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专题七 《三角函数》讲义
7.2 三角恒等变换
知识梳理 . 三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C ：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(α－β)
C ：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．
(α＋β)
S ：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．
(α＋β)
S ：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(α－β)
T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
T ：tan(α－β)＝.
(α－β)
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S ：sin 2α＝2sinαcosα．
2α
C ：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
2α
T ：tan 2α＝.
2α
3．辅助角公式
asinwx+bcoswx=√a2+b2sin(wx+φ)
b π
其中tanφ= , φ∈(0, )
a 2
题型一 . 两角和与差公式
π 1 π 5π π −2√6−1
1．已知sin（ + ）= ， （ ， ），则cos（ + ）＝ ．
6 3 3 6 3 6
α α∈ α
π 5π π π
【解答】解：∵ （ ， ），∴α+ ∈（ ，π），
3 6 6 2
α∈
π 1 π 2√2
由sin（ + ）= ，得cos（ + ）=− ，
6 3 6 3
α α
π π π π π π π
∴cos（ + ）＝cos[（ + ）+ ]＝cos（ + ）⋅cos −sin（ + ）•sin
3 6 6 6 6 6 6
α α α α2√2 √3 1 1 −2√6−1
=− × − × = ．
3 2 3 2 6
−2√6−1
故答案为： ．
6
π 3π 12 3
2．已知 ＜＜ ＜ ，若cos（ ﹣ ）= ，sin（ + ）=− ，则sin2 ＝（ ）
2 4 13 5
β α α β α β β
1 1 56 16
A． B．− C． D．−
3 3 65 65
π 3π π 3π
【解答】解：∵已知 ＜＜ ＜ ，∴ ﹣ （0， ）， + （ ， ），
2 4 4 2
β α α β∈ α β∈ π
12 3
若cos（ ﹣ ）= ，sin（ + ）=− ，
13 5
α β α β
5 4
∴sin（ ﹣ ）=√1−cos2 (α−β)= ，cos（ + ）=−√1−sin2 (α+β)=− ，
13 5
α β α β
则sin2 ＝sin[（ + ）﹣（ ﹣ ）]＝sin（ + ）cos（ ﹣ ）﹣cos（ + ）sin（ ﹣ ）
β α β α β α β α β α β α β
3 12 4 5 16
=− • −（− ）• =− ，
5 13 5 13 65
故选：D．
√5 3√10
3．（1）设 ， 为锐角，且sinα= ，cosβ= ，求 + 的值；
5 10
α β α β
（2）化简求值：sin50°(1+√3tan10°)．
√5 2√5
【解答】解：（1）∵ 为锐角，sinα= ，∴cosα= ；∵ 为锐角，
5 5
α β
3√10 √10
cosβ= ，∴sinβ= ，
10 10
2√5 3√10 √5 √10 √2
∴cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin = × − × = ，∵ + （0，
5 10 5 10 2
α β α β α β α β∈
π
），∴ + = ．
4
π α β
sin50°⋅(cos10°+√3sin10°)
（ 2 ） sin50°(1+√3tan10°)= =sin50°•
cos10°
2cos(60°−10°) sin100°
= =1．
cos10° cos10°
π
4．（2020•新课标Ⅲ）已知2tan ﹣tan（ + ）＝7，则tan ＝（ ）
4
θ θ θA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
π tanθ+1
【解答】解：由2tan ﹣tan（ + ）＝7，得2tan − =7，
4 1−tanθ
θ θ θ
即2tan ﹣2tan2 ﹣tan ﹣1＝7﹣7tan ，
得2tanθ 2 ﹣8tanθ+8＝0θ， θ
即tan2 θ﹣4tan θ+4＝0，
即（tanθ ﹣2）θ 2＝0，
则tan ＝θ2，
故选：θD．
3π
