文档文本内容
第 08 讲 二项分布、超几何分布及正态分布
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
指定区间的概率
2024年新I卷，第9题,6分 /
正态分布的实际应用
2023年全国甲卷（理）， 超几何分布的均值 计算几个数的中位数
第19题,12分 超几何分布的分布列 独立性检验解决实际问题
2022年新Ⅱ卷，第13题,5分 正态分布指定区间的概率 /
2021年新Ⅱ卷，第6题,5分 正态分布的实际应用 /
知识讲解
1. 独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
在相同条件下重复做的n 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试
定义 次试验称为n次独立重 验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，
复试验 记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
计算 A(i＝1,2，…，n)表示第 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
ii次试验结果，则
公式 P(AAA…A)＝ Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
1 2 3 n
P(A)P(A)…P(A)
1 2 n
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概
率．
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试
验次数n和变量的概率，继而求得概率．
2. 两点分布
X 0 1
P 1 － p p
这样的分布列叫做两点分布列．
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
3. 超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X
＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布
列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
X 0 1 … m
P …
4. 正态分布
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；
(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；
(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.考点一、 二项分布
1．（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，
且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不影响.
(1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
(2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【答案】(1)分布列见解析，2
(2)
【分析】（1）根据题意可知 ，进而利用二项分布求出 的分布列及数学期望；
（2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜2局，甲获胜3局，从而结合
（1）可得结果.
【详解】（1）由题意得， ，X的取值可能为0，1，2，3，
则 ， ，
， .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为 ，所以X的期望 .
（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：
甲获胜2局，甲获胜3局，
所以所求概率为 .
2．（2024·安徽·三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取
了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加
体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间
初中
160 40
生
高中
140 60
生
(1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值 ）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态
度有关联；
(2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，
求X的分布列以及数学期望 .
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】(1)不能
(2)分布列见解析，3
【分析】（1）先得出 ，对照临界值表可得结论；
（2）依题意， ，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望 .
【详解】（1）完善二联表如下：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计
初中
160 40 200
生
高中
140 60 200
生
总计 300 100 400
零假设 ：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则 ，
故依据 的独立性检验，没有充足证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
（2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为
依题意， ，
，
，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
则 .
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽牡丹栽培始于隋，兴于唐，盛于明清，自古享有“曹州牡丹甲天下”
的美誉.四月，菏泽大地上牡丹次第绽放，观赏牡丹拥有9大色系､10大花型､1280余个品种，以最亮眼的
姿态恭迎八方游人.某旅行团带游客来菏泽观赏牡丹，游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡丹园的一处游览，
若每位游客选择曹州牡丹园的概率是 ，选择中国牡丹园的概率是 ，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机选取 人，记 人中选择曹州牡丹区的人数为 ，求 的分布列､均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择曹州牡丹园记 分，选择中国牡丹园记1分，记已调查过的累计得分为
分的概率为 ，求 .
【答案】(1) 的分布列见详解；均值为 ；方差为
(2)
【分析】（1）随机变量 服从二项分布，即 ，根据二项分布公式计算分布列、利用, 计算均值与方差；
（2）由题意可推出 时， ，构造 为常数数列，进而构造出 是以
为首项，公比为 的等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】（1）随机变量 的可能取值为 ，且 ，其中 ，
所以 ， ，
， .
所以随机变量 的分布列为
所以均值为 ，
方差为 .
（2）由题意可知， ， ,
所以当 时， ，
则 ，
所以 为常数数列，且 ，
所以 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
当 时， 成立，
故 .4．（2024·湖北·模拟预测）组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了
扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B，单独投资100万元项目A的收益记
为随机变量X，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y．若将100万资金按 进行组合
投资，则投资收益的随机变量Z满足 ，其中 ．假设在组合投资中，可用随机变量
的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.
