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专题08 抛体运动九大问题
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题型一 平抛运动的基本规律....................................................................................................................................1
题型二 平抛运动的临界、极值问题........................................................................................................................5
题型三 斜面上的平抛问题......................................................................................................................................13
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角.....................................................................................13
类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角.....................................................................18
类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角.....................................21
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角............................25
题型四 有约束条件的平抛运动模型......................................................................................................................29
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动.................................................................................................................29
类型2 半圆内的平抛问题.............................................................................................................................32
题型五 平抛的多解问题..........................................................................................................................................41
题型六 平抛与圆周的临界问题..............................................................................................................................44
题型七 斜抛运动的理解和分析..............................................................................................................................48
题型八 类平抛运动..................................................................................................................................................54
题型九 抛体运动中的功能与动量..........................................................................................................................59
题型一 平抛运动的基本规律
【解题指导】1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
2.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：匀速直线运动。
（2）竖直方向：自由落体运动。
3.基本规律（如图）（1）速度
合速度的大小v＝＝
设合速度的方向与水平方向的夹角为θ，有
tan θ＝＝。
（2）位移
合位移的大小s＝＝
设合位移的方向与水平方向的夹角为α，有
tan α＝＝。
（3）三个重要结论：①合速度方向与水平方向的夹角θ和合位移方向与水平方向的夹角α的关系，tan θ
＝2tan α。
②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即
x ＝。
OC
③速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿
竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。
【例1】（2024·重庆沙坪坝·三模）一质点做平抛运动，先后经过空中的 、 两点，经过 点时速度方向
与水平方向的夹角为30°，经过 点时速度方向与水平方向的夹角为60°，则（ ）
A． 到 过程质点做非匀变速运动B． 连线与水平方向夹角为60°
C．质点经过 、 两点时竖直速度之比为1：3
D．从抛出点到 、 两点的水平位移之比为1：2
【变式演练1】从O点以水平速度v抛出一小物体，经过M点时速度大小为 v，N点为O到M之间轨迹
上与直线OM距离最远的点，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小物体经N点时的速度方向与OM不平行
B．小物体从O到N经历的时间为
C．O、N之间的距离为
D．曲线ON与MN关于过N点且与OM垂直的直线对称
【变式演练2】．小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出时的速度大小为15m/s，水射出后落
到水平地面上。已知枪口离地面的高度为0.8m，重力加速度g取 ，忽略空气阻力，则射出的水
（ ）
A．在空中的运动时间为0.16s
B．水平射程为6m
C．落地时的速度大小为19m/s
D．落地时竖直方向的速度大小为4m/s
【变式演练3】（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞
向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的
夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小
值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）【变式演练4】如图所示，在距水平地面 的光滑平台边缘O点，将质量 可视为质点的
物块，以 的速度水平抛出，不计空气阻力，取重力加速度 。
（1）求物块抛出点O到落地点A所用的时间；
（2）求物块抛出点O到落地点A之间的水平距离；
（3）求物块落到A点时的速度的大小和方向。
题型二 平抛运动的临界、极值问题
【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最
小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向
恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
【例1】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要
使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于 。为了观察到
“水漂”，某同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，观察到在水面跳了三次，第四次已不能从水面
跳起。石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变大小减为接触前的一半、竖直方向的速度方向反向
大小减为接触前的四分之三。不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，求：
（1）第一次落至水面时竖直方向的速度大小；
（2）抛出速度大小的范围。
【变式演练1】恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速
度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（
）A． B． C． D．
【变式演练2】无人机操作员练习使用无人机将模拟弹从楼顶右端上方投进如图所示楼房的窗户中，已知
楼间距为l．窗户距楼顶高度为h，为更好地将模拟弹投进窗户，模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户的
效果更好，重力加速度为g．不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．无人机水平飞行速度越大越好
B．无人机应该斜向上飞行再投弹
C．无人机投弹的最佳位置是紧贴楼顶水平飞行
D．无人机投弹的最佳速度只能是
【变式演练3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q
点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A
点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度 ，山坡与水平地面间夹角为 ，
重力加速度为g，空气阻力不计， ， ，则（ ）A．甲同学抛出的小石块初速度大小为
B．甲同学抛出的小石块初速度大小为
C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为
【变式演练4】（2024·山西晋城·三模）在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女
排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为 ，发球员
在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点， ，不计
空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为
题型三 斜面上的平抛问题
类型1.顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解位移.
x＝vt
0
y＝gt2
tan θ＝
可求得t＝.
(2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解速度
v＝v，v＝gt
x 0 y
tan θ＝
t＝.
