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专题七 《三角函数》讲义
7.3 三角函数的图像与性质
知识梳理 . 三角函数的图像与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义 R R
域
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶
奇函数 偶函数 奇函数
性
单 在[2kπ－π，2kπ]
在(k∈Z)上是递增函
(k∈Z)上是递增函
调 数，在(k∈Z)上是递减 在(k∈Z)上是递增函数
数，在[2kπ，2kπ＋π]
函数
性 (k∈Z)上是递减函数
周
周期是 2kπ(k∈Z 且
周 期 是 2kπ(k∈ Z 且 周期是 kπ(k∈Z 且 k≠0)，
期 k≠0)，最小正周期是
k≠0)，最小正周期是2π 最小正周期是π
2π
性
对 称 轴 是 x ＝
对
对 称 轴 是 x ＝ ＋ kπ(k∈Z)，对称中心 对称中心是
称 kπ(k∈Z)，对称中心是
是
(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z)
性
(k∈Z)
题型一 . 三角函数图像的伸缩变换
π
1．要得到函数y＝3sin（2x+ ）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（ ）
3
π π
A．向右平行移动 个单位 B．向左平行移动 个单位
12 12
π π
C．向右平行移动 个单位 D．向左平行移动 个单位
6 6
π π π π
【解答】解：函数y＝3sin（2x+ ）＝3cos[ −（2x+ ）]＝3cos（ −2x）＝3cos（2x
3 2 3 6
π π
− ）＝3cos2（x− ），
6 12π π
故把函数y＝3cos2x的图象向右平行移动 个单位，可得函数y＝3sin（2x+ ）的图象，
12 3
故选：A．
2π
2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C ：y＝cosx，C ：y＝sin（2x+ ），则下面结论正确的
1 2 3
是（ ）
π
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
1 6
个单位长度，得到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1
π
个单位长度，得到曲线C
12 2
1 π
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个
1 2 6
单位长度，得到曲线C
2
1 π
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个
1 2 12
单位长度，得到曲线C
2
2π π
【解答】解：曲线C ：y＝sin（2x+ ）＝cos（2x+ ），
2 3 6
1
把C ：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象；
1 2
π π
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线C ：y＝cos（2x + ）＝sin（2x
12 2 6
2π
+ ）的图象，
3
故选：D．
π
3．（2021春•闵行区校级期中）函数y＝cos（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后与函
2
φ
2π 5π
数y＝sin（2x+ ）的图象重合，则| |的最小值为 ．
3 6
φ
π
【解答】解：函数y＝cos（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后得到f（x）＝cos
2
φ3π
（2x﹣ + ）＝﹣cos（2x+ ）＝sin（2x+ + ）
2
π φ φ φ
2π
由于与函数y＝sin（2x+ ）的图象重合，
3
3π π
所以 + =2kπ+ ，
2 3
φ
7π
整理得： ＝2k − ，
6
φ π
5π
所以| |的最小值为 ．
6
φ
5π
故答案为： ．
6
π π
4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，− ＜φ＜ )图象上每
2 2
π
一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到y＝sinx
4
π √3
的图象，则f( )= ．
6 2
π π
【解答】解：将函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，− ＜φ＜ )图象上每一点的横
2 2
坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，可得y＝sin（2 x+ ）的图象；
π ω φ π ωπ
再把图象向右平移 个单位长度得到y＝sin[2 （x− ）+ ]＝sin（2 x− + ）的图
4 4 2
ω φ ω φ
象．
{
2ω=1
1 π
再根据所得图象为 y＝sinx，∴ ωπ ，求得 = ，且 = ，
− +φ=0 2 4
2
ω φ
1 π
∴f（x）＝sin（ x+ ），
2 4
π π π π √3
则f( )=sin（ + ）＝sin = ．
6 12 4 3 2