cos(α− )
π 10
5．（2015•重庆）若tan ＝2tan ，则 =（ ）
5 π
sin(α− )
α 5
A．1 B．2 C．3 D．4
π
【 解 答 】 解 ： tan ＝ 2tan ， 则
5
α
3π 3π 3π 3π 3π
cos(α− ) cosαcos +sinαsin cos +tanαsin
10 10 10 10 10
= =
π π π π π
sin(α− ) sinαcos −cosαsin tanαcos −sin
5 5 5 5 5
π
sin
3π 5 3π
cos +2 sin
3π π 3π 10 π 10 π 3π π 3π π 3π π 3π π π 3π π 1 π 3π π 3π π 1 π π π π
cos +2tan sin cos cos cos +2sin sin cos( − )+sin sin cos +sin sin cos − [cos( + )−cos( − )] cos + cos 3cos 3cos 3cos
10 5 10 5 5 10 5 10 5 10 5 10 10 5 10 10 2 5 10 5 10 10 2 10 10 10 10
= = = = = = = = = = =
π π π π π π π π π π π π π π 1 2π 1 2π 2π π π π
2tan cos −sin sin 2sin cos −cos sin sin cos +sin( − ) sin cos sin sin sin sin( − ) cos
5 5 5 5 π π 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 2 5 5 2 10 10
2 cos −sin
π 5 5
cos
5
3．
故选：C．
π π 1+sinβ
6．（2014•新课标Ⅰ）设 （0， ）， （0， ），且tan = ，则（ ）
2 2 cosβ
α∈ β∈ α
π π π π
A．3 ﹣ = B．3 + = C．2 ﹣ = D．2 + =
2 2 2 2
α β α β α β α β1+sinβ
【解答】解：由tan = ，得：
cosβ
α
sinα 1+sinβ
= ，
cosα cosβ
即sin cos ＝cos sin +cos ，
α β α β απ
sin（ ﹣ ）＝cos ＝sin（ −α），
2
α β α
π π
∵ （0， ）， （0， ），
2 2
α∈ β∈
π π
∴当2α−β= 时，sin（ ﹣ ）＝sin（ −α）＝cos 成立．
2 2
α β α
故选：C．
题型二 . 二倍角和半角公式
4
1．（2017·全国3）已知sin ﹣cos = ，则sin2 ＝（ ）
3
α α α
7 2 2 7
A．− B．− C． D．
9 9 9 9
4
【解答】解：∵sin ﹣cos = ，
3
α α
16
∴（sin ﹣cos ）2＝1﹣2sin cos ＝1﹣sin2 = ，
9
α α α α α
7
∴sin2 =− ，
9
α
故选：A．
π 1 2π
2．若sin( −α)= ，则cos( +2α)的值（ ）
6 3 3
7 7 4√2 4√2
A．− B． C．− D．
9 9 9 9
π 1
【解答】解：∵sin( −α)= ，
6 3
π π π π 1
∴cos（ + ）＝sin[ −（ + ）]=sin( −α)= ．
3 2 3 6 3
α α
2π π π 7
∴cos( +2α)=cos2（ + ）＝2cos2 (α+ )−1=− ，
3 3 3 9
α
故选：A．π 4 π
3．设 为锐角，若cos（ + ）= ，则sin（2 + ）的值为（ ）
6 5 12
α α α
17√2 17√2 31√2 19√2
A． B． C． D．
50 25 51 50
π 4 π 3
【解答】解：∵ 为锐角，cos（ + ）= ，∴sin（ + ）= ，
6 5 6 5
α α α
π π π 24 π π
∴sin（2 + ）＝2sin（ + ）cos（ + ）= ，cos（2 + ）＝2cos2 (α+ )−1
3 6 6 25 3 6
α α α α
7
= ．
25
π π π π π π
故 sin（2 + ）＝sin[（2 + ）− ]＝sin（2 + ）cos −cos（2 + ）sin
12 3 4 3 4 3
α α α α
π 24 √2 7 √2 17√2
= ⋅ − ⋅ = ，
4 25 2 25 2 50
故选：A．
1 1
4．已知tan（ ﹣ ）= ，tanβ=− ，且 ， （0， ），则2 ﹣ ＝（ ）
2 7
α β α β∈ π α β
π π 5π
A． B． ，
4 4 4
3π π 5π 3π
C．− D． ， ，−
4 4 4 4
tanα−tanβ 1 1
【解答】∵tan（ ﹣ ）= = 且tan =−
1+tanαtanβ 2 7
α β β
1
即tan =