(1)若 ， ，求Z的期望与方差；
(2)已知随机变量X满足分布列：
X … …
… …
随机变量Y满足分布列：
Y … …
… …
且随机变量X与Y相互独立，即 ， ，
．求证： ；
(3)若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增
值当前资产的一倍．投资项目 是低风险资产，满足 ．试问 能否满足投资第1年的收
益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．
【答案】(1)期望为3，方差为2.91
(2)证明见解析
(3)满足，理由见解析
【分析】（1）根据二项式分布的数学期望及方差公式计算，结合 ，即可求解；
（2）根据所给公式及方差与期望公式证明即可；
（3）根据期望及方差公式求出 ，再求出当 时的 ，即可得出判断．
【详解】（1）由 为二项分布可知：
， ，
当 时， ， ，
故组合投资的期望为3，方差为2.91．
（2）因为 ，
所以 ，因为
，
所以
，
因为 ，
由于 独立，所以 ，
从而
而 ，
同理 ，
故 ，
从而 ．
（3）由（1）得 ， ，
所以 ，
，
于是 ，
，
由于 ， ，
故 满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500．
【点睛】关键点睛：第（2）问中，利用期望及方差的性质，证明关键步骤为将 转
化为一个双重求和 ，结合 ，
进行证明．
1．（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点 的横坐标 ，另一枚的点数记为点 的纵坐标 ，令事件 “ ”，事件 “ 为奇数”.
(1)证明：事件 相互独立；
(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点 在圆 内的次数 的分布列与期望.
【答案】(1)证明见解析,
1
(2)分布列见解析，期望为 .
2
【分析】（1）要证明事件 相互独立的充要条件是 ，所以先要去求出 ，
， ，然后再根据充要条件加以判断；
（2）先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点 在圆 内的概率，然后根据连续抛掷三次，说明
，即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望.
【详解】（1）证明：由题意可知 点的坐标有 种，其中事件 所包含的基本事件有
， ， ， ， ， ，共6种，所以 ，
事件 所包含的基本事件有 种，所以 ，
积事件 有 ， ， ，共3种，所以 ，
满足 ，所以事件A、B相互独立；
（2）点P在圆 内的基本事件有： ， ，(2,1)， ， ， ，共6种 ，
所以点P在圆 内的概率为 ，
由题意可知， ，
，
，
，
，
所以，X的分布列为X 0 1 2 3
P
所以 .
2．（2024·四川宜宾·模拟预测）某地为调查年龄在 岁段人群每周的运动情况，从年龄在 岁段
人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
女性 男性
每周运动超过2小时 60 80
每周运动不超过2小时 40 20
(1)根据以上信息，能否有 把握认为该地年龄在 岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
(2)用样本估计总体，从该地年龄在 岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小
时的人数为 ，求 的分布列和数学期望 .
参考公式： .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)有 把握认为该地 岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）计算卡方进行独立性检验即可；
（2）由已知得， ，再列出分布列求解数学期望即可.
【详解】（1）由 .
知：有 把握认为该地 岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
（2）由已知得，
，，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
3．（2024·河北·三模）某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有 的学生喜
欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等．
(1)记 表示喜欢滑雪运动的人数，求 的数学期望．
(2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学
生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不
喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽
取的次数不超过 次，其中 小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动
的学生的人数为 ，求抽到 名学生不喜欢滑雪运动的概率．
【答案】(1) ．
(2)
【分析】（1）由题意 服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解；
（2）由题意可知， 时，前 次取到是不爱好滑雪的人，第 次取到爱好滑雪得的人
，利用独立事件的乘法公式求解，当 时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束.
【详解】（1）由题意， ，
，
.
（2）由题意， 的可能取值为 ，
， ，， ，
，
，
综上， .
4．（2024·河南驻马店·二模）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销
售情况进行统计，如图所示.
(1)求 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表）；
(2)以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间 内的天数为 ，求
的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有 两个盒
子，其中 盒中放有9张金卡､1张银卡， 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择
其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次
抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相
同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.
【答案】(1) ，150
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有的矩形面积之和等于1求得 值，根据平均数公式列式计算即得；（2）理解题意，判断 ，分别计算 的所有可能指的概率，列出分布列，计算数学期望即得；
（3）根据条件概率的计算公式可求该概率.
【详解】（1）依题意得
解得 .
所求平均数为 .
（2）因汽车销售量在区间 内的概率为 ，
在所有工作日中随机选择4天，相当于一个4重伯努利试验，故 ，
则 ，
0 1 2 3 4
故 .
（3）设 为“小明在首次抽奖抽出银卡”，则 ，
设 为“小明第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡”，
则 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图，二项分布以及条件概率公式的应用，属于较难题.
解题关键在于根据题设条件，确定伯努利概型并进行计算，设出相应的事件，正确理解题意，利用条件概
率公式计算.
考点二、 超几何分布1．（2023·陕西榆林·模拟预测）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100
米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．
(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选
择3000米服务的概率；
(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选
4×100米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选4×100米接力的人数记作X，
求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】(1) ；
(2)分布列见详解， .