π
5．（2015•湖南）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移 （0＜ ＜ ）个单位后得到函数
2
φ φπ
g（x）的图象．若对满足|f（x ）﹣g（x ）|＝2的x 、x ，有|x ﹣x | = ，则 ＝（
1 2 1 2 1 2min 3
φ
）
5π π π π
A． B． C． D．
12 3 4 6
【解答】解：因为将函数f（x）＝sin2x的周期为 ，函数的图象向右平移 （0＜
π φ φ
π
＜ ）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x ）﹣g（x ）|＝2的可知，两个
2 1 2
π
函数的最大值与最小值的差为2，有|x ﹣x | = ，
1 2min 3
π 7π 7π 7π
不妨x = ，x = ，即g（x）在x = ，取得最小值，sin（2× −2 ）＝﹣1，此
1 4 2 12 2 12 12
φ
π
时 =− ，不合题意，
6
φ
3π 5π 5π 5π
x = ，x = ，即g（x）在x = ，取得最大值，sin（2× −2 ）＝1，此时
1 4 2 12 2 12 12
φ φ
π
= ，满足题意．
6
π
另解：f（x）＝sin2x，g（x）＝sin（2x﹣2 ），设 2x ＝2k + ，k Z，2x ﹣2
1 2 2
φ π ∈ φ
π
=− +2m ，m Z，
2
π ∈
π
x ﹣x = − +（k﹣m） ，
1 2 2
φ π
π π π π
由|x ﹣x | = ，可得 − = ，解得 = ，
1 2min 3 2 3 6
φ φ
故选：D．
题型二 . 已知图像求解析式
π 5π
1．图是函数y＝Asin（ x+ ）（x R）在区间[− ， ]上的图象，为了得到这个
6 6
ω φ ∈
函数的图象，只要将y＝sinx（x R）的图象上所有的点（ ）
∈π 1
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
3 2
π
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
π
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
【解答】解：由图象可知函数的周期为 ，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+ ）π．
π πφ
代入（− ，0）可得 的一个值为 ，
6 3
φ
π
故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x+ ），
3
π
即y＝sin2（x+ ），
6
π
所以只需将y＝sinx（x R）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点
3
∈
1
的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变．
2
故选：A．
π
2．已知函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示，则（ ）
2
π π π π π π
A．ω= ，φ=− B． = ，φ= C．ω=π，φ=− D．ω=π，φ=
2 4 2 4 4 4
ω
5 3 1
【解答】解：结合图象 − =1，是 个周期，
2 2 4
故T＝4，2π π
故 = = ，
4 2
ω
π 3 π
而y＝sin（ × + ）＝1，解得： =− ，
2 2 4
φ φ
故选：A．
π 2
3．已知函数f（x）＝Acos（ x+ ）的图象如图所示，f（ ）=− ，则f（0）＝（ ）
2 3
ω φ
2 1 2 1
A．− B．− C． D．
3 2 3 2
11 7 2π
【解答】解：由题意可知，此函数的周期T＝2（ − ）= ，
12 12 3
π π
2π 2π
故 = ，∴ ＝3，f（x）＝Acos（3x+ ）．
ω 3
ω φ
π 3π 2
f（ ）＝Acos（ + ）＝Asin =− ．
2 2 3
φ φ
7π 7π 1
又由题图可知f（ ）＝Acos（3× + ）＝Acos（ − ）
12 12 4
φ φ π
√2
= （Acos +Asin ）＝0，
2
φ φ
2
∴f（0）＝Acos = ．
3
φ
故选：C．
π
4．已知函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象如图所示，下列关于函
2
ω φ ω φ
数g（x）＝Acos（ x+ ）（x R）的表述正确的是（ ）
ω φ ∈
π
A．函数g（x）的图象关于点（ ，0）对称
4π 3π
B．函数g（x）在[− ， ]递减
8 8
π
C．函数g（x）的图象关于直线x= 对称
8
π
D．函数h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位得到函数g（x）的图象
4
π
【解答】解：根据函数f（x）＝Atan（ x+ ）（ ＞0，| |＜ ）的部分图象知，
2
ω φ ω φ
3π π π π
最小正周期为T＝2×（ − ）= ，∴ = =2；
8 8 2 T
ω
π π
又 • + = +k ，k Z，
8 2
ω φ π ∈
π
= +k ，k Z；
4
φ π ∈
π
∴ = ，
4
φ
π
∴f（0）＝Atan =A＝1，
4
π