【例1】（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度 从跳台顶端A水平
飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为 ，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包
括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练1】（2024·贵州遵义·三模）可视为质点的运动员从P点以 的速度水平飞出，若不计空气阻力，
运动员在空中飞行3s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取
。则运动员由P到Q的过程中（ ）
A．水平初速度大小为30m/s B．水平初速度大小为20m/s
C．P到Q的位移大小为45m D．P到Q的位移大小为60m
【变式演练2】.近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受
学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度
大小之比为 ，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列
说法正确的是（ ）A．他们飞行时间之比为
B．他们飞行的水平位移之比为
C．他们速度变化之比为
D．他们在空中离坡面的最大距离之比为
【变式演练3】（2024·湖北·模拟预测）北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳
台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°
的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O
点以v=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑
0
行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最
远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下
列说法正确的是（ ）
A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2
B．B点距离着陆坡面的距离为9 m
C．O、M间的距离为125m
D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小类型2.顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角
1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)：
合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝.
2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方
向
分解速度tan θ＝＝
【例2】如图所示，从a点以初速度v=6m/s水平抛出一质量m=0.5kg的小球（视为质点），小球恰好从竖
0
直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧
轨道半径R=l.2m，bc段圆弧所对的圆心角α=60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度
g=10m/s2。则下列分析错误的是（ ）
A．a、b两点的高度差为5.4m
B．小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70N
C．小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55N
D．小球从d点离开后还能上升的高度为4.8m
【变式演练】如图所示，以速度 从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度
方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为 （ ，
），不计空气阻力，取重力加速度为 。下列说法正确的是（ ）A．O点到P点的竖直距离为0.45m
B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小
D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度不变
类型3.对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角
对着斜面平抛
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图)
处理方法：分解速度.
v＝v
x 0
v＝gt
y
tan θ＝＝
可求得t＝.
【例3】（2024·安徽安庆·三模）如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点
正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运
动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正
确的是（ ）A．细绳的长度为
B．绳刚要拉断时张力为
C．小球做平抛运动的时间为
D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点
【变式演练1】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为 。小球
落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为
g，则（ ）
A．小球在B点的速度大小为
B．小球从A点运动到B点的时间为
C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为
D．小球从B点运动到C点的时间为【变式演练2】如图所示，倾角为 的斜面体固定在水平面上，小球 在斜面底端正上方以速度 向右水
平抛出，同时，小球 在斜面顶端以速度 向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落
在斜面上的同一点，且 球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小， ，
。则 等于（ ）
A． B． C． D．
类型4 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝＝＝
【例4】.如图所示，倾角为37°的斜面体 固定放置在水平面上，斜面的高度为 ， 点是A点正上方
与 点等高的点，让一小球（视为质点）从 点水平向左抛出，落在斜面的 点，已知 、 两点的连线
与斜面垂直，重力加速度为g， 、 ，下列说法正确的是（ ）
A．小球在 点的速度为B．小球从 点到 点的运动时间为
C．小球在 点的速度大小为
D．小球在 点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【变式演练1】（2023·四川雅安·模拟预测）如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的
C点处有一小孔，若一小球从B点的正上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D点（小球
视为质点，小孔的直径略大于小球的直径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C两点的连线正好
与斜面垂直，小球从 A到C的运动时间为t，重力加速度为g， 下列说法正确的
是（ ）
A．A、C两点间的高度差为gt2 B．小球在A点的速度为
C．A、C两点间的距离为 D．A、D两点间的高度差为
【变式演练2】如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度 抛出一个小球，不计空气阻力，若小
球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间 为（ ）
A． B． C． D．【变式演练3】如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v 时，小球落
0
到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则( )
A.小球从抛出到落到斜面的时间为
B.小球从抛出到落到斜面的时间为
C.小球的抛出点到斜面的距离为
D.小球的抛出点到斜面的距离为
题型四 有约束条件的平抛运动模型
类型1 对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。
0
【例1】（2024·浙江·三模）如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙
上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点， ，击中A点的网球水平
射出时的速度为 ，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（ ）A．击中B点的网球水平射出时的速度为
B．击中B点的网球水平射出时的速度为
C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退
D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进
【变式演练1】如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一
高度，小球的水平初速度分别为 、 ，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且
AB=BC，则 为（ ）
A．2∶1 B． C． D．
【变式演练2】“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都是将
飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次打靶
时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（ ）A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离
B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度
C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度
D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度
类型2 半圆内的平抛问题