【分析】（1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择3000米服务为事件 ，利用组合知识和古典
概型概率公式求出 ，然后由条件概率公式可得；
（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.
【详解】（1）记小明选择60米袋鼠跳服务为事件 ，小明选择3000米服务为事件 ，
则 ， ，
所以 ，
即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为 .
（2）由题知， 的所有可能取值为 ，
由超几何分布概率公式得：
，
.
得随机变量X的分布列为：
0 1 2 3所以 .
2．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20
只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养
在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照
组
实验
组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得 ，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意， 的可能取值为 ，则 ， ， ，
所以 的分布列为：
故 .
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位
与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为 ，第21位数据为 ，
所以 ，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得， ，
所以能有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
3．（2024·福建泉州·模拟预测）某学校为了研究不同性别的学生对“村BA”赛事的了解情况，进行了一次
抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件 “了解村BA”， “学生为女生”，
据统计 ， .
(1)根据已知条件，补全 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，判断该校学生对“村BA”的
了解情况与性别是否有关？
了解 不了解 总计
男生
女生
总计
(2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附： ， .
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析， ．
【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出 ，将该值与临界值比较即可求解.
（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出 的所有可能取值并计算相应的概率，列
出分布列并根据数学期望公式可得出答案.
【详解】（1）因为 ，
所以对“村BA”了解的女生人数为 ，了解“村BA”的学生人数为 ，
结合男生和女生各80名，作出 列联表为：
了解 不了解 总计
男生 30 50 80
女生 5 75 80
总计 35 125 160
，
因此，有 的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；
（2）由(1)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，
其中男生人数为 ，女生人数为 ．
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
.
故随机变量 的分布列如下：0 1 2 3 4
则 .
1．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人
类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，
如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的
概率为 .
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以
表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为 ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为 ，求 的值．
20
【答案】(1)分布列见解析，E(ξ)=
7
(2)
【分析】（1）求出随机变量 的所有取值以及每一个值发生的概率即可得 的分布列，再根据数学期望的
公式即可计算得解 的数学期望.
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为
事件 ，进而由已知以及全概率公式P(C)=P(A)⋅P(C∣A)+P(B)⋅P(C∣B)即可求解.
【详解】（1）由题可知 的所有取值为2，3，4，且 服从超几何分布，
C2C2
10 2
C3C1
20 4
C4C0
5 1
P(ξ=2)= 5 2= = ，P(ξ=3)= 5 2= = ，P(ξ=4)= 5 2= = ，
C4 35 7 C4 35 7 C4 35 7
7 7 7
故 的分布列为：
2 3 4
2 4 1 20
则E(ξ)=2× +3× +4× = ．
7 7 7 7
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采
纳”为事件 ，
由已知得，P(C)=0.8，P(C|A)=0.9，P(C|B)=0.5，P(B)=p，P(A)=1−p，所以由全概率公式得P(C)=P(A)⋅P(C∣A)+P(B)⋅P(C∣B)=0.9(1−p)+0.5p=0.9−0.4 p=0.8，
解得 ．
2．（2024·湖北·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参
加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请
完成以下 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性
有关系；
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康
问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ，求 和
；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本
的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 ，求 的分布列和数学
期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2) ，(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得 ，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 ，由二项分布即可得 和 ；
（3）易知 的所有可能取值为 ，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得 ，
故 ， ．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以 的所有可能取值为 ；
且 服从超几何分布：
故所求分布列为
0 1 2 3可得
3．（2024·四川成都·模拟预测）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出 条鱼，
在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数
目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数 ．已知 ，设第二次捞出的 条鱼中身上有标记的鱼的数目为
随机变量 ．
(1)若已知 ， ．
①求 的均值；
②是否有 的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于 ）？
(2)若 ，其中身上有标记的鱼有 条，估计池塘中鱼的总数（将使 最大的 作为估计值）．
参考数据： ， ， ， ．
【答案】(1)①2；②没有 的把握认为能捞出身上有标记的鱼
(2)
【分析】（1）①由超几何分布的均值公式求解；②计算 ，判断 是否成立；
（2）由 ，令 ，利用作差比较，求 最大的 .
