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专题 07 不等式
易错点1 忽视不等式隐含条件致误
设 ，若1≤ ≤2,2≤ ≤4，则 的取值范围是________．
【错解】由 得 ，①＋②得： ， ②−①得： .
由此得4≤ =4a−2b≤11，所以 的取值范围是[4,11]．
【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了 的范围扩大．
【试题解析】解法一：设 =m ＋n (m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即
4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得 ，解得 .∴ =3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法二：由 ，得 ，∴ =4a−2b=3 ＋ ．
又∵1≤ ≤2,2≤ ≤4，∴5≤3 ＋ ≤10，即5≤ ≤10.
解法三：由题意，得 ，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当 =4a−2b过点 时，取得最小值 ；
当 =4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤ ≤10.
【答案】
（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运
算求得整体范围；
（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．
1．已知 ， 满足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 =λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比较α、β的系数，得 ，从而解出λ=﹣1，v=2．
由 得 ，两式相加，得1≤ ≤7．故 的取值范围是[1，7]．故选A.
【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的
问题，可以用待定系数法来解决．
易错点2 忽略不等式性质成立的条件
给出下列命题：
①若 ,则 ； ②若 ，则 ；
③若 且 ,则 ； ④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 .
【错解】① ,又 ,则 ，故①正确；②当 时， ,故②不正确；
③正确；④由 知 ,∴ ，故 ,故④不正
确.故填①③.
【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.
【试题解析】①当ab<0时， 不成立，故①不正确；
②当c<0时，a>b不成立,故②不正确；
③当a=1,b=−2,k=2时，命题不成立，故③不正确；
④由a>b>0 −a<−b<0 0b ac2>bc2；若无c≠0这个条件，
a>b ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． ⇒
(3)“⇒a>b>0 an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然
数”这个条⇒件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a
＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．
2．下列不等式中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】若 ，则 ,故B错；
设 ,则 ， ，所以C、D错.
故选A.
【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.
错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误
已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．
【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．
【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m
的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．
【试题解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，
当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]
解一元二次不等式的一般步骤
一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
二判：计算对应方程的判别式．
三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
3．已知命题“ ”为真命题,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得不等式 对 恒成立．
①当 时，不等式 在 上恒成立，符合题意．
②当 时，若不等式 对 恒成立，则 ，解得 ．
综上可得 ，所以实数 的取值范围是 ．
【名师点睛】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当
时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， 或当 时， ．
解不等式恒成立问题的技巧
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，
恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用
分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就
是参数.
易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误
解不等式 ．
【错解】原不等式可化为 ，即 ，
等价于 ，即 ，
因为 ，所以
当 ，即 或 时， ；
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ．
综上，当 或 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ．
【错因分析】显然当a＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同
解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．
【试题解析】显然当 时，原不等式是不成立的．
当a≠0时原不等式可化为 ，即 ，
等价于 (*)，
当 时，(*)式可转化为 ，即 ，即 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
当 时，(*)式可转化为 ．
又当 时， ，
所以当 或 时， ；
当 时， ．综上，当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的
过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．
4．已知 ，其中 .
（1）解关于 的不等式；
（2）若 时，不等式恒成立，求实数 的范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1） ， .
当 时，不等式为 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
综上得：当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为 .
（2） 时,不等式恒成立即为 恒成立,
∴ ，
∴ ，
∴ .
【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识
的掌握水平和分析推理转化能力.
（2）解答第2问的关键是转化，先转化为 恒成立，再转化为 恒成立，即得m的
取值范围.
解含有参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形
式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误
设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=3x−2y的最小值为
A．−5 B．−4
C．−2 D．3
【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x−2y平移到过点(1,0)时取得最小值，
即z =3×1−2×0=3.故选D.
min【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确
理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导
致目标函数的最小值求解错误．
【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过
点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.
形如z=Ax＋By(B≠0)，即 ， 为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截
距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．
5．若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由实数 ， 满足约束条件 作出可行域，如图.
， ，联立 解得 ，
的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为 .
故选D.
【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据
的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果
易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误
若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则 的最小值为_______________．
【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥ ，即8xy≤1，即xy≤ ，故 ≥8．
因为 ≥ ，所以 ≥ ．故 的最小值为 ．
【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥ ， ≥ ，但这两次取“＝”
需满足x＝2y与x＝y，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【试题解析】因为x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以 ＝ ，当且仅
当 ，即 ，即 时取等号．故 的最小值为 ．
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基
本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
6．若正数 满足 ，则 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，化简可得 ，左右两边同时除以xy得 .求 的最大
值，可先求 的最小值.
因 为 ， 当 且 仅 当
时取等号.所以 的最大值为 .
故选A.
【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式
1．比较大小的常用方法
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多
个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．
注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.
（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若a>b,b>c,则a>c，其中b是a与c的中介值.
②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.
2．不等式的性质及应用
（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是
实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.
（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答
案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3．求代数式的取值范围的一般思路
（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
（3）结合不等式的传递性进行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步骤
（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
（2）二判：计算对应方程的判别式．
（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含有参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的
形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
3．解不等式恒成立问题的技巧
（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上
方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的
最值或用分离参数法求最值．即
①若 在定义域内存在最大值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
②若 在定义域内存在最小值 ，则 (或 )恒成立 (或 );
③若 在其定义域内不存在最值，只需找到 在定义域内的最大上界(或最小下界) ，即
在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的 ，只是等号均
可以取到.
（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，
谁就是参数.
4．已知不等式的解集求参数的解题方法
已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:
（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;
（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.
5．简单分式不等式的解法
若 与 是关于 的多项式，则不等式 (或<0，或 0，或 0)称为分式不等式．解分式不
等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即
;
;
;.
对于形如 a(或0)的解集为(x,x),则x＋x＋ 的最小值是
1 2 1 2
A． B．
C． D．
12．若函数 的定义域为R，则实数k的取值范围是______．
13．能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
.
14．已知 是任意实数,则关于 的不等式 的解集
为 .
15．[2018天津文]已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
16．已知 ,若 ,则 的最小值为 .
17．已知实数x,y满足不等式组 则z=x2+y2-10y+25的最大值为
.
18．设实数x,y满足 则u= 的取值范围是 .19．[2018江苏卷]在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交
于点D，且 ，则 的最小值为________．
20．[2018北京文]若𝑥,y满足 ，则2y− 的最小值是_________.
𝑥
21．[2018新课标I文]若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
22．[2018新课标II文]若 满足约束条件 则 的最大值为__________．
23．[2018新课标Ⅲ文]若变量 满足约束条件 则 的最大值是________．
24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研
制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品 每件B产品
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 20 30
产品重量(千克) 10 5
预计收益(万元) 80 60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种
产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?________________________________________________________________________________________
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