文档内容
第 07 讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求离散型随机变量的均值
2024年新I卷，第14题,5分 计算古典概型问题的概率
均值的性质
利用对立事件的概率公式求概率
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分 求离散型随机变量的均值
独立事件的乘法公式
2023年新I卷，第21题,12分 求离散型随机变量的均值 利用全概率公式求概率
2022年全国甲卷（理）， 写出简单离散型随机变量分布列
/
第19题,12分 求离散型随机查量的均值
写出简单离散型随机变量分布列
2021年新I卷，第18题,12分 /
求离散型随机查量的均值
求离散型随机查量的均值
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分 利用导数研究方程的根
均值的实际应用
2020年新I卷，第12题,5分 利用随机变量分布列的性质解题 对数的运算
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握离散型随机变量的定义
2.会表示离散型随机变量的分布列
3.会计算离散型随机变量的均值和方差
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考
查，需重点强化复习知识讲解
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，…，x，…，x ，X取每一个值x(i＝1,2，…，
1 2 i n i
n)的概率P(X＝x)＝p，则表
i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①p≥0(i＝1,2，…，n)；②p＋p＋…＋p＝1.
i 1 2 n
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则称E(X)＝xp ＋xp ＋…＋xp＋…＋xp 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值
1 1 2 2 i i n n
的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n则(x－E(X))2描述了x(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝∑ (x－E(X))2p为这些偏离程
i i i i
度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算
术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
考点一、 离散型随机变量分布列
1．（23-24高三·阶段练习）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密
闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3.
(1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率;
(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列.
2．（2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6
名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
1．（23-24高二上·上海·课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道
题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列.
2．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业
生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学
通过复试的概率分别为 ， ，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概
率为 ．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
考点二、 离散型随机变量的均值1．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，
负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜
的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
3．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行
1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结
束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测
结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
4．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学
先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从
另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答
正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
1．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线
及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，
20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件．
(1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；
(2)求该生两次投篮得分 的分布列及数学期望．
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生
的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的
用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为 两组，规定每名学生从
两组题目中各随机抽取2道题作答．已知该班学生甲答对 组题的概率均为 ，答对 组题的概率均
为 ．假设学生甲每道题是否答对相互独立．
(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了 道题，求 的分布列及数学期望．
3．（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2
个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1
个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项
正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 .在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明
该题得分X的数学期望为3，求p；
(2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选
A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3个.若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
4．（2024·湖南邵阳·三模）为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人
根据所获得的分数获得相应的奖品．工作人员给每位答题人提供了A，B两类题目．规定每位答题人共需
回答3道题目．现有两种方案供答题人任意选择：甲方案：只答A类题目；
乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则
下一次答B类题目．
已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分．若小李每道A类
题目能答对的概率均为 ，每道B类题目能答对的概率均为 ，且每道题能否答对与回答顺序无关．
(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；
(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？
考点三、 离散型随机变量的方差
1．（浙江·高考真题）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
2．（浙江·高考真题）设 ，随机变量 的分布列如图，则当 在 内增大时，
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
3．（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子
中装有 个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球 ，摸完后全部
放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若 ， ，当袋中的球中有 个所标面值为 元，1个为 元，1个为 元时，在员工所获得的
红包数额不低于 元的条件下，求取到面值为 元的球的概率；
(2)若 ， ，当袋中的球中有1个所标面值为 元，2个为 元，1个为 元，1个为 元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌
曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名
才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲
的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“ ”或者“ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期
望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
1．（2024·福建泉州·二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中
随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．游戏规则是：主持人
请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号
箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子．按游戏规则，主持人将随机打开
甲选择之外的一个空箱子，记为X号箱．
(1)求 的概率；
(2)求X的方差；
(3)若 ，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？
2．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的
重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学
生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简
单随机抽样，获得数据如表:
男 女
支持方案
24 16
一
支持方案
25 35
二
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布
列与数学期望;
(2)在(1)中 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小.