【详解】（1）①由题意可知 服从超几何分布，
则 ．
②由于 ，而 ，
从而 ，
因此 ， ，所以没有 的把握认为能捞出身上有标记的鱼．
（2）由题意， 且 ．
只需求使得 最大的 ．
由于 ， ，
从而因此，当 时， ，当 时， ．
所以，当 时， 最大．
综上所述， 的估计值为 ．
【点睛】关键点点睛：
求 最大时 的估计值，由 ，只需求使得 最大的 ，利用作差法结
合组合数公式求数列 的单调性，可得 的估计值.
考点三、 正态分布
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2024·广东江苏·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动
茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入
的样本均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布 ，
）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的 原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知， ，所以 ，
故 ，C正确，D错误；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
而 ，B正确，A错误，
故选：BC．
3．（2024·湖北·模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：
元）服从正态分布 ．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答
题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，
则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20
分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试
题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第
二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．
(1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额 在 内的人数（结果保留整数）；
附：若 ，则 ．
(2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动， 类题中的两次答题机会答对的概率都是 ， 类题中的
两次答题机会答对的概率都是 ，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为 元，求 的
分布列和数学期望．
【答案】(1)168
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出 在 内的概率，再用总人数乘以该概率即可；
（2）由题可知， 的可能取值为 ，根据题意计算概率即可得到分布列，进而可求数学期望.【详解】（1）由题意 ，
若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额 在 内的人数为：
（人）；
（2）设 的取值为 ，
则 ，
，
所以 的分布列为
0 10 20
数学期望
4．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通
常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零
件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该
机器生产的零件为不合格品”为事件D，得到 ，分别求得 ，结合条件概率
和全概率的公式，即可求解.
（2）设不合格品件数为 ，得到 ，求得 ，结合 ，求得 的范
围，即可求解.
【详解】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D，
因为 ，所以 ，
，
．
所以
，
则
所以该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率为 ．
（2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为 ，则 ，
所以 ，
由 ，解得 ．
所以当 时， ；当 时， ；
所以 最大，因此当 时 最大．
1．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
【答案】 / ．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
2．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，
测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位： ） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5(1)求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似值，求
的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是
3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从
该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量 ，则 ， ，
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）先求出 ，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）
利用条件概率公式求解.
【详解】（1）由题意可知: ，
则 ，
所以
（2）（i）设事件 表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件 表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件 表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则 ， ， ， ，
所以 ；
（ii）因为 ，
所以 ，
所以 ．
3．（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关
且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.
(1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为 ，求小李成功竞聘的概率 ；
(2)统计得10000名竞聘者的得分 ，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.（四舍
五人取整）
附：若随机变量 ，则
【答案】(1)
(2)228人
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法以及对立事件的概率公式即可求解；
（2）首先根据正态分布曲线的性质求出得分在442分以上的概率，从而乘以10000即可得解.
【详解】（1）设 ：第 次通过第一关测试， ：第 次通过第二关测试， ：一次性通过第三关测试，
因为各关通过与否相互独立，
所以
，
.
（2）由题意可知， ，
则 ，
，
，
所以得分在442分以上的竞聘者约有228人.
4．（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受
害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速
发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电信
诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数 近似服从正态分布 ，若某同学成绩满足 ，
则该同学被评为“反诈标兵”；若 ，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取
整）.
(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样
本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为 ，求 的
分布列及数学期望 .
参考数据：若 ，则 ， ，
【答案】(1)（i）能；（ii） 人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意，得到 ， ，结合 ，得出结论；
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为 ，根据正态分布曲线的对称性，得到“反诈达人”的概率
，列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得到男生和女生了解“反诈”知识的概率，以及 的所有可能取值，结合独立重复试验
的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数 近似服从正态分布
可得 ， ，因为 ，则该同学能被评为“反诈标兵”.
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为 ，“反诈达人”的概率为：
则 ，解得 ，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为 人.
（2）解：由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为 ，女生了解“反诈”知识的概率为 ，
随机变量 的所有可能取值为 ，
可得所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以，期望为 .
1．（23-24高二下·安徽宿州·期中）已知随机变量 ， ，则 .
【答案】
【分析】借助二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质计算即可得.
【详解】由 ，故 ，则 ，
则 .
故答案为： .
2．（2024·上海·三模）设随机变量X服从成功概率为 的二项分布，若 ， ，
则 ．
【答案】
【分析】根据期望和方差可得关于 的方程组，从而可求其值.
【详解】设 ,则 ,
所以 ，故 ，
故答案为： .