∴函数g（x）＝cos（2x+ ）；
4
π π π π √2
x= 时，g（ ）＝cos（ + ）=− ≠0，
4 4 2 4 2
π
g（x）的图象不关于点（ ，0）对称，A错误；
4
π 3π π
x [− ， ]时，2x+ [0， ]，
8 8 4
∈ ∈ π
π 3π
g（x）在[− ， ]上单调递减，B正确；
8 8
π π π π
x= 时，g（ ）＝cos（ + ）＝0，
8 8 4 4
π
g（x）的图象不关于直线x= 对称，C错误；
8
π
h（x）＝cos2x的图象上所有点向左平移 个单位，
4
π π π
得h（x+ ）＝cos2（x+ ）＝cos（2x+ ）的图象，
4 4 2
不是函数g（x）的图象，D错误．故选：B．
题型三 . 三角函数的性质
考点 1 . 单调性
π
1．函数y＝sin（﹣2x+ ）的单调递减区间是（ ）
3
π 5π π 5π
A．[k − ，k + ]，k Z B．[2k − ，2k + ]，k Z
12 12 12 12
π π ∈ π π ∈
π 5π π 5π
C．[k − ，k + ]，k Z D．[2k − ，2k + ]，k Z
6 6 6 6
π π ∈ π π ∈
π π
【解答】解：∵函数y＝sin（﹣2x+ ）＝﹣sin（2x− ），故本题即求函数y＝sin（2x
3 3
π
− ） 的增区间．
3
π π π π 5π
令2k − ≤2x− ≤2k + ，k z，求得k − ≤x≤k + ，k Z，故函数y＝sin（2x
2 3 2 12 12
π π ∈ π π ∈
π π 5π
− ） 的增区间为[k − ，k + ]，k Z，
3 12 12
π π ∈
故选：A．
π 5π
2．已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A＞0，− ＜φ＜0)在x= 时取得最大值，则 f
2 6
（x）在[﹣ ，0]上的单调增区间是（ ）
π 5π 5π π π π
A．[−π，− ] B．[− ，− ] C．[− ，0] D．[− ，0]
6 6 6 3 6
5π
【解答】解：因为函数f（x）＝Asin（x+ ）（A＞0）在x= 取最大值
6
φ
5π 5π
所以可得，Asin( +φ)= A sin（ + ）＝1
6 6
⇒ φ
π π
又因为− ＜φ＜0 所以 =−
2 3
φ
π π
而f(x)=Asin(x− )（A＞0）与y＝sin（x− ）的单调性相同且[﹣ ，0]
3 3
π
π π
故函数在[− ，0]上单调递增，在[﹣ ，− ]上单调递减
6 6
π
故选：D．π
3．已知函数f（x）＝sin（2x+ ）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取
3
值范围是（ ）
π π
A．{a|0＜a≤ } B．{a|0＜a≤ }
12 2
π π
C．{a|a＝k + ，k N*} D．{a|2k ＜a≤2k + ，k N*}
12 12
π ∈ π π ∈
π π π
【解答】解：由− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，
2 3 2
5π π
得− +kπ≤x≤ +kπ，k Z．
12 12
∈
5π π
取k＝0，得− ≤x≤ ，
12 12
π 5π π
则函数数f（x）＝sin（2x+ ）的一个增区间为[− ， ]．
3 12 12
π
∵函数f（x）＝sin（2x+ ）在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，
3
π
∴0＜a≤ ．
12
故选：A．
π π
4．已知 ＞0，函数f（x）＝sin（ x+ ）在区间（ ， ）上单调递减，则实数 的取
4 2
ω ω π ω
值范围是（ ）
1 5 1 3 1
A．[ ， ] B．[ ， ] C．(0， ] D．（0，2]
2 4 2 4 2
π 5π 9π
【解答】解：法一：令：ω=2⇒(ωx+ )∈[ ， ]不合题意 排除（D）
4 4 4
π 3π 5π
ω=1⇒(ωx+ )∈[ ， ]合题意 排除（B）（C）
4 4 4
π π π π π π 3π
法二：ω(π− )≤π⇔ω≤2，(ωx+ )∈[ ω+ ，πω+ ]⊂[ ， ]
2 4 2 4 4 2 2
π π π π 3π 1 5
得： ω+ ≥ ，πω+ ≤ ⇔ ≤ω≤ ．
2 4 2 4 2 2 4
故选：A．考点 2 . 周期性、奇偶性、对称性
π
1．已知函数f（x）＝cos2x+sin2（x+ ），则（ ）
6
1
A．f（x）的最小正周期为 ，最小值为
2
π
1
B．f（x）的最小正周期为 ，最小值为−
2
π
1
C．f（x）的最小正周期为2 ，最小值为
2
π
1
D．f（x）的最小正周期为2 ，最小值为−
2
π
π
π 1−cos(2x+ ) 1
【解答】解：∵函数f（x）＝cos2x+sin2（x+ ） 1+cos2x 3 1+
6 = + = 2
2 2
1 π 1 1 √3 1 π
cos2x− cos（2x+ ）＝1+ • cos2x+ sin2x＝1+ cos（2x− ），
2 3 2 2 4 2 3
2π 1 1
故函数f（x）的最小正周期为 = ，最小值为1− = ，
2 2 2
π
故选：A．
2．已知f（x）＝sin2x+|sin2x|（x R），则下列判断正确的是（ ）
A．f（x）是周期为2 的奇函∈数
B．f（x）是值域为[0π，2]周期为 的函数
C．f（x）是周期为2 的偶函数 π