3
α
π 3π
∵ ， （0， ）且tan =1，tan =−1
4 4
α β∈ π
π 3π
∴ （0， ）， （ ， ）
4 4
α∈ β∈ π
π
即2 ﹣ （﹣ ，− ）
4
α β∈ π
tanα+tan(α−β)
∴tan（2 ﹣ ）= =1
1−tanαtan(α−β)
α β
3π
即2 ﹣ =−
4
α β
故选：C．tanα 2
=− π √2
5．已知 π 3，则sin（2α+ ）的值是 ．
tan(α+ ) 4 10
4
tanα 2
=−
【解答】解：已知 π 3，整理得3tan2 ﹣5tan ﹣2＝0，
tan(α+ )
4
α α
1
解得tanα=2或− ，
3
（1）当tan ＝2时，
α
则 2tanα 4， 1−tan2α 3，
sin2α= = cos2α= =−
1+tan2α 5 1+tan2α 5
π √2 √2 4 √2 3 √2 √2
故sin(2α+ )= sin2α+ cos2α= × − × = ．
4 2 2 5 2 5 2 10
1
（2）当tanα=− 时，
3
则 2tanα 3， 1−tan2α 4，
sin2α= =− cos2α= =
1+tan2α 5 1+tan2α 5
π √2 √2 3 √2 4 √2 √2
sin(2α+ )= sin2α+ cos2α=− × + × = ．
4 2 2 5 2 5 2 10
√2
故答案为： ．
10
α
1−tan
π 2
6．已知 （− ，0），2sin2 +1＝cos2 ，则 =（ ）
2 α
1+tan
α∈ α α 2
A．2±√5 B．3+√5 C．2+√5 D．2+√6
π α π
【解答】解：因为 （− ，0）， ∈（− ，0），
2 2 4
α∈
α
所以tan ＜0，sin ＜0，
2
α
因为2sin2 +1＝cos2 ，
所以4sin αcos +1＝1α﹣2sin2 ，
即tan ＝α﹣2，α α
αα
2tan
2
又tan = =−2，
α
1−tan2
α 2
α 1−√5 α 1+√5
解得tan = ，tan = （舍），
2 2 2 2
α 1−√5
1−tan 1−
2 2 1+√5
则 = = =2+√5．
α 1−√5 3−√5
1+tan 1+
2 2
故选：C．
题型三 . 辅助角公式
π π √6−√2
1．设 是第一象限角，满足 sin（ − ）﹣cos（ + ）= ，则tan ＝（
4 4 2
α α α α
）
√3
A．1 B．2 C．√3 D．
3
π π √2 √2 √2 √2
【解答】解：sin(α− )−cos(α+ )= sinα− cosα− cosα+ sinα，
4 4 2 2 2 2
√6−√2
=√2(sinα−cosα)= ，
2
√3−1
∴sin −cosα= ，
2
α
{ √3−1
联立
sinα−cosα=
，
2
sin2α+cos2α=1
∵设 是第一象限角，
α √3 1
∴sin ＞0，cos ＞0，即sinα= ，cosα= ，
2 2
α α
√3
sinα 2
∴tanα= = =√3．
cosα 1
2
故选：C．
π π 2 π
2．若√3sin（x+ ）+cos（x+ ）= ，且− ＜x＜0，求sinx﹣cosx．
12 12 3 2π π 2
【解答】解：∵√3sin（x+ ）+cos（x+ ）= ，
12 12 3
√3 π 1 π 1
∴ sin（x+ ）+ cos（x+ ）= ，
2 12 2 12 3
π π 1 π 1
∴sin（x+ + ）= ，即sin（x+ ）= ，
12 6 3 4 3
π π π π
∵− ＜x＜0，∴− ＜x+ ＜ ，
2 4 4 4
π √ 1 2√2
∴cos（x+ ）= 1−( ) 2= ，
4 3 3
√2 √2
∴sinx﹣cosx=−√2（ cosx− sinx）
2 2
π 2√2 4
=−√2cos（x+ ）=−√2× =−
4 3 3
π
3．已知f（x）＝sin2x+sinxcosx，x [0， ]
2
∈
（1）求f（x）的值域；
5
（2）若f（ ）= ，求sin2 的值．
6
α α
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+sinxcosx
1−cos2x sin2x
= +
2 2
√2 π 1
= sin（2x− ）+
2 4 2
√2 π 1
∴f（x）= sin（2x− ）+ ．
2 4 2
π
∵x [0， ]，
2
∈
π π 3π
∴2x− [− ， ]，
4 4 4
∈
π π π π
当2x− =− ，即 x＝0时，f（x）有最小值 0．当 2x− = 时，f（x）有最大值
4 4 4 2
√2+1
．
2
√2+1
f（x）值域：[0， ]．
2√2 π 1 5
（2）f（ ）= sin（2 − ）+ = ，得
2 4 2 6
α α
π √2
sin（2 − ）= ，
4 3
α
π
∵ [0， ]，