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知连续型随机变量 与离散型随机变量 满足 ，，若 与 的方差相同且 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正态分布和二项分布的性质可得结果.
【详解】 ， ， ，
，由对称性： ，
故 .
故选：A.
4．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩 服从正态分布
，女生成绩 服从正态分布 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得.
【详解】 ， ， ；
， ， .
， ， ；
， ， ；
对于A， ，A选项正确；
对于B， ，B选项错误；
对于C， ，C选项正确；
对于D， ，D选项正确.
故选：ACD
5．（2024·江苏·模拟预测）目前，某校采用 “翻转课堂” 的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学
生不会的内容. 某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对
本校 名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于 小时的有 位学生，余下的人中，在物理考
试中平均成绩不足 分的学生占总人数的 ，统计后得到以下表格:
大于等于 120 分 不足 120 分 合计学时不少于 12 小时 8 21
学时不足 12 小时
合计 49
(1)请完成上面的 列联表，能否有 的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”?
(2)若将频率视为概率，从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人，求这些人中周自主学习时间不少于
小时的人数的期望和方差.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，能
(2) ，
【分析】（1）根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）设从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人，这些人中周自主学习时间不少于 小时的人数为
随机变量 ，则 ，根据二项分布的期望与方差公式计算可得.
【详解】（1）依题意，周学时不足12小时有 人，
则周学时不足12小时且平均成绩不足 分的有 人，
所以周学时不足12小时且平均成绩大于等于 分的有 人，
所以 列联表如下：
大于等于 120 分 不足 120 分 合计
学时不少于 12 小时 13 8 21
学时不足 12 小时 8 20 28
合计 21 28 49
，
所以能有 的把握认为“成绩与自主学习时间有关”；（2）由（1）中知大于等于 分的学生中周自主学习时间不少于 小时的频率是 ，
设从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人，
这些人中周自主学习时间不少于 小时的人数为随机变量 ，则 ，
， .
6．（2024·四川成都·一模）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用， 市现对全市中小学智慧课堂的应用
情况进行抽样调查，统计数据如表：
经常应
偶尔应用或者不应用 总计
用
农村
城市
总计
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是 .
(1)补全 列联表，判断能否有 的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中
随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有 个，求 的分布列和数学期望.
附：
.
【答案】(1)列联表见解析，有 的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，理由见解析
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先根据题意补全列联表，然后根据 公式计算，根据表格判断即可；
（2）先确定 可能取值为 ，分别求出概率，然后求期望.
【详解】（1）补全列联表如下：
经常应
偶尔应用或者不应用 总计
用
农村 40 40 80城市 60 20 80
总计 100 60 160
.
所以有 的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是 ，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，
3个是城市学校，抽取2个，则 可能取值为 .
所以 的分布列为：
0 1 2
的数学期望
7．（2024·陕西西安·三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话
题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调
查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数 10 15 20 25 5
赞成的人数 6 12 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 的概率为 ，求出表格中 ， 的值；
(2)若从年龄在 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与
某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为 ，求
的分布列及数学期望．
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1） 的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用 的概率为 求出 的值；
（2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而 表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以 的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成 的
分布列.
【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以 ，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在 的概率为 ，所以 ．
（2）从年龄在 中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取 人，不赞成的抽取2人，再从这10
人中随机抽取4人，则随机变量 的可能取值为2，3，4.
则 ，
，
．
所以 的分布列为
2 3 4
所以 .
8．（23-24高三上·江苏南通·期末）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
【答案】(1)概率分布见解析，
(2)3
【分析】（1）由分布列及均值定义计算即可得；
（2）由二项分布均值公式计算即可得.
【详解】（1）X的可能取值为1，2，3， ，
故抽取次数X的概率分布为：
X 1 2 3
P
；（2）每次检验取到新球的概率均为 ，故 ，所以 ．
9．（2024·全国·模拟预测）自2023年12月以来，从各地前往哈尔滨赏冰乐雪的游客络绎不绝，东北冰雪
游人气“爆棚”．某校体育组为了解学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，随机抽取100名学生进行了一次
调查，得到下表．
女 男 合计
不喜欢冰雪运动 15
喜欢冰雪运动 75
合计 25
(1)请补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析能否认为学生喜欢冰雪运动与性别有
关？
(2)以频率估计概率，以样本估计总体，若从该市学生中随机抽取3人进行深度调研，记3人中喜欢冰雪运
动的人数为 ，求 的分布列和数学期望 ．
参考公式及数据： ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)列联表见解析；能
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据列联表的数据代入公式对照参考数据即可得出结论；
（2）先求该市学生喜欢冰雪运动的概率和 的所有可能取值，该市学生喜欢冰雪运动的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求得概率，列分布列求期望即可.