D．f（x）是值域为[0π，1]周期为 的函数
π π
【解答】解：若2k ≤2x≤2k + ，即k ≤x≤k + 时，sin2x≥0，
2
π π π π π
f（x）＝sin2x+|sin2x|＝2sin2x；
π
若2k + ≤2x≤2k +2 ，即k + ≤x≤k + 时，sin2x＜0，
2
π π π π π π π
f（x）＝sin2x+|sin2x|＝0，
作出函数图象，如下图：根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为 ，
函数的值域为[0，2]． π
故选：B．
3．将函数y＝sin2x−√3cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对
称，则a的最小值是（ ）
7 π π π
A． π B． C． D．
12 4 12 6
【解答】解：将函数y＝sin2x−√3cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），
得到的函数：y＝sin2（x﹣a）−√3cos2（x﹣a）＝sin（2x﹣2a）−√3cos（2x﹣2a）
π
＝2sin（2x﹣2a− ），
3
∵所得图象关于y轴对称，
π π π kπ
∴2a+ = +k （k z），解得a= + （k z），
3 2 12 2
π ∈ ∈
π
∴a的最小值是 ．
12
故选：C．
π
4．已知函数f（x）＝asinx﹣bcosx（ab≠0，x R）在x= 处取得最大值，则函数y＝f（
4
∈
π
−x）是（ ）
4
A．偶函数且它的图象关于点（ ，0）对称
3ππ
B．偶函数且它的图象关于点( ，0)对称
2
3π
C．奇函数且它的图象关于点( ，0)对称
2
D．奇函数且它的图象关于点 （ ，0）对称
【解答】解：将已知函数变形f（π x）＝asinx﹣bcosx sin（x﹣ ），其中tan
=√a2+b2
φ φb
= ．
a
π
又f（x）＝asinx﹣bcosx在x= 处取得最大值，
4
π π π
∴ − = +2k （k Z）得 =− −2k （k Z），
4 2 4
φ π ∈ φ π ∈
π
∴f（x）=√a2+b2sin（x+ ），
4
π π
∴函数y=f( −x)=√a2+b2 sin（ −x）=√a2+b2cosx，
4 2
3π
∴函数是偶函数且它的图象关于点( ，0)对称．
2
故选：B．
考点 3 . 三角函数性质综合
1．（2019•天津）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，| |＜ ）是奇函数，将
y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到ω原来φ的2倍（纵ω坐标不变φ），π所得图象对应的
π 3π
函数为 g（x）．若 g（x）的最小正周期为 2 ，且 g（ ）=√2，则 f（ ）＝
4 8
π
（ ）
A．﹣2 B．−√2 C．√2 D．2
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴ ＝0，
则f（x）＝Asin（ x） φ
将y＝f（x）的图象ω上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对
应的函数为g（x）．
1
即g（x）＝Asin（ x）
2
ω
∵g（x）的最小正周期为2 ，
2π π
=
∴1 2 ，得 ＝2，
ω
2
π ω
则g（x）＝Asinx，f（x）＝Asin2x，π π π √2
若g（ ）=√2，则g（ ）＝Asin = A=√2，即A＝2，
4 4 4 2
3π 3π 3π √2
则f（x）＝2sin2x，则f（ ）＝2sin（2× =2sin =2× =√2，
8 8 4 2
故选：C．
2．（2015•天津）已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0），x R，若函数f（x）在区间
（﹣ ， ）内单调递增，且函数y＝ωf（x）的ω图象ω关于直线x∈＝ 对称，则 的值为
ω ω ω ω
√π
．
2
π
【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x=√2sin（ x+ ），
4
ω ω ω
∵函数f（x）在区间（﹣ ， ）内单调递增， ＞0
ω ω ω 3π
π π π 2kπ−
∴2k − ≤ x+ ≤2k + ，k Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[ 4 ，
2 4 2
ω
π ω π ∈
π
2kπ+
4 ]，k Z，
ω
∈
3π π
2kπ− 2kπ+
∴可得：﹣ 4 ①， 4 ②，k Z，
≥ ≤
ω ω
ω ω ∈
3π π
∴解得：0＜ 2≤ −2kπ且0＜ 2≤2kπ+ ，k Z，
4 4
ω ω ∈
1 3
解得：− ＜k＜ ，k Z，
8 8
∈
∴可解得：k＝0，
π
π π kπ+
又∵由 x+ =k + ，可解得函数f（x）的对称轴为：x 4 ，k Z，
4 2 =
ω
ω π ∈
π √π
∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称，可得： 2= ，可解得： = ．
4 2
ω ω ω
√π
故答案为： ．
2
π π
3．（2014•大纲版）若函数f（x）＝cos2x+asinx在区间（ ， ）是减函数，则a的取值
