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§10.6 二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态
曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成
的随机试验称为 n 重伯努利试验 ．
(2)二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则
称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) ．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) ．
2．超几何分布
一般地，若一个随机变量 X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min{n，
M}，则称X服从超几何分布．记为 X ～ H ( n ， M ， N ) ，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．
3．正态分布
若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(aP(Y≤26)，P(X≤30)>P(Y≤30)，
P(X≤34)>P(Y≤34)，P(X≤38)E(5X) D．P(X≥1)>0.9
答案 BD
解析 由正态分布的对称性可知P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，
故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，故A错误；
X～B(3,0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，故B正确；
E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，
故E(ξ)0.9，故D正确．
8．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X ，均值和方差分别为E(X)，D(X)；
1 1 1
试验二：从中随机地无放回摸出 3个球，记取到红球的个数为 X ，均值和方差分别为
2
E(X)，D(X)，则( )
2 2
A．E(X)＝E(X) B．E(X)>E(X)
1 2 1 2
C．D(X)>D(X) D．D(X)D(X)．
1 2 1 2
三、填空题
9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7
道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽
取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．
答案
解析 设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为0,1,2，
可得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以最后抽取到的题为多选题的概率
P＝P(X＝0)×＋P(X＝1)×＋P(X＝2)×＝×＋×＋×＝.
10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产
品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的
收益为正值的概率为________．
答案
解析 因为P(X>0)＝2P(X≤0)，
所以P(X>0)＋P(X≤0)＝3P(X≤0)＝1，
所以P(X≤0)＝，P(X>0)＝，
则至少有3个季度的收益为正值的概率为
C×3×＋C×4＝.
11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中
每次抽取 1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为
________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．
答案 6
解析 令A为第i(i＝1,2,3)次取得一等品，
i
所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为
P(A)＝××＝，
3
若抽取后再放回，则设X为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为，
则X～B，E(X)＝10×＝6，
所以平均取得一等品6次．
12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值超过60就认为
身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值x(i＝1,2,3，…，100)，
i
经计算 ＝7 200，＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布 N(μ，
i
σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ60)＝P(60E(Z)，
所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，
竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等
奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握
情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率直方图，如图所
示．
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的
估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(1)若该市共有10 000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩不少于 79分的学生人数
(结果四舍五入到整数)；
(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10 000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成
绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布和均值．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ64)＝，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量ξ～B，
所以P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