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，
如图所示，位移大小等于半径R
利用位移关系
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R
的圆弧上，如图所示，水平位移x与R
的差的平方与竖直位移的平方之和等于
半径的平方
【例2】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同
的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为 和 ，不
计空气阻力。则小球（ ）A．运动时间 B．两次运动速度变化
C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D．
【变式演练1】（2024·河南开封·一模）如图所示， 光滑圆弧轨道AB末端切线水平，与 光滑圆弧轨道
BCD在B处连接且固定，圆弧轨道BCD的半径为r，圆弧轨道AB的半径r 未知且可调节。一质量为m的
2 1
小球，从A点（与O 等高）静止释放，经过B点落在圆弧轨道BCD上。忽略空气阻力，下列说法正确的
1
是（ ）
A．小球经过B点时对轨道的压力与r 的大小无关
1
B．只要小球在空中运动时间相同，落在圆弧轨道BCD上时的动能就相同
C．适当调节r 的大小，小球可以垂直落在圆弧轨道BCD上
1
D．当 时，小球在空中运动的时间最长
【变式演练2】如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为 圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以
大小不同的初速度v 沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下
0
列说法正确的是（ ）A．落在球面上的最小速度为
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v 大小无关
0
D．无论调整v 大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
0
【变式演练3】如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原点，沿平台右侧竖直向下为
y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为
R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度v（大小未知）沿
0
x轴正方向平抛。重力加速度大小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．当初速度 的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上
B．初速度 越大，小球在空中运动的时间越长
C．初速度 时，小球落到圆弧轨道上的动量最小
D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为【变式演练4】如图所示， 是半圆弧的一条水平直径， 是圆弧的圆心， 是圆弧上一点，
，在 、 两点分别以一定的初速度 、 水平抛出两个小球，结果都落在 C点，则两个球
抛出的初速度 、 的大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练5】如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在
A点以初速度v 平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度
1
v 向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（ ）
2
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为
题型五 平抛的多解问题
【例1】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡
板碰撞），重力加速度为g。
（1）求小球的初速度大小；
（2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大
反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。
【变式演练1】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高 ，内径 ，现有一刚性
小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以 的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。
已知重力加速度 ，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度 可能
是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点
垂直墙面以初速度 水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的
A点。设B点距地面高度为 ，C点距地面高度为 ，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是
（ ）A．
B．
C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点
D．仅将初速度 增为 （n为正整数），小球可能落在N或Q点
【变式演练3】（2024·云南·模拟预测）如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺
时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者
从水平跑道边缘P点以速度 向右跳出，初速度方向平行于 方向，且运动轨迹与此时刻 在同一竖
直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若跳出时刻不变，仅增大 ，参赛者必定落水
B．若跳出时刻不变，仅减小 ，参赛者一定会落在 之间
C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点
D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点题型六 平抛与圆周的临界问题
【例1【例3】（2023·河北·高三学业考试）某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端固定在离
水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由静止开始下落，到达最低
点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（ ）时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质
点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同
B．当绳长 时，平抛运动的水平位移有最大值，为
C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同
D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同
【变式演练1】一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另一端系有质量为 的小球，保持绳绷直将小球拉到
绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知 点离
地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远
【变式演练2】一质量为 可视为质点的小球，系于长为 的轻绳一端，绳的另一端固定在 点，假定绳
不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从 点的正上方距离 点 的 点以水平速度 抛出，如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达 点正下方时，绳对质点的拉力为
题型七 斜抛运动的理解和分析
1．定义：将物体以初速度v 斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
0
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v ＝vcos θ，v ＝vsin θ.
0x 0 0y 0
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v t＝(vcos θ)t①
0x 0
v＝v ＝vcos θ②
x 0x 0
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v t－gt2＝(vsin θ)t－gt2③
0y 0
v＝v －gt＝vsin θ－gt④
y 0y 0
5.方法与技巧
(1)斜抛运动中的极值
在最高点，v＝0，由④式得到t＝⑤
y
将⑤式代入③式得物体的射高y ＝⑥
m
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t ＝⑦
总
将⑦式代入①式得物体的射程x ＝
m
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
0
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根
据对称性求解某些问题．
【例1】掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三（5）班学生周红要参加掷铅球
比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2， ）
（1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多
0
少米？（2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从
离地高为H=1.65m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次
推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
【变式演练1】如图甲所示，篮球是一项学生热爱的运动项目，在一次比赛中，某同学以斜向上的速度将
篮球抛出，篮球与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图乙所示。若此次运动中；
篮球的初速度与竖直方向夹角θ=53°，大小为v=5m/s，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方后被反向弹回并