6 2范围是 （﹣∞， 2 ] ．
【解答】解：由f（x）＝cos2x+asinx
＝﹣2sin2x+asinx+1，
令t＝sinx，
则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．
π π
∵x （ ， ）时f（x）为减函数，
6 2
∈
1
则y＝﹣2t2+at+1在t （ ，1）上为减函数，
2
∈
a
∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t= ．
4
a 1
∴ ≤ ，解得：a≤2．
4 2
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
1
4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f（x）＝x− sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的
3
取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．[﹣1，1] B．[﹣1， ] C．[− ， ] D．[﹣1，− ]
3 3 3 3
1 2
【解答】解：函数f（x）＝x− sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1− cos2x+acosx，
3 3
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
2
即为1− cos2x+acosx≥0，
3
5 4
即有 − cos2x+acosx≥0，
3 3
设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t＝0时，不等式显然成立；
5
当0＜t≤1时，3a≥4t− ，
t
5
由4t− 在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，
t
1
可得3a≥﹣1，即a≥− ；
35
当﹣1≤t＜0时，3a≤4t− ，
t
5
由4t− 在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，
t
1
可得3a≤1，即a≤ ．
3
1 1
综上可得a的范围是[− ， ]．
3 3
另解：设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
1 1
解得a的范围是[− ， ]．
3 3
故选：C．
π π π
5．（2013•安庆二模）已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，若f（ ）＝f（
6 6 3
ω ω
π π
），且f（x）在区间（ ， ）上有最小值、无最大值，则 等于（ ）
6 3
ω
40 28 16 4
A． B． C． D．
3 3 3 3
π π π
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（ x+ ），由f（ ）＝f（ ），可得函数的图象
6 6 3
ω
π π
+
关于直线x 6 3 π 对称，
= =
2 4
π π π π 3π
再根据f（x）在区间（ ， ）上有最小值、无最大值，可得 • + = ，求得
6 3 4 6 2
ω ω
16
= ，
3
故选：C．
6．（2014•北京）设函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A， ， 是常数，A＞0， ＞0）若f
ω φ ω φ ω
π π π 2π π
（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）＝f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）的最
6 2 2 3 6
小正周期为 ．
ππ 2π
π 2π +
【解答】解：由f（ ）＝f（ ），可知函数f（x）的一条对称轴为x 2 3 7π
2 3 = =
2 12
，
π 7π π π
则x= 离最近对称轴距离为 − = ．
2 12 2 12
π π π
又f（ ）＝﹣f（ ），则f（x）有对称中心（ ，0），
2 6 3
π π
由于f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，
6 2
π π 1 2π 7π π T
则 − ≤ T T≥ ，从而 − = T＝ ．
2 6 2 3 12 3 4
⇒ ⇒ π
故答案为： ．
π
题型四 . 三角函数最值
1 π π
1．函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x− ）的最大值为（ ）
5 3 6
6 3 1
A． B．1 C． D．
5 5 5
1 π π 1 π π
【解答】解：函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x− ）= sin（x+ ）+cos（﹣x+ ）
5 3 6 5 3 6
1 π π
= sin（x+ ）+sin（x+ ）
5 3 3
6 π 6
= sin（x+ ）≤ ．
5 3 5
故选：A．
π 1
2．函数f（x）＝cos（ x+ ）（ ＞0）在[0， ]内的值域为[﹣1， ]，则 的取值范围
