文档内容
第 07 讲 圆锥曲线中的离心率问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第12题,5分 求双曲线的离心率 无
根据椭圆过的点求标准方程
2024年新I卷，第16题,15分 求椭圆的离心率 椭圆中三角形(四边形)的面积
根据韦达走理求参数
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
2023年新I卷，第5题,5分 无
由椭圆的离心率求参数的取值范围
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
2023年新I卷，第16题,5分 无
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（文科）， 根据a、b、c求椭圆标准方
根据离心率求椭圆的标准方程
第11题,5分 程
2022年全国甲卷（理科），
求椭圆的离心率或离心率的取值范围 已知两点求斜率
第10题,5分
用和、差角的正弦公式化
2022年全国乙卷（理科），
求双曲线的离心率或离心率的取值范围 简、求值
第11题,5分
正弦定理解三角形
椭圆中焦点三角形的周长问
2022年新I卷，第16题,5分 根据离心率求楠圆的标准方程
题
2021年全国乙卷（理科）， 根据二次函数的最值或值域
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
第11题,5分 求参数
2021年全国甲卷（理科），
求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无
第5题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分
【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响2.能用定义法求离心率
3.能用文中其他方法快速求解离心率
4.能求解离心率的相关最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大
题中命题，需重点强化练习
知识讲解
一、椭圆离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式2: 变形
证明:
公式3:已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 ,
设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率
证明: ,由正弦定理得:
由等比定理得: ,即
.
两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点
公式 以椭圆
4:
, 则
证明: 由正弦定理有.
公式5:点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且.
,则
轴上时,
当曲线焦点在
或者 而不是 或
注:
二、双曲线离心率求解的5种常用方法
公式1:公式
证明:
公式3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形
,则
证明: ,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即 。
公式4:以双曲线 的两个焦点 及双曲线上任意一点 除实轴上两个端点外)
为顶点的 ,则离心率
证明:由正弦定理,有
即
又公式5:点 是双曲线焦点,过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率,
,则 ,当曲线焦点在 轴上时,
注: 或者 而不是 或
考点一、 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·全国·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线 的一条渐近线过点 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川乐山·三模）设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线 的焦点分别是 是等边三
角形，若 的中点 在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，焦点为 , ，一个短轴顶点为 ，则
（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
考点二、 利用“公式 3 ”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率1. 已知 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率为 )
A. B. C. D.
2．（全国·高考真题）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥
，
∠ = ，则C的离心率为
A． B． C． D．
5．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点
P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·校考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两
个焦点，P为双曲线C上一点， 且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·山东菏泽·高三统考）设 ， 是椭圆 的两个焦点.若在 上存在一点 ，
使 ，且 ，则 的离心率为 .考点三、 利用“公式 5 ”求椭圆、双曲线离心率
1．（全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为F且斜率为 的直线交C于A、B
两点，若 ，则C的离心率为
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直
线与 相交于 两点．若 ，则
A．1 B． C． D．2
3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线
交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双
曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交
椭圆C于点D，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点 四 、 斜率乘积求离心率1．（2024·四川达州·二模）双曲线 的左、右顶点分别为 为 上一点，若
直线 与直线 斜率之积为2，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）椭圆 的右顶点为 ，直线 与椭圆 交
于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点 五 、 余弦定理求离心率
1．（2021·全国·高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设 ， 是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 的直线
与 交于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近
线的垂线，垂足为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为
的直线与椭圆 的一个交点为 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
1．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶
点，过 作 的垂线，并与椭圆交于点 ，且满足 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·三模）已知 是椭圆 的左右焦点， 上两点 满足：
， ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
x2 y2
3．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 ，倾斜角为 且
a2 b2过原点的直线 交椭圆于 两点.若 ，设椭圆的离心率为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与椭
圆 相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 ， ．若O为坐标原点， ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点 六 、 构造齐次方程求离心率
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，以 为圆心
的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为 （ 为椭
圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆 的左右焦点为 ，右顶点为 ，已知点
在椭圆 上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点 ，
，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且 ，
则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
直线 过点 且与椭圆 的长轴垂直，直线 过椭圆 的上顶点与右顶点且与 交于点 ，若 （
为坐标原点），且 ，则椭圆 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， （如
图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点 七 、 离心率的范围及最值问题
1．（2021·全国·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（北京·高考真题）椭圆 的焦点为 ，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（湖南·高考真题）设 分别是椭圆 的左、右焦点，若在其右准线上存在P，
使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 是椭圆 与双曲线 的一个公共
点，且 ，其离心率分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是椭圆 上的动点，若动点 到定点 的距
离 的最小值为1，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，若 上存在不同
的两点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南濮阳·模拟预测）点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于
椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同
的焦点 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，
那么 最小为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x
轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 的离心率是椭圆 的离心率的
倍，则 的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线 始终与椭圆 （ 且
）有公共点，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·二模）设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，
直线 与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右顶点，点 在 上，
为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为
（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且点 关于
点 轴对称，若直线 均存在斜率，且斜率之积为 ，记 的离心率为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 分别
为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知 ，则双曲线 与 有相同的
（ ）
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线
三、填空题
10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与直线
垂直，则C的离心率为 .一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过
的弦 满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·三模）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作 的
渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于 点，此时 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上第一象限
内的一点，且 与 轴相交于点 ，离心率 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东菏泽·二模）已知 分别为椭圆 和双曲线 的离心率，双曲
线渐近线的斜率不超过 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 : 的左焦点为 ，过 的直线 交圆
于 ， 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津·二模）设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点 的
直线与双曲线C交于A，B两点， ， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直
线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024·陕西西安·三模）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交
双曲线的左支于A，B两点， ， ，则双曲线的离心率为 ．
9．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆 上关于原点对称的两点，点P
在第一象限， 、 是椭圆C的左、右焦点， ，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围
为 .
10．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，右焦点是 ，点
是双曲线 右支上异于顶点的动点， 的平分线与直线 交于点 ，过 作 轴，垂足是 ，
若 恒成立，则双曲线 的离心率为 ．
1．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行
于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
3．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的方程．
4．（2022·全国·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过
作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 .
7．（全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
8．（全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过
且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
9．（重庆·高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在
一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
10．（天津·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线 的两
条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．
11．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（福建·高考真题）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正
三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