【详解】（1）由题将 列联表补全如下：
女 男 合计
不喜欢冰雪运动 10 15 25
喜欢冰雪运动 15 60 75
合计 25 75 100
零假设 ：学生喜欢冰雪运动与性别没有关系．根据列联表中的数据，可以求得：
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为学生喜欢冰雪运动与性别有关，此推断错误的概率不大于0.05．
（2）由题知，该市学生喜欢冰雪运动的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 ，
故期望 .
10．（2024·江西鹰潭·三模）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三
项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：
单位：人
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有 的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择.①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.记事件 为“甲学
生选择足球”，事件 为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件 是否独立，并说明理由.
②若该校所有学生每分钟跳绳个数 .根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明
显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后
该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）.
参考公式和数据： ，其中 .
0.025 0.010 0.005
5.024 6.635 7.879
若 ，则 ， ， .
【答案】(1)故有 的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关.
(2)①相互独立；②159人.
【分析】（1）根据题中数据和公式计算 ，并与临界值对比分析.
（2）①根据独立事件的定义判断；②利用正态分布对称性求特殊区间概率，进而估计人数.
【详解】（1）由题设列联表，有 ，
故有 的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关.
（2）① 则 故事件 独立.
②训练后 ，
故预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数为
答：故预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数约为 人.
1．（2024·浙江金华·模拟预测）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义
为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分
布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 .
A．82 B．78 C．74 D．70【答案】B
【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布 ，再利用正态密度曲线的轴对称性和
百分位数的定义进行求解即可.
【详解】根据题意得标准差为 ，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布
，
又因为 ，且 ，所以全体学生成绩的第84百分位数约为
.
故选：B.
2．（2024·河南·三模）已知
0.9973.某体育器材
厂生产一批篮球，单个篮球的质量 （单位：克）服从正态分布 ，从这一批篮球中随机抽检300
个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出 的概率，即可得解.
【详解】由题意得 ，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
3．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参
加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球
的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持
有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数 的数学期望 ；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为 分最终获得一等奖的概率为 ；
①证明： 是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
【答案】(1)5
(2)证明见解析；【分析】（1）先求出一次取出红球的概率，设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为 ，可得其服
从二项分布，再设3次取球后累计分数为随机变量 ，得出其与 的关系，从而得出答案.
（2）①由 可证明；②由①中的结论先求出 ，然后得出 ，由题意求出 即可.
【详解】（1）记事件 ：“一次取出红球”，则 ，
设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为 ， 3次取球后累计分数为随机变量 .
则 ，
则 ，故 ，
所以 ；
（2）①由题意当 时， ，即
所以 是等差数列；
②由题意 ，由上可知： ，
所以 ，
又由题意 ，所以 .
由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即 ，
所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率 .
4．（23-24高三下·全国·开学考试）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域
取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行
了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件 “了解人工智能”， “学生为男生”，
据统计 .
(1)根据已知条件，填写下列 列联表，是否有 把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
了解人工智
不了解人工智能 合计
能
男生
女生
合计(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求
选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为
X，求随机变量 的数学期望和方差.
参考公式： .常用的小概率值和对应的临界值如下表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析；没有
(2)① ；② ， .
【分析】（1）根据两个条件概率值求出 列联表中的数据，利用卡方公式计算 的值，再与对应的小
概率值比较即得结论；
（2）①先利用分层抽样确定所抽取的 名女市民中了解和不了解人工智能的人数，再利用古典概率模型
概率公式计算即得；
②根据 列联表推理得到从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为 ，每次
抽的结果仅有“了解”与“不了解”两种，随机抽取20人，相当于完成20次伯努利试验，故利用二项分
布期望与方差公式即可求得.
【详解】（1）因为 ，
所以了解人工智能的女生为 ，了解人工智能的总人数为 ，
则了解人工智能的男生有 人，
结合男生和女生各有 人，填写 列联表为：
了解人工智
不了解人工智能 合计
能
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
因 ，故没有 把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.