3 2
ω ω π ω
为（ ）
3 5 2 4 2 2 3
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ，+∞) D．[ ， ]
2 3 3 3 3 3 2
π
【解答】解：函数f（x）＝cos（ x+ ）（ ＞0），
3
ω ω
1
当x [0， ]时，f（x） [﹣1， ]，
2
∈ π ∈π 1
∴﹣1≤cos（ x+ ）≤ ，结合余弦函数的性质，
3 2
ω
π 5π
则 ≤ + ≤ ，
3 3
π ωπ
2 4
解得 ≤ ≤ ，
3 3
ω
2 4
∴ 的取值范围是[ ， ]．
3 3
ω
故选：B．
3．已知函数f（x）＝cos2x+sinx，则下列说法中正确的是（ ）
π
A．f（x）的一条对称轴为x=
4
π π
B．f（x）在（ ， ）上是单调递减函数
6 2
π
C．f（x）的对称中心为（ ，0）
2
D．f（x）的最大值为1
π π π
【解答】解：对于A，f（ −x）＝cos2（ −x）+sin（ −x）
2 2 2
＝cos（ ﹣2x）+cosx＝﹣cos2x+cosx≠f（x），
ππ
所以x= 不是f（x）的对称轴，故A错误；
4
对于B，f′（x）＝﹣2sin2x+cosx＝﹣4sinxcosx+cosx＝cosx（1﹣4sinx），
π π 1
当x （ ， ）时，cosx＞0， ＜sinx＜1，所以﹣3＜1﹣4sinx＜﹣1，
6 2 2
∈
所以f′（x）＜0，f（x）单调递减，故B正确；
对于C，f（ ﹣x）+f（x）＝cos2（ ﹣x）+sin（ ﹣x）+cos2x+sinx
＝2cos2x+2sπinx＝2f（x）≠0， π π
π
所以（ ，0）不是f（x）的对称中心，故C错误；
2
对于D，f（x）＝cos2x+sinx＝1﹣2sin2x+sinx，
令t＝sinx [﹣1，1]，则y＝﹣2t2+t+1，
当t= 1 时 ∈ ，函数取得最大值为﹣2×( 1 ) 2+ 1 +1= 9 ，
4 4 4 89
所以f（x）的最大值为 ，故D错误．
8
故选：B．
π 1
4．若0＜x≤ ，则函数y＝sinx+cosx+sinxcosx的值域为 （ 1 ， +√2 ] ．
3 2
t2−1
【解答】解：令sinx+cosx＝t，则sinxcosx= ，
2
t2−1 1 1 1
∴y＝sinxcosx+sinx+cosx＝t+ = t2+t− = （t+1）2﹣1．
2 2 2 2
π π
∵x （0， ]，t＝sinx+cosx=√2sin（x+ ） （1，√2]．
3 4
∈ ∈
1
∴y = +√2，
max 2
x＝0时，y＝1．
1
函数y＝sinx+cosx+sinxcosx的值域为：（1， +√2]．
2
ωx π 2π 5π
5．已知函数f(x)=2sinωx⋅cos2 ( − )−sin2ωx(ω＞0)在区间[− ， ]上是
2 4 5 6
增函数，且在区间[0， ]上恰好取得一次最大值1，则 的取值范围是（ ）
3 π 1 3 1 ω3 1 5
A．(0， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， )
5 2 5 2 4 2 2
ωx π
【解答】解：由f(x)=2sinωx⋅cos2 ( − )−sin2ωx(ω＞0)，
2 4
化简，f（x）＝sin x（1+sin x）﹣sin2 x＝sin x，
π ω ω π 2kπω π ω
由ωx= +2kπ，k z，即x= + = (1+4k)时，取得最大值1，
2 2ω ω 2ω
∈
π
因为x [0， ]上恰好取得一次最大值，所以k＝0， ∈[0，π]，
2ω
∈ π
1
所以ω≥ ，
2
2π 5π
f（x）在区间[− ， ]上是增函数，根据题意
5 6
π 5π 3
≥ ，即ω≤ ，
2ω 6 5
1 3
结合上面所述，ω∈[ ， ]，
2 5故选：B．
π √3
6．已知函数f（x）＝cosx•sin（x+ ）−√3cos2x+ ，x R
3 4
∈
（1）求f（x）的最小正周期；
π
（2）求f（x）在闭区间[0， ]上的最大值和最小值及相应的 x值；（3）若不等式|f
2
π
（x）﹣m|＜2在x [0， ]上恒成立，求实数m的取值范围．
2
∈
1 √3
【解答】解：（1）由已知，有：f（x）＝cosx•（ sinx+ cosx）−√3cos2x
2 2
√3 1 √3 √3 1 √3 1 π
+ = sinx⋅cosx− cos2x+ = sin2x− cos2x= sin（2x− ），﹣﹣﹣﹣﹣
4 2 2 4 4 4 2 3
（3分）
2π
所以f（x）的最小正周期T= = ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
2
π
π π π 2π
（2）∵x [0， ]，∴2x− [− ， ]
2 3 3 3
∈ ∈
√3 5π 1
∴f（x） ＝f（0）=− ，f（x） ＝f（ ）= ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
min 4 max 12 2
π π π 2π
（3）∵x [0， ]，∴− ≤2x− ≤ ，
2 3 3 3
∈
√3 1 π 1
∴− ≤ sin（2x− ）≤ ，
4 2 3 2
1 √3
∴f（x） = ，f（x） =−
max 2 min 4
∵不等式|f（x）﹣m|＜2 f（x）﹣2＜m＜f（x）+2
⇔ π