2
α∈
π π 3π
∴2 − [− ， ]，
4 4 4
α ∈
π √2 √2
又∵0＜sin（2 − ）= ＜ ，
4 3 2
α
π π
∴2 − （0， ），
4 4
α ∈
得cos（2 π） √ √2 √7，
− = 1−( ) 2=
4 3 3
α
π π
∴sin2 ＝sin（2 − + ）
4 4
α α
√2 π π
= [sin（2 − ）+cos（2 − ）]
2 4 4
α α
2+√14
= ．
6
2+√14
∴sin2 的值 ．
6
α
题型四 . 三角恒等变换综合
→ → → →
sinα+2cosα
1．已知向量 （1，sin ）， （2，cos ），且 ∥ ，计算： ．
a= b= a b
cosα−3sinα
α α
【解答】解：∵→∥→，∴2sin ﹣cos ＝0，即cos ＝2sin ，
a b
α α α α
sinα+2cosα sinα+4sinα 5sinα
则 = = =−5．
cosα−3sinα 2sinα−3sinα −sinα
π 3
2．若cos（ − ）= ，则sin2 ＝（ ）
4 5
α α
7 1 1 7
A． B． C．− D．−
25 5 5 25
π 3
【解答】解：法1°：∵cos（ − ）= ，
4 5
απ π π 9 7
∴sin2 ＝cos（ −2 ）＝cos2（ − ）＝2cos2（ − ）﹣1＝2× −1=− ，
2 4 4 25 25
α α α α
π √2 3
法2°：∵cos（ − ）= （sin +cos ）= ，
4 2 5
α α α
1 9
∴ （1+sin2 ）= ，
2 25
α
9 7
∴sin2 ＝2× −1=− ，
25 25
α
故选：D．
π π π 3 π 1
3．已知角 （0， ）， （ ， ），若sin（ − ）=− ，cos（ − ）=− ，则
4 2 3 5 3 2
α∈ β∈ π α β
4+3√3
cos（ ﹣ ）＝ − ．
10
α β
π π π π π 3
【解答】解：∵ （0， ），∴ − （− ，− ），∵sin（ − ）=− ，∴cos
4 3 3 12 3 5
α∈ α ∈ α
π 4
（ − ）= ，
3 5
α
π π 2π π π 1 π
∵ （ ， ），∴ − （− ，− ），∵cos（ − ）=− ，∴sin（ − ）
2 3 3 6 3 2 3
β∈ π β∈ β β
√3
=− ，
2
π π π π π
∴cos（ ﹣ ）＝cos[（ − ）+（ − ）]＝cos（ − ）cos（ − ）]﹣sin（ − ）
3 3 3 3 3
α β α β α β α
π
sin（ − ）
3
β
4 1 3 √3 4+3√3
= ×（− ）﹣（− ）×（− ）=− ．
5 2 5 2 10
4+3√3
故答案为：− ．
10
2 π 1 π 3
4．已知tan（ ﹣ ）= ，tan（ + ）= ，则tan（ + ）＝ − ．
5 4 4 4 22
α β α β
2 2
【解答】解：因为tan（ ﹣ ）= ，所以tan（ ﹣ ）=− ，
5 5
α β β α
π 1
又tan（ + ）= ，则
4 4
α2 1
− +
π π 5 4 3
tan（ + ）＝tan[（ ﹣ ）+（ + ）]= =− ．
4 4 2 1 22
1−(− )×
β β α α 5 4
3
故答案为：− ．
22
5. 已知 ，化简： ．
【解答】解： ，
，
故答案为： ．
π π
6．已知函数f(x)=sin(2x− )+cos(2x− )+2cos2x−1．
3 6
（1）求函数f（x）的最小正周期；
π π 3√2
（2）若α∈[ ， ]，且f(α)= ，求cos2 ．
4 2 5
α
π π
【解答】解：（1）函数f(x)=sin(2x− )+cos(2x− )+2cos2x−1
3 6
π π π π
=sin2xcos −cos2xsin +cos2xcos +sin2xsin +cos2x
3 3 6 6
π
＝sin2x+cos2x=√2sin(2x+ )；
4
2π
所以函数f（x）的最小正周期T= =π；
2
3√2 π 3√2
（2）∵f(α)= ，即√2sin(2α+ )= ，
5 4 5
π 3 π π
∴sin(2α+ )= ∵α∈[ ， ]，
4 5 4 23π π 5π
∴ ≤2α+ ≤ ，
4 4 4
π 4
∴cos(2α+ )=− ；
4 5
π π π π π π √2
cos2α=cos[(2α+ )− ]=cos(2α+ )cos +sin(2α+ )sin =− ；
4 4 4 4 4 4 10
√2
故cos2 =− ．
10
α
课后作业 . 三角恒等变换
7
1．已知cosA+sinA=− ，A为第二象限角，则tanA＝（ ）
13
12 5 12 5
A． B． C．− D．−
5 12 5 12
7
【解答】解：∵cosA+sinA=− ，
13
49
∴1+2cosAsinA= ，
169
