U后，以一定速度恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过辐射状电场，接
着垂直平面 射入棱长为L的正立方体区域，入射位置可调节，不计粒子重力及其相互作用。
（1）求辐射状电场中离子运动轨迹处电场强度E的大小；
（2）若仅在正方体区域中加上沿x轴正方向的匀强磁场，让粒子对准MN边中点H入射，电量为q的粒子
恰好在 边射出。若使所有粒子都能到达 平面内的 区域，求所加磁感应强度B的大小及n
的最大值；
（3）若在正方体区域中同时加上沿x轴正方向场强为 的匀强电场和（2）中的匀强磁场，让粒子
对准 平面中心 点入射，求电量为q的粒子离开正方体区域时的坐标（结果保留根式和 ）。
5．（2024·四川德阳·模拟预测）如图所示建立空间坐标系O-xyz，其中x方向水平向右，z方向垂直于纸面
向外，三个无限大且与x轴垂直的平面与x轴依次交于O、M、N三点，相邻两点间的距离均为d，三个平
面将空间划分成不同的区域，在00区域内存在半圆柱体 空间区域，半圆柱沿y轴方向足够高，该区域内存在沿y轴正方
向的匀强磁场，磁感应强度大小 ，平面 在yOz平面内，D点（0，0，0）为半圆柱体底面
圆心，半圆柱体的半径为 。一质量为m、电荷量为 的带电粒子，从A点（-L，0，0）以初速度大
小 ，方向沿着x轴正方向射入匀强电场，经过C点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的
重力。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
8．（2024·吉林·二模）如图所示，在三维坐标系 中， 平面左侧区域有沿y轴正方向的匀强电场；平面右侧与垂直于y轴足够大的荧光屏之间的区域有沿y轴正方向的匀强磁场，荧光屏与y轴交点位
置的坐标为 。一质量为m、电荷量为 的粒子从坐标为 的P点以大小为 的初速度沿z
轴负方向射出，经电场偏转后从O点进入磁场，再经过磁场偏转后击中荧光屏，粒子再次经过y轴的位置
离O点距离为 ，不计粒子的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标及匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若在 平面与荧光屏之间的区域加上一平行于y轴的匀强电场，要使粒子仍打在荧光屏上（2）问
中所求的位置，则所加匀强电场的电场强度应满足什么条件。
9．（2025高三下·重庆南岸·阶段练习）利用电场与磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备
中有着广泛的应用。如图，一粒子源不断释放质量为m，带电量为+q的粒子，以一定速度 垂直左面
，射入边长为2L的正方体区域 。可调整粒子源位置，使带电粒子在边长为L
的正方形 区域内入射。以 为原点建立如图所示直角坐标系 ，不计粒子重力及粒子间的
相互作用。若仅在正方体区域中加上沿+x轴方向的匀强电场，要让所有粒子都到达前表面 ，所加电
场强度的最小值设为 ；若仅在正方体区域中加上沿+x轴方向的匀强磁场，要让所有粒子都到达底面
，所加磁感应强度的最小值设为 。（ ）
（1）求 和 的值。
（2）在正方体区域同时加上沿+x轴方向大小为 的匀强磁场和+z方向大小为 的匀强电场，求从I点
垂直左面入射的粒子离开正方体区域时的位置坐标。
（3）在正方体区域同时加上大小分别为 的匀强电场及 的匀强磁场，方向都沿+x轴。若垂直入射到
区域内不同位置的粒子，有的从前表面 离开正方体区域，有的从底面 离开正方体区
域，则 应满足什么条件？10．（2025高三上·广西·阶段练习）在工程师制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如
图所示，以M为原点建立空间直角坐标系M − xyz。质量为m、电量为q的带正电粒子，初速度可视为零，
经过电压为U的电场加速后，以恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过辐射状电场，接着垂直平面MNN M 对
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准MNN M 面中点I射入边长为L的正立方体区域，正方体区域中存在一沿x轴正方向的匀强磁场（含边
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界），不计粒子重力及其相互作用。
(1)求辐射状电场中粒子在圆弧轨迹处电场强度E的大小；
(2)若使粒子都能到达xMy平面内的MNPQ区域，求匀强磁场的磁感应强度B的取值范围。
1．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进
器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间
距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向
沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和 ；还有方向沿半径向外的径
向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为
R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、
电荷量为 ，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电
室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为 ；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小 ；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求
此霍尔推进器获得的推力大小F。2．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。
以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均
为v。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
0
力。
（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
3．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加
速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中， 空间内充满匀强磁场I，磁
感应强度大小为B，方向沿x轴正方向； ， 的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于 平面，与x轴正方向夹角为 ； ， 的空间内充满沿y轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为 的离子甲，从 平面第三象限内距 轴为 的点 以一定速度出射，速度
方向与 轴正方向夹角为 ，在 平面内运动一段时间后，经坐标原点 沿 轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从 点出射速度为 时，求电场强度的大小 ；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（3）离子甲以 的速度从 点沿 轴正方向第一次穿过 面进入磁场I，求第四次穿过 平面的位
置坐标（用d表示）；（4）当离子甲以 的速度从 点进入磁场I时，质量为 、带电量为 的离子乙，也从 点沿 轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差 （忽
略离子间相互作用）。
4．（2020·山东·高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间
电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平
面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交
点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为
B和E。一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面
上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s、s、s，若这三个点是质子 、氚核 、氦核 的位置，
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请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。5．（2023·天津·高考真题）科学研究中可以用电场和磁场实现电信号放大，某信号放大装置示意如图，其
主要由阴极、中间电极(电极1,电极2, …,电极n)和阳极构成，该装置处于匀强磁场中,各相邻电极存在电势
差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,
实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴，磁感应强度的大小为
B。已知电子质量为m,电荷量为e。忽略电子间的相互作用力，不计重力。
（1）若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子，它们的初速度方向与y轴的正方向夹
角均为 ，其中电子a、b的初速度分别处于xOy 、yOz平面的第一象限内，并都能运动到电极2。
（i）试判断磁场方向；
（ii）分别求出a和b到达电极2所用的时间 和 ；
（2）若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设
每个射入中间电极的电子在该电极上激发出 个电子, ，U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极
收集电子而形成的电流I和U关系的图像,并说明理由