∴|f（x）﹣m|＜2在x [0， ]上恒成立 m＞f（x） ﹣2且m＜f（x） +2
2 max min
∈ ⇔
3 √3 3 √3
∴− ＜m＜2− ，即：m的取值范围是（− ，2− ），
2 4 2 4
3 √3
m的取值范围（− ，2− ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
2 4
题型五 . 三角函数零点
1．已知函数f（x）＝sin x−√3cos x（ ＞0），若方程f（x）＝﹣1在（0， ）上
ω ω ω π7 25
有且只有四个实数根，则实数 的取值范围为 ＜ω≤ ．
2 6
ω
【解答】解：函数f（x）＝sin x−√3cos x（ ＞0），
π ω ω ω
＝2sin（ x− ），
3
ω
π
令2sin（ x− ）＝﹣1，
3
ω
π π π 7π
解得：ωx− =− +2kπ，或ωx− = +2kπ（k Z），
3 6 3 6
∈
π 2kπ 3π 2kπ
所以：x= + 或x= + （k Z），
6ω ω 2ω ω
∈
设直线y＝﹣1与y＝f（x）在（0，+∞）上从左到右的第四个交点为A第五个交点为
B，
3π 2π π 4π
则：x = + ，x = + ．
A 2ω ω B 6ω ω
由于方程f（x）＝﹣1在（0， ）上有且只有四个实数根，
则：x A ＜ ≤x B ， π
3π π2π π 4π
即： + ＜π≤ + ，
2ω ω 6ω ω
7 25
解得： ＜ω≤ ．
2 6
7 25
故答案为： ＜ω≤ ．
2 6
1
2．已知函数f（x）=√3sin xcos x+cos2 x− ，（ ＞0，x R），若函数f（x）在区间（
2
ω ω ω ω ∈
π
，π）内没有零点，则 的取值范围（ ）
2
ω
5 5 5 11
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ， ]
12 12 6 12
5 5 11
C．（0， ] D．（0， ]∪[ ，1）
8 6 12
1
【解答】解：函数f（x）=√3sin cos x+cos2 x− ，
2
ω ω ω
√3 1+cos2ωx 1
= sin2ωx+ − ，
2 2 2π
=sin(2ωx+ )，
6
π
函数f（x）在区间（ ，π）内没有零点，
2
π
所以：f( )⋅f(π)＞0，
2
π π
即：sin(πω+ )⋅sin(2ωπ+ )＞0，
6 6
所以：①¿，
5
解得：ω∈(0， ]，
12
②¿，
5 11
解得： [ ， ]，
6 12
ω∈
5 5 11
综上所述： （0， ]∪[ ， ]，
12 6 12
ω∈
故选：B．
π
3．函数f(x)=2sin(2ωx+ )(ω＞0)图象上有两点A（s，t），B（s+2 ，t）（﹣2＜t
6
π
＜2），若对任意s R，线段AB与函数图象都有五个不同交点，若f（x）在[x ，x ]和
1 2
∈
2
[x ，x ]上单调递增，在[x ，x ]上单调递减，且x −x =x −x = (x −x )，则x 的所
3 4 2 3 4 3 2 1 3 3 2 1
π
有可能值是 − +kπ，k∈Z
6
【解答】解：由于|AB|＝2 且线段AB与函数图象都有五个不同交点，
2π π
则2T＝2× =2 ，即 ＝1，
2ω
π ω
π
则f（x）＝2sin（2x+ ），
6
T π
由题意得x ﹣x = = ，
3 2 2 2
2 2 π π
则x −x =x −x = (x −x )= × = ，
4 3 2 1 3 3 2 3 2 3
π
即x ＝x − ，
1 2 3∵若f（x）在[x ，x ]和[x ，x ]上单调递增，在[x ，x ]上单调递减，
1 2 3 4 2 3
π
∴f（x）在x 处取得最大值，即f（x ）＝2sin（2x + ）＝2，
2 2 2 6
π π π
即sin（2x + ）＝1，则2x + =2k + ，
2 6 2 6 2
π
π
得x ＝k + ，
2 6
π
π π π π
则x ＝x − =k + − =k − ，k Z，
1 2 3 6 3 6
π π ∈
π
故答案为：x ＝k − ，k Z．
1 6
π ∈
课后作业 . 三角函数的图像与性质
1．函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，﹣ ＜ ＜0）的部分图象如图所示，为
了得到g（x）＝Asin x的ω图φ象，只需将函ω数y＝f（xπ）的φ图象（ ）
ω
π
A．向左平移 个单位长度
3
π
B．向左平移 个单位长度
12
π
C．向右平移 个单位长度
3
π
D．向右平移 个单位长度
12
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0，﹣ ＜ ＜0）的部分图
ω φ ω π φ象，可得A＝2，
1 2π π π
⋅ = + ，∴ ＝2．
2 ω 3 6
ω
π π π π
再根据五点法作图可得2× + = ，求得 =− ，∴f（x）＝2sin（2x− ）．
3 2 6 6
φ φ
为了得到g（x）＝Asin x＝2sin2x的图象，
ω π π
只需将函数y＝f（x）＝2sin（2x− ）的图象向左平移 个单位长度，
6 12
故选：B．
π
2．关于函数y＝2sin（3x+ ）+1，下列叙述正确的是（ ）
4
π
A．其图象关于直线x=− 对称
4
π
B．其图象关于点（ ，1）对称
12
C．其值域是[﹣1，3]
π 1
D．其图象可由y＝2sin（x+ ）+1图象上所有点的横坐标变为原来的 得到
4 3
π π π