120
∴2cosAsinA=−
169
289
∴（cosA﹣sinA）2=
169
∵A为第二象限角，
17
∴cosA﹣sinA=−
13
12 5
∴cosA=− ，sinA=
13 13
sinA 5
∴tanA= =−
cosA 12
故选：D．
π β √3 a 1
2．若α，β∈(0， )，cos(a− )= ，sin( −β)=− ，求 + 的值．
2 2 2 2 2
α β
π
【解答】解：∵α，β∈(0， )，
2
α π β π
∴ ∈(0， )， ∈(0， )，
2 4 2 4β π π a π π
∴a− ∈(− ， ) −β∈(− ， )，
2 4 2 2 2 4
β √3 a 1
∵cos(a− )= ，sin( −β)=−
2 2 2 2
β 1 β 1 α √3
∴sin（a− ）=− 或sin（a− ）= ，cos（ −β）= ，
2 2 2 2 2 2
β √3 a 1
①当cos(a− )= ，sin( −β)=−
2 2 2 2
β 1 α √3
sin（a− ）=− ，cos（ −β）= ，时
2 2 2 2
1 √3 √3 1 1 1
cos （ + ）= × − × = ，
2 2 2 2 2 2
α β
1 π
∴ （ + ）=
2 3
α β
β √3 a 1
②当cos(a− )= ，sin( −β)=−
2 2 2 2
β 1 α √3
sin（a− ）= ，cos（ −β）= 时，
2 2 2 2
1 √3 √3 1 1
cos （ + ）= × − ×（− ）＝1，
2 2 2 2 2
α β
1
∴ （ + ）＝0，不符合题意，故舍去．
2
α β
2π
∴ + =
3
α β
2π
即两个角的和是 ．
3
π 1 π
3．已知sin（a− ）= ，则cos（ +2a）的值等于（ ）
3 3 3
4√2 4√2 7 7
A． B．− C．− D．
9 9 9 9
π
【解答】解：因为cos（ +2a）
3
π
＝﹣cos [π−( +2a)]
3
2π
＝﹣cos( −2a)
32π
＝﹣cos(2a− )
3
π
＝2sin2(a− )−1
3
1 2
＝2×( ) −1
3
7
=− ．
9
故选：C．
1 5 π π π
4．已知tan + = ， （ ， ），则sin（2 − ）的值为（ ）
tanα 2 4 2 4
α α∈ α
7√2 √2 √2 7√2
A．− B． C．− D．
10 10 10 10
1 5
【解答】解：∵tan + = ，
tanα 2
α
sinα cosα 5
∴ + = ，
cosα sinα 2
1 5
∴ = ，
sin2α 4
4
∴sin2 = ，
5
α
π π π
∵ （ ， ），2 （ ， ）
4 2 2
α∈ α∈ π
3
∴cos2 =− ，
5
α
π π π 4 √2 3 √2 7√2
∴sin（2 − ）＝sin2 cos −cos2 sin = × + × = ．
4 4 4 5 2 5 2 10
α α α
故选：D．
cos(π−2α)
1 π √14
5．已知sin = +cos ，且 （0， ），则 π 的值为 ．
2 2 sin(α− ) 2
4
α α α∈
1 1
【解答】解：∵sin = +cos ，即sin ﹣cos = ，
2 2
α α α α
1 3
∴（sin ﹣cos ）2＝1﹣2sin cos = ，即2sin cos = ＞0，
4 4
α α α α α α
π
∵ （0， ），∴sin ＞0，cos ＞0，
2
α∈ α α7 √7
∴（sin +cos ）2＝1+2sin cos = ，即sin +cos = ，
4 2
α α α α α α
−cos2α √2(cosα+sinα)(cosα−sinα)
= =− =√2 √14
原式 √2 sinα−cosα （cos +sin ）=
(sinα−cosα) 2
2
α α
，
√14
故答案为： ．
2
π 7π π
6．已知cos（ + ）＝3sin（ + ），则tan（ + ）＝（ ）
2 6 12
α α α
A．4﹣2√3 B．2√3−4 C．4﹣4√3 D．4√3−4
π 7π
【解答】解：cos（ + ）＝3sin（ + ），
2 6
α α
π
∴﹣sin ＝﹣3sin（ + ），
6
α α
π π π 3√3 3
∴sin ＝3sin（ + ）＝3sin cos +3cos sin = sin + cos ，
6 6 6 2 2
α α α α α α
3
∴tan = ；
2−3√3
α
π π
tan −tan
π π π 3 4 √3−1
又tan =tan（ − ）= = =2−√3，
12 3 4 π π 1+√3
1+tan tan
3 4
π 3
tan +tanα (2−√3)+
π 12 2−3√3
∴tan（ + ）= = =2√3−4．
12 π 3
1−tan tanα 1−(2−√3)×
α 12 2−3√3
故选：B．