（2）①由题意可知，所抽取的 名女市民中，了解人工智能的有 人，
不了解人工智能的有 人，
所以，选取的 人中至少有 人了解人工智能的概率为 ；
②由 列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为 ，
将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为 ，
由题意可知， ，所以， ， .
5．（2024·全国·模拟预测）某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得
一张卡片，共有“ ”和“ ”两种卡片，每位玩家的初始分数为0，每获得一张“ ”加1分，每获得
一张“ ”减1分．已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕 次，设该玩家获得“ ”的次数为 ，最终
分数为 ．
(1)若玩家每次点击屏幕时，获得“ ”和“ ”的概率均为 ，求 的分布列与数学期望，并直接写出
的值；
(2)若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“ ”和“ ”的概率．计数器会记录玩家已经点击屏幕
的次数 （初始值为0），若 为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“ ”和“ ”的概率均为 ，若
为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“ ”的概率为 ，获得“ ”的概率为 ．求 ．
附：若随机变量 和 的取值是相互独立的，则 ．
【答案】(1)分布列见解析；期望为 ，
(2)答案见解析
【分析】（1）易知 ，则 ； 的可能取值为0，1，2，3，利用独立事件的乘法公式求
出对应的概率，列出分布列，结合求数学期望公式计算即可求解；
（2）由题意可知奇、偶数次抽奖为两个独立的二项分布且 ，分别求出当 为奇、
偶数时对应的方差，结合题意给的公式和方差的性质计算即可求解.
【详解】（1）由题意知， 满足二项分布 ，则 .
当 时， 的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
．
（2）可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布且 ．
①当 为奇数时，第奇数次抽奖共进行 次，第偶数次抽奖共进行 次，
， ，
而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立，
．
②当 为偶数时，
．
6．（2023·广东·二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是
指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联
想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方
式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，
若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择
了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.【答案】(1)分布列见解析，
(2) .
【分析】（1）根据超几何分布求出 的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则 表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则 表示穿套装.求出
，结合条件概率和 计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
， ， ，
所以X的分布列为：
X 4 3 2
P
故 .
（2）设A表示穿红色衣物，则 表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则 表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为 ，
则穿蓝色衣物的概率为 ，
穿红色连衣裙的概率为 ，穿蓝色连衣裙的概率为 ，
则当天穿连衣裙的概率为 .
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为 .
7．（2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握
双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午 这一时间段内通过
的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段 记作区
间 ， 记作 ， 记作 ， 记作 ，对通过该收费
点的车辆数进行初步处理，已知 ， 时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
频数 100 300 m n(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取
4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为 ，求 的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻 ，其中 可用（1）中这
1000辆车在 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替， 可用样本的方差近似代替（同一
组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在 之间通
过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若 ，则① ；② ；③
.
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.
（2）先求得 ，然后根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， .
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段 ， 这两
个区间内的车辆数为 ，
车辆数 的可能取值为0，1，2，3，4，
， ， ，
， ，
所以X的分布列为
所以 .
（2）这1000辆车在 时间段内通过该收费点的时刻的平均值
，即9：04，
，所以 .
估计在 这一时间段内通过的车辆数，也就是 通过的车辆数，
工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻 ，
，
所以估计在 这一时间段内通过的车辆数为 .
8．（23-24高三上·辽宁大连·期末）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁
育，今年为了估计山里成年鸡的数量 ，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放
养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡， 表示捕获的有标识的成年鸡的数目.
(1)若 ，求 的数学期望；
(2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求 的估计值（以使得 最大的 的值作为
的估计值）.
【答案】(1)
(2)19999或20000
【分析】（1）首先分析题意，利用超几何分布知识进行解答.
（2）根据第一问，进行解析 所以当 或
20000时， 最大，所以 的值为19999或20000.
【详解】（1）以 服从超几何分布，且 ，
故 .
（2）当 时， ；
当 时，
令 ，则
，
当 时， ；当 时，，
所以当 或20000时， 最大，所以 的值为19999或20000.
9．（2024·山西长治·模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了
单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.
现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车
的单次最大续航里程X近似地服从正态分布 ，其中μ近似为样本平均数 ，σ近似为样本标准差
S.
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续
航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E（Z）；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛
掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都 ，客
户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车
向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏
结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点 的概率为
，试证明数列 是等比数列 ，求出数列 的通项公式，并比
较 和 的大小.
【答案】(1)300
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）(3)证明见解析， ，
【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.
（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.
（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.
（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得 ，利用差比较法比较 和 的大小.
【详解】（1） .