3．（2024·浙江·模拟预测）某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在商场内消费每满100元，可获得1张抽奖券；
②顾客进行一次抽奖需消耗1张抽奖券，抽奖规则为：从放有5个白球，1个红球的盒子中，随机摸取1个
球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得1份礼品，并得到
一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；
③每位顾客获得的礼品数不超过3份，若获得的礼品数满3份，则不可继续抽奖；
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得1份礼品的概率；
(2)顾客乙累计消耗3张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，则他在消耗第2张抽奖券抽奖的过程中，获
得礼品的概率是多少？
(3)设顾客在消耗 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满3份，要获得 张抽奖券，至少要在商场中消费满
元，求 的值.
（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为 .随机变量 表示当恰好出现 次失败时已经成
功的试验次数.则 服从参数为 和 的负二项分布.记作 .它的均值 ，方差
）
1．（2024·青海海西·模拟预测）一个袋中装有6个同样大小的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从
袋中随机取出3个小球，用X表示取出的3个小球中最大编号和最小编号的差．
(1)求 ；
(2)求随机变量X的分布列和数学期望．
2．（21-22高二下·广东广州·期中）甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对
方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为 ， .
(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为 ，求 的分布列；
(3)求 的期望及标准差.
3．（2024·广东·二模）某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有 的故
障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有 的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，
但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该
月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进
行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产．
(1)求第一个月恰好翻新一组设备的概率；
(2)设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值．
4．（2024·全国·模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了
自动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，
已知该同学每次射击成功的概率均为 .
(1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率；
(2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记
为三次射击总得分，求 的分布列及数学期望.
5．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量
（单位：g）服从正态分布 ，且 .
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于 的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取 （ 为正整数）包，记质量在 内的包数为 ，且
，求 的最小值.
6．（2024·黑龙江牡丹江·一模）某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，
参赛选手从 类 道题中任选 道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；
第二轮答题从 类 道题中任选 道进行答题，直到答完为止． 类题每答对一道得10分， 类题每答对
一道得 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分 分或 分为三等奖， 分为二等奖， 分
为一等奖．某班小张同学 类题中有5道会做， 类5题中，每题答对的概率均为 ，且各题答对与否互
不影响．
(1)求小张同学被终止比赛的概率；(2)现已知小张同学第一轮中回答的 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分 的分布列及期望；
(3)求小张同学获得三等奖的概率．
7．（2024·全国·模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，
C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：
A B C D E
甲车间 100 120 150 180 200
乙车间 50 120 200 150 180
(1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？
(2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率；
(3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析．
8．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）某学科测试题有多项选择题，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，若正确答案为两项，每对
一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；…．学生在作答某题时，对四个选项能正确地判断，
判断不了（不选）和错误的判断的概率如下表：
选项 作出正确的判断 判断不了（不选） 作出错误的判断
A 0.4 0.2 0.4
B 0.2 0.3 0.5
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
已知此题的正确选项为AD．
(1)求学生答此题得6分的概率；
(2)求学生此题得分的分布列及数学期望．
9．（2024·湖南益阳·一模）某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调
整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人
数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.
不满
满意 总计
意
男游
35
客女游
15
客
合计 100
(1)完成 列联表，依据表中数据，以及小概率值 的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满
意与否与性别有关?
(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园
进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 .求出 的分布列及数学期望.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
10．（2023·陕西西安·一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：
新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且这两种情况发生的
概率分别为 和 ；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能损失
，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 .
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据 ）
1．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣
滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己
选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
2．（2024·四川·一模）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投
个球，每投进一个球记 分，未投进记 分.
(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于 的概率；
(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为 .
①求 的分布列和数学期望；
②若 ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为 ，
当 为何值时， 恒成立？
3．（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至
18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发
展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育
形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传
统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如
下：
男 女 合计
了解 20
不了
20 40
解
合计
(1)将列联表补充完整；
(2)根据 的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3
人中女生人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
附： ，其中
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
4．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了 名高中学生户
外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这 名高中学生户外运动的时间分配，在 ， 两组内的学生中，采用分层
抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人进行访谈，记在 内的人数为 ，求 的分布列
和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取 名学生，用“ ”表示这 名学生中恰有 名学
生户外运动时间在 内的概率，当 最大时，求 的值.