【解答】解：因为sin[3×(− )+ ]＝﹣1，y取得最小值，故x=− 是对称轴，故A
4 4 4
正确；
π π π
因为sin(3× + )=1≠0，故( ，1)不是对称中心，故B错误；
12 4 12
π π
因为sin（3x+ ） [﹣1，1]，故2sin（3x+ ）+1 [﹣1，3]，故C正确；
4 4
∈ ∈
π π
由y＝2sin（x+ ）+1到y＝2sin（3x+ ）+1系数中，只有x的系数变成了原来的3倍，
4 4
1
故所有点的横坐标变成原来的 ，故D正确．
3
故选：ACD．
1 √3 π
3．已知函数f（x）＝（ a−√3）sinx+（ a+1）cosx，将f（x）的图象向右平移 个单
2 2 3
π
位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x R，都有g（x）≤g（ ），则a的值为 2
4
∈
．1 √3 π π
【解答】解：f（x）＝（ a−√3）sinx+（ a+1）cosx＝asin（x+ ）﹣2sin（x−
2 2 3 6
π π
），将f（x）的图象向右平移 个单位长度得到函数g（x）＝asinx﹣2sin（x− ）＝
3 2
asinx+2cosx，
π √2
因为对任意x R，都有g（x）≤g（ ），所以√a2+4= a+√2，解得a＝2；
4 2
∈
故答案为：2．
4．已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞1，0≤ ≤ ）是R上的偶函数，其图象关于点M
ω φ ω φ π
3π π
（ ，0）对称，且在区间[0， ]上是单调函数，则 和 的值分别为（ ）
4 2
ω φ
2 π π π 10 π
A． ， B．2， C．2， D． ，
3 4 3 2 3 2
π
【解答】解：由f（x）是偶函数， ＝k + ，
2
φ π
π
∵0≤ ≤ ，∴当k＝0时， = ，
2
φ π φ
π
∴f（x）＝sin（ x+ ）＝cos x，
2
ω ω
3π
∵f（x）图象上的点关于M（ ，0）对称，
4
3π 3π 3π π
∴f（ ）＝cos ＝0，故 ＝k + ，k Z，
4 4 4 2
ω ω π ∈
2
即 = （2k+1），
3
ω
π π 1 2π π
∵f（x）在区间[0， ]上是单调函数，可得 ≤ ⋅ = ，即 ≤2
2 2 2 ω ω
ω
2
又∵ = （2k+1）， ＞1
3
ω ω
∴当k＝1时可得 ＝2．
故选：C． ω
π π
5．已知函数f（x）＝sin（ x+ ），其中 ＞0，| |≤ ，− 为f（x）的零点：且f（x）
2 4
ω φ ω φ
π π π
≤|f（ ）|恒成立，f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，则 的最大值
4 12 24
ω是（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
π
【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，| |≤ ），
2
ω φ ω φ
π π
x= 为y＝f（x）图象的对称轴，x=− 为f（x）的零点，
4 4
2n−1 2π π
∴ • = ，n N*，∴ ＝2n+1，n N*，
4 ω 2
∈ ω ∈
π π
f（x）在区间（− ， ）上有最小值无最大值，
12 24
π π π 2π π
∴周期T≥（ + ）= ，即 ≥ ，∴ ≤16．
24 12 8 ω 8
ω
∴要求 的最大值，结合选项，先检验 ＝15，
ω π ω π π
当 ＝15时，由题意可得− ×15+ ＝k ， =− ，函数为y＝f（x）＝sin（15x−
4 4 4
ω φ π φ
），
π π π 3π 3π
在区间（− ， ）上，15x− （− ， ），
12 24 4 2 8
∈
π π
此时f（x）在15x− =− 时取得最小值，∴ ＝15满足题意．
4 2
ω
则 的最大值为15，
故选ω：C．
π π √3
6．已知函数f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x+ ）（ ＞0），若函数g（x）＝f（x）+
6 3 2
ω ω ω
π
在[0， ]上有且只有三个零点，则 的取值范围为（ ）
2
ω
11 11 7 10 7 10
A．[2， ） B．（2， ） C．[ ， ） D．（ ， ）
3 3 3 3 3 3
π π π π π
【解答】解：f（x）＝2sin（ x− ）sin（ x+ ）＝2sin（ x− + ）sin（ x+ ）
6 3 2 3 3
ω ω ω ω
π π 2π
＝﹣2cos（ x+ ）sin（ x+ ）＝﹣sin（2 x+ ），
3 3 3
ω ω ω
√3 √3
由g（x）＝f（x）+ =0得f（x）=− ，
2 22π √3
即﹣sin（2 x+ ）=− ，
3 2
ω
2π √3
得sin（2 x+ ）= ，
3 2
ω
π
∵0≤x≤ ，
2
2π 2π 2π
∴0≤2 x≤ ，则 ≤2 x+ ≤ + ，
3 3 3
ω πω ω πω
2π √3
∵sin = ，
3 2
2π √3 π
∴要使sin（2 x+ ）= ，在0≤x≤ 上有三个根，
3 2 2
ω
2π 2π π
∴ +2 ≤ + ＜ +4 ，
3 3 3
π ωπ π
11π 11
得2 ≤ ＜ ，即2≤ ＜ ，
3 3
π ωπ ω
11
即 的取值范围是[2， ），
3
ω
故选：A．
