专题 07 不等式
易错点1 忽视不等式隐含条件致误
设 ，若1≤ ≤2,2≤ ≤4，则 的取值范围是________．
【错解】由 得 ，①＋②得： ， ②−①得： .
由此得4≤ =4a−2b≤11，所以 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 =m ＋n (m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 ，解得 .∴ =3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法二：由 ，得 ，∴ =4a−2b=3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法三：由题意，得 ，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当 =4a−2b过点 时，取得最小值 ；
当 =4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤ ≤10.
【答案】
（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运
算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
1．已知 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 =λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得 ，从而解出λ=﹣1，v=2．
由 得 ，两式相加，得1≤ ≤7．故 的取值范围是[1，7]．故选A.
【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的
问题，可以用待定系数法来解决．
易错点2 忽略不等式性质成立的条件
给出下列命题：
①若 ,则 ； ②若 ，则 ；
③若 且 ,则 ； ④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
【错解】① ,又 ,则 ，故①正确；②当 时， ,故②不正确；
③正确；④由 知 ,∴ ，故 ,故④不正
确.故填①③.
【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.
【试题解析】①当ab<0时， 不成立，故①不正确；
②当c<0时，a>b不成立,故②不正确；
③当a=1,b=−2,k=2时，命题不成立，故③不正确；
④由a>b>0 −a<−b<0 0<c−a<c−b,两边同乘以 ,得 ,又 ,
∴ ,故④正确.故填④.
【答案】④不等式的性质的几点注意事项
(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，
b<c a<c.
(2)在⇒乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b ac2>bc2；若无c≠0这个条件，
a>b ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． ⇒
(3)“⇒a>b>0 an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然
数”这个条⇒件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a
＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．
2．下列不等式中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】若 ，则 ,故B错；
设 ,则 ， ，所以C、D错.
故选A.
【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.
错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．
【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m
的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
3．已知命题“ ”为真命题,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得不等式 对 恒成立．
①当 时，不等式 在 上恒成立，符合题意．
②当 时，若不等式 对 恒成立，则 ，解得 ．
综上可得 ，所以实数 的取值范围是 ．
【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当
时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当 时， ．
解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，
恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用
分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就
是参数.
易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式 ．
【错解】原不等式可化为 ，即 ，
等价于 ，即 ，
因为 ，所以
当 ，即 或 时， ；
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ．
综上，当 或 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ．
【错因分析】显然当a＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同
解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．
【试题解析】显然当 时，原不等式是不成立的．
当a≠0时原不等式可化为 ，即 ，
等价于 (*)，
当 时，(*)式可转化为 ，即 ，即 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
又当 时， ，
所以当 或 时， ；
当 时， ．综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的
过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．
4．已知 ，其中 .
（1）解关于 的不等式；
（2）若 时，不等式恒成立，求实数 的范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1） ， .
当 时，不等式为 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
综上得：当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为 .
（2） 时,不等式恒成立即为 恒成立,
∴ ，
∴ ，
∴ .
【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和分析推理转化能力.
（2）解答第2问的关键是转化，先转化为 恒成立，再转化为 恒成立，即得m的
取值范围.
解含有参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形
式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误
设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x−2y的最小值为
A．−5 B．−4
C．−2 D．3
【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x−2y平移到过点(1,0)时取得最小值，
即z =3×1−2×0=3.故选D.
min【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确
理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导
致目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过
点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.
形如z=Ax＋By(B≠0)，即 ， 为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截
距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
5．若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由实数 ， 满足约束条件 作出可行域，如图.
， ，联立 解得 ，
的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为 .
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据
的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果
易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误
若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则 的最小值为_______________．
【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥ ，即8xy≤1，即xy≤ ，故 ≥8．
因为 ≥ ，所以 ≥ ．故 的最小值为 ．
【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥ ， ≥ ，但这两次取“＝”
需满足x＝2y与x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【试题解析】因为x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以 ＝ ，当且仅
当 ，即 ，即 时取等号．故 的最小值为 ．
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基
本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
6．若正数 满足 ，则 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，化简可得 ，左右两边同时除以xy得 .求 的最大
值，可先求 的最小值.