5．（2024·北京门头沟·一模）2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公
路（简称新高速)全线35坐桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到 ，预计今年上半年开始通
车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟。新高速全线设颀主线收费站两处（分别位于
安家庄和西台子)和匝道收费站四处 (分别位于雁翅、火村、清水和斋堂)。新高速的建成为市民出行带来了
很大便利，为此有关部门特意从门头沟某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其
出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的
出口)，具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）。
项 清水出 雁翅出
斋堂出口 安家庄出口 火村出口 西台子出口
目 口 口
上
40 8 2 5 3 2
班
旅
30 20 10 10 12 8
游
探
16 10 10 5 5 4
亲
(1)从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；(2)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游
的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取 1 人，用 “
”表示此人从斋堂出口下高速，“ ”表示此人不从斋堂出口下高速：从该小区所有打算利用新
高速出行旅游的人中随机抽取1人，用 “ ”表示此人从斋堂出口下高速，“ ”表示此人不从
斋堂出口下高速，写出方差 的大小关系． (结论不要求证明）．
6．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束后，
各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，27，高
三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会的4名学
生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第二场分享
会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，…，按照
这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.
(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为 ，求 的分布列和期望.
7．（2024·辽宁·模拟预测）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知
这种动物 拥有两个亚种（分别记为 种和 种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组
计划在该区域中捕捉100个动物 ，统计其中 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.
重复进行这个试验共20次，记第 次试验中 种的数目为随机变量 .设该区域中 种的数
目为 ， 种的数目为 （ ， 均大于100），每一次试验均相互独立.
(1)求 的分布列；
(2)记随机变量 .已知 ，
（i）证明： ， ；
（ii）该小组完成所有试验后，得到 的实际取值分别为 .数据 的平均值
，方差 .采用 和 分别代替 和 ，给出 ， 的估计值.
（已知随机变量 服从超几何分布记为： （其中 为总数， 为某类元素的个数， 为抽取
的个数），则 ）8．（2024·浙江温州·模拟预测）在坐标平面内 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数
的一个整点 ，记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时，写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与 分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此
来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ，试证明 .
9．（2024·安徽·三模）现有甲､乙两个不透明盒子，都装有1个红球和1个白球，这些球的大小､形状､质地
完全相同.
(1)若从甲､乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中， 次这样的操作后，记甲盒子中红
球的个数为 .求 的分布列与数学期望；
(2)现从甲中有放回的抽取 次，每次抽取1球，若抽取次数不超过 次的情况下，抽取到2次红球，
则停止抽取，一直抽取不到2次红球，第 次抽取完也停止抽取，令抽取停止时，抽取的次数为
，求 的数学期望 ，并证明： .
10．（2024·安徽芜湖·模拟预测）有一个摸球游戏，在一个口袋中装有 个红球和 个白球，这些球除颜
色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若 、 ，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若 ， ．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一
次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是
他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记 为第n次是甲摸
球的概率，求 ；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，
当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y
服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功
时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的
帕斯卡分布或负二项分布，记作 ．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生
物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到
这里的 ， ， ．求 ．
1．（浙江高考真题） 袋子 和 中装有若干个均匀的红球和白球，从 中摸一个红球的概率是 ，从
中摸出一个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望 .
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ，
求p的值.
2．（山东·高考真题）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一
轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都
没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜
对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
3．（安徽·高考真题）本小题满分13分）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作
时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、
丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 ，假设 互不相等，且假定各人
能否完成任务的事件相互独立.
（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后
顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是 的一个排列，求所需派出人员数目 的分布列和均值（数字期望） ；
（3）假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期
望）达到最小．
4．（四川·高考真题）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标
准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有
人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ；两小时以上且
不超过三小时还车的概率分别为 ；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望
5．（陕西·高考真题）如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不
影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布
列和数学期望．
6．（全国·高考真题）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4
件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通
过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，
这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用
记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
7．（福建·高考真题）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次
抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 ,求 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分
的数学期望较大？
8．（江西·高考真题）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，
当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一
次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件
产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
9．（山东·高考真题）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 分，没有命
中得 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ,每命中一次得 分，没有命中得 分.该射手每次射击的
结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 .
10．（江西·高考真题）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，
每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8
倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、
0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、
0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一
年与第二年相互独立，令 表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出 的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、
15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？