（2）（ⅰ） .
（ⅱ））∵Z服从二项分布 ，∴ .
（3）当 时， ，
.
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
.
.
累加得：
.
∴
∵ ，∴ .
注：比较 和 的另一个过程： .
10．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值： .根据长期检测结果，得到
芯片的质量指标值 服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称
为 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用
样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点后
面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的
芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，使得
每箱产品的利润最大.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析， ；（ii）
【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.
（2）（i）先求出 的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；
（ii）先根据二项分布的期望求出 ，然后构造函数
，利用导数求出最大值时的 即可.
【详解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
．
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以 ，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 .
（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，
相应的概率为：
， ，
， ，
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 .
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，
所以
.
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.
所以当 时，每箱产品利润最大.
1．（浙江·高考真题）已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正态分布的特征得 ＝ ，选A.
2．（湖北·高考真题）设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论
中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数 ，
D．对任意正数 ，
【答案】C
【详解】由正态密度曲线的性质可知， 、 的密度曲线分别关于 、
对称，因此结合所给图象可得 且 的密度曲线较 的密度曲线
“瘦高”，所以 ，所以对任意正数 ， ．
考点：正态分布密度曲线．
3．（安徽·高考真题）设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．
则有
A．
B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据正态分布 函数的性质：正态分布曲线是一条关于 对称，在 处取得最
大值的连续钟形曲线； 越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且
弯曲较陡峭，选A．
4．（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有 种取法，
恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有 中，
由古典概型的概率公式得概率为 .
故选：D
5．（湖北·高考真题）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
6．（山东·高考真题）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，
其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【详解】试题分析：由题意故选B．
考点：正态分布
7．（全国·高考真题）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 .若 在(0，1)内取值的概率
为0.4，则 在(0，2)内取值的概率为 .
【答案】0.8
【分析】利用正态分布的对称性求解即可
【详解】因为正态分布的平均数为1，
所以
所以
故答案为： 0.8
8．（湖南·高考真题）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每
名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 ，参加过
计算机培训的有 ．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记 为3人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望.
【答案】(1)0.9
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率
和期望运算求解.
【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事
件B，
由题意可知：事件A与B事件独立， ，则 ，
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率 ，
故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率
（2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数 服从二项分布 ，则 ，
， ，
， ，
的分布列：0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
的期望 .
9．（全国·高考真题）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下图频率分布直方图：
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，
近似为样本方差 .
（i）利用该正态分布，求 ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数.利用（i）的结果，求 .
附：
若 则 ， ．
【答案】（I） ；（II）（i） ；（ii） ．
【详解】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数
据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为 的点．均值为每个
矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）
由已知得，
，故 ；（ii）某用户从该企业购买
了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间 的
产品件数 ，故期望 ．
试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值 和样本方差 分别为
，．
（II）（i）由（I）知， 服从正态分布 ，从而
．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，依题意知
，所以 ．
【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的 原则；3、二项分布的期望．
10．（山东·高考真题）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法
如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A，A，A，A，
1 2 3 4
A，A 和4名女志愿者B，B，B，B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
5 6 1 2 3 4
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的频率．
1
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（1） （2）见解析
【详解】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含
的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为： .则因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是 =
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分
布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利
用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学
应用意识、基本运算求解能力等.
11．（四川·高考真题）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾
取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概
率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2
件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求
该商家拒收这些产品的概率．
【答案】(1)0.7599；
(2)答案见详解.
【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出 件进行检验至
少有 件是合格的概率；
（2）根据超几何分布求出对应的概率，结合对立事件概率公式，即可求得结果.
【详解】（1）记“厂家任取 件产品检验，其中至少有 件事合格品”为事件A
用A的对立事件来算，有 ；
（2）设商家检验出不合格产品的件数为 ，则 的可能取值为0,1,2，
，
，
，所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为 、 ；
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件 ，
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为 .
12．（全国·高考真题）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位
专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的
概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
【答案】（1） 0.4 （2）见解析
【分析】（1）由题意，稿件被录用或者稿件能通过两位初审专家的评审，或者稿件恰能通过一位初审专
家的评审且能通过复审专家的评审，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式，即得解；
（2）由题意 ，由二项分布的概率公式和期望公式，即得解
【详解】（1）记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用.
则 D=A+BC,
= =
=0.25+0.5×0.3=0.40.
（2）由题意， ，且
分布列如下：
期望 .