因 为 ， 当 且 仅 当
时取等号.所以 的最大值为 .
故选A.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多
个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是
实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答
案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的
形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上
方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的
最值或用分离参数法求最值．即
①若 在定义域内存在最大值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
②若 在定义域内存在最小值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
③若 在其定义域内不存在最值，只需找到 在定义域内的最大上界(或最小下界) ，即
在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 ，只是等号均
可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，
谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法
若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或<0，或 0，或 0)称为分式不等式．解分式不
等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
;
;
;.
对于形如 a(或<a)的分式不等式，其中a 0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的
符号法则，把它转化为整式不等式求解.
6．简单高次不等式的解法
不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：
（1）将高次不等式 中的多项式 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符
号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．
（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不
可约因式的乘积；
②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；
③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过
偶不过)；
④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．
三、简单的线性规划问题
1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：
第一步，“直线定界”，即画出边界 ，要注意是虚线还是实线；
第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点 作为测试点，由 的符号就可以断定
表示的是直线 哪一侧的平面区域；
第三步，用阴影表示出平面区域.
2．复杂不等式(组)表示的平面区域
高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面
区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的
不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区
域.
3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.
（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.
（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的
面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.
4．简单线性规划问题的解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：
（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为 )；
（2）移：平行移动直线 ，确定使 取得最大值或最小值的点；
（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；
（4）答：给出正确答案．
5．解答线性规划实际应用题的步骤
（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例
题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
6．求线性目标函数最值的两种方法
（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个
封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.
（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处
目标函数 的值，经比较后得出z的最大(小)值.
求解时需要注意以下几点：
（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标
函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.
（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线
与某一边界线平行时，会有多个最优解.
（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.
四、基本不等式
1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中
分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.
（2）并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基
本不等式得出最值.
（3）配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式
与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．
②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求
最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.
2．有关函数最值的实际问题的解题技巧
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
1．[2018北京文]设集合 则
A．对任意实数a， B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1） D．当且仅当 时,（2,1）
2．已知集合 ，则
A．[−2，−1] B．[−1，2)
C．[−1，1] D．[1，2)
3．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是A． B．
C． D．
4．对于任意实数 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
5．已知 lg a＋lg b＝0，则 lg(a＋b)的最小值为
A．lg 2 B．2
C．－lg 2 D．2
6．[2018天津文]设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A．6 B．19
C．21 D．45
7．已知 ,若 ,则当 取得最小值时,
A．2 B．4
C．6 D．8
8．设实数 满足 ,则 的最小值为
A．4 B．
C． D．0
9．若存在实数 使不等式组 与不等式 都成立,则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．10．已知 满足 ， 的最大值为 ，若正数 满足 ，则 的最小
值为
A． B．
C． D．
11．已知关于x的不等式x2−4ax＋6a2<0(a>0)的解集为(x,x),则x＋x＋ 的最小值是
1 2 1 2
A． B．
C． D．
12．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是______．
13．能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
.
14．已知 是任意实数,则关于 的不等式 的解集
为 .
15．[2018天津文]已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
16．已知 ,若 ,则 的最小值为 .
17．已知实数x,y满足不等式组 则z=x2+y2-10y+25的最大值为
.
18．设实数x,y满足 则u= 的取值范围是 .19．[2018江苏卷]在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交
于点D，且 ，则 的最小值为________．
20．[2018北京文]若𝑥,y满足 ，则2y− 的最小值是_________.
𝑥
21．[2018新课标I文]若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
22．[2018新课标II文]若 满足约束条件 则 的最大值为__________．
23．[2018新课标Ⅲ文]若变量 满足约束条件 则 的最大值是________．
24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研
制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品 每件B产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30
产品重量(千克) 10 5
预计收益(万元) 80 60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种
产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?________________________________________________________________________________________
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