1
且从篮筐正中央落下。已知撞击点与篮筐竖直距离h=0.2m，篮球与篮板撞击时间为 。篮筐中心
与篮板的水平距离为L=0.6m，篮球质量为m=0.6kg，重力加速度为g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不
计空气阻力，篮球运动过程中可以看成质点。求：
（1）篮球抛出瞬间，同学对篮球所做的功W的大小；
（2）篮球与篮板撞击前瞬间的速度v 的大小和撞击后瞬间的速度v 的大小；
2 3
（3）篮球与篮板撞击瞬间，篮球所受水平方向平均撞击力F的大小。
【变式演练2】如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投篮，篮球在A点出手时与水平方向成
60°角，速度大小为v，在C点入框时速度与水平方向成 角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取
0
重力加速度为g，则下列分析正确的是（ ）A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变
B．AC两点的高度差大小为
C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍
D．篮球在C点时候的速度大小为 v
0
【变式演练3】两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过程如图所示，篮球抛出点 距离篮筐初始位置的
水平距离为 、竖直高度为 。同学甲在 点原地静止不动，将篮球以速度 与水平成
角的方向斜向上抛出，篮球投入篮筐；同学乙以 的速度运球至 点，将篮球相对同学乙自身竖直向
上抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度 取 ， ，
。下列说法正确的是（ ）
A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为
B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为
C．同学甲抛出的篮球最大高度较高
D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等
【变式演练4】（2024·山东济宁·三模）某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的方
向可调节。该喷灌机的最大功率为 ，喷灌机所做功的 转化为水的动能，喷口的横截面积，水的密度 ，重力加速度 ， ，喷口距离地面的高度
，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求：
（1）喷灌机的最大喷水速度v；
（2）喷口出水速度方向与水平面夹角 时，该喷灌机的最大喷灌面积 。（保留三位有效数字）
题型八 类平抛运动
1.类平抛运动的特点
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上
做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。
(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(3)运动特点：在初速度v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 a
0
＝。
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v 水平抛出
0
(v 的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
0
2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。
【例1】（2024·贵州·模拟预测）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度 抛出，A在竖直平面内运动，
落地点为P，B在光滑斜面上运动，落地点为 。不计阻力，则 在x轴方向上的远近关系是
1
（ ）A． 较远 B． 较远
C． 等远 D．B运动的时间
【变式演练1】（2024·天津宁河·二模）如图所示是一儿童游戏机的简化示意图，光滑游戏面板倾斜放置，
长度为8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB与底边垂直，半径为R的四分之一圆弧轨道
BC与AB相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系
一轻绳。现缓慢下拉轻绳使弹簧压缩，后释放轻绳，弹珠经C点时，与圆弧轨道无作用力，并水平射出，
最后落在斜面底边上的位置D（图中未画出）。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。
直管AB粗细不计。下列说法正确的是（ ）
A．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能达到最大
B．弹珠脱离弹簧的瞬间，其机械能达到最大
C．A、D之间的距离为
D．A、D之间的距离为
【变式演练2】如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度
斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力 的作用，风力与 的夹角为30°，风
力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度 的夹角为60°
C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为
【变式演练3】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小
球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v 水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为
0
恒定值F，F的方向始终与初速度v 的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线
0
与初速度v 方向的夹角为θ。试求：
0
(1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v 方向夹角的正切值”；
0
(2)OP之间的距离。
题型九 抛体运动中的功能与动量
【例1】如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB与水平方向的夹角 =30°。一小球自A
点由静止释放，从圆周上的C点以速率v 穿出圆形区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零
0的不同水平速度平行该竖直面射入圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)该圆形区域的半径；
(2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小；
(3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv，该小球进入圆形区域时的速度大小。
0
【变式演练1】质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速
度为g.则物块( )
A．抛出点的高度为
B．落地点到抛出点的水平距离为
C．落地时重力的功率为g
D．整个下落过程中动量变化量的大小为2
【变式演练2】我国正在攻关的 超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公
里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛
出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为
轨迹的最高点，小球在M点动能为 ，在O点动能为 ，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球所受重力和风力大小之比为
B．小球落到N点时的动能为
C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为
D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为【变式演练3】如图所示，网球运动员发球时，将质量为m的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速
度 水平抛出，网球经过M点时，速度方向与竖直方向夹角为 ；网球经过N点时，速度方向与竖直方
向夹角为 。不计空气阻力，网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练4】小明在进行定点投篮，以篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，将一质量为m的篮
球由A点投出，其运动轨迹经过A、B、C、D，C为篮球运动的最高点，如图所示。已知重力加速度大小
为g，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．C点坐标为（0，L）
B．篮球由B到C和由C到D的过程中，动能的变化量相同
C．篮球在C点时，重力的瞬时功率为
D．篮球由A到B和由C到D的过程中，动量的变化量大小相等，方向相反
【变式演练5】如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架 长为 ，且，从顶点 沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为 。求：
（1）从线段 上射出的小球中的最小初速度；
（2）分别击中 点和 点的小球的初动能之比；
（3）所有运动轨迹与线段 相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。
【变式演练6】如图所示，竖直面内有一正方形区域，其 边和 边水平。一小球 自 点由静止释放，
从 点以速率 穿出区域。现将 等若干个小球自 点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，
小球从 边上除 两点以外的各处穿出 边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为 。
（1）求该正方形区域的边长 ；
（2）小球 是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为 的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入
正方形区域时速度的大小 ；
（3）小球 穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为 ，求小球 穿出正方形区域时速度
的大小 。
