文档内容
6.3.3 余角和补角 学案
目标解读
（一）学习目标：
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质。
2.初步接触和体会演绎推理的方法和表述，能用简单的代数思想- -方程思想来处理图形的数量
关系。
3.通过探索互余、互补角的性质，培养积极的情感态度，促进良好的数学观的养成。
（二）学习重难点：
重点:互余、互补角的概念和性质。
难点:互余、互补角的正确判断及用代数方法计算角的度数。
基础梳理
阅读课本，识记知识：
1.余角：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；
2.补角：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；
3.互余的性质：同角或等角的余角相等；
4.互补的性质：同角或等角的补角相等；
5.一个锐角 的余角可表示为（ ）；一个角 的补角可以表示为（ ），显然，一个锐
角的补角比它的余角大90°。
典例探究
【例1】若∠A=48°40',则∠A补角的大小是( )
A.41°20' B.41°60'
C.131°20' D.131°60'
【答案】C
【分析】∠A的补角=180°-48°40'=131°20'.
【例2】 将一副直角三角板的顶点重合放置在一起,如图所示,则∠1与∠2的大小关系是( )
1A.∠1>∠2 B.∠1=∠2
C.∠1<∠2 D.不能确定
【答案】B
【分析】根据同角的余角相等,可得∠1=∠2.
达标测试
一、选择题
1．如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．互余且相等的两个角各是
B．一个角的余角一定小于这个角的补角
C．如果 ，那么 的余角与 的余角的和等于 的余角
D．如果 ，那么 的余角与 的余角的和等于 的补角
3．若 ，则 补角的大小是( )
A． B． C． D．
4．下列说法（1）两个数比较．绝对值大的反而小；（2）0乘以任何数都得0；（3）两数相除，同号得
正，异号得负；（4）等角的补角相等；（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数．其
中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将一副三角板如图放置，若 ，则 （ ）
A．122° B．132° C．142° D．152°
26．如图，将一副三角板顶点 靠在一直尺的边上，若 ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
7．若锐角α的补角是 ，则锐角α的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．已知一个角的度数为 ，则下列角中，与已知角的度数为互补关系的可能是（ ）
A． B．
C． D．
9.若∠1与∠2互为余角,∠1与∠3互为补角,则下列结论:①∠3-∠2=90°;②∠3+∠2=270°-
2∠1;③∠3-∠1=2∠2;④∠3<∠1+∠2.其中正确的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
10. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°,那么这个角的度数是( )
A.50° B.70° C.130° D.160°
二、填空题
11．一个角的补角是它的余角的 倍，则这个角余角的度数是 ．
12．已知 ，则 的补角等于 ．
13．已知 ，若 和 互补， 和 互余，则 ．
14．如图， 、 、 三点在一条直线上，如果 ， ，那么 的值
等于 ．
15．如图，把一个三角板绕点 旋转一定的角度，若 ，则 ，你的理由是 ．
3三、解答题
16．如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)图中∠AOD的补角是 和 ,∠BOD的余角是 和 ;
(2)已知∠COD=40°,求∠COE的度数.
17.如图，已知 ， 分别是 和 的角平分线， ．
求：
(1) 的余角的度数是多少？
(2) 的补角的度数是多少度？
18.如图， 中， ， 是 的角平分线．
4(1)若 ，求 的度数；
(2)若 是 的中点， 的面积为27， ，求 的长．
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
（二）把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．B
【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
【详解】解：根据定义一个角的补角是 ，
则这个角是 ，
这个角的余角是 ．
5故选：B．
【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角
的和为 ；互为补角的两个角的和为 ．
2．C
【分析】根据如果两个角的和为 ，称这两个角互为余角；如果两个角的和为 ，称这两个角
互为补角，以此计算即可．
【详解】A. 互余且相等的两个角各是 ，正确，不符合题意；
B. 设这个为 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，
故 ，正确，不符合题意；
C. 的余角为 ， 的余角为 ， 的余角为 ，
的余角与 的余角的和等于 ，
错误，符合题意；
D. 的余角为 ， 的余角为 ， 的余角为 ，
的余角与 的余角的和等于 ，
正确，不符合题意；
故选Ｃ．
【点睛】本题考查了余角，补角的计算，正确理解定义是解题的关键．
3．D
【分析】两个角的和为 则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 的补角为
故选D．
【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．
4．C
【分析】根据有理数的大小比较法则，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的性质逐一判
断即可．
【详解】解：（1）两个负数比较．绝对值大的反而小，原说法错误；
（2）0乘以任何数都得0，说法正确；
（3）两数相除，同号得正，异号得负，说法正确；
（4）等角的补角相等，说法正确；
（5）如果一个数的绝对值等于这个数本身，那么这个数是正数或0，原说法错误．
6综上，正确的说法有（2）（3）（4），共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数乘法和除法法则，补角的性质和绝对值的的性质等知
识，掌握基本定义和性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据补角的定义即可．
【详解】解：由图知 与 互为补角，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了补角的定义，理解补角的定义并能熟练运用是本题的关键．
6．B
【分析】根据补角的定义及余角的定义可知 ，进而即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角的和差运算，掌握补角的定义是解题的关键．
7．B
【分析】和为 的两个角互为补角，根据定义计算即可．
【详解】解：∵锐角α的补角是 ，
∴锐角α的度数是 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了补角的定义，熟记定义并正确计算是解题的关键．
8．A
【分析】求出角的补角的度数，判断角的形状.
【详解】解：∵这个角的度数为 ，
∴这个角的补角为 ，属于钝角，
故选：A．
【点睛】本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为 是关键.
9.C 根据题意得(1)∠1+∠2=90°,(2)∠1+∠3=180°,
(2)-(1)得,∠3-∠2=90°,所以①正确;
7(1)+(2)得,∠1+∠2+∠1+∠3=270°,所以∠3+∠2=270°-2∠1,所以②正确;
(2)-(1)×2得,∠1+∠3-2(∠1+∠2)=0°,所以∠3-∠1=2∠2,所以③正确;
由③可得∠3=∠1+2∠2,所以∠3>∠1+∠2,所以④错误.故选C.
10.C 设这个角的度数是x°,根据题意,得x=2(180-x)+30,解得x=130,
即这个角的度数为130°.故选C.
11. /30度
【分析】根据补角和余角的定义，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系
列方程求解即可得出结果．
【详解】解：设这个角的度数是 ，
则 ，
解得 ．
这个角的余角 ．
则这个角的余角度数是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键，要掌
握解答此类问题的方法．
12．
【分析】利用补角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的补角等于： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
13． /10度
【分析】根据互余两角之和为 ，互补两角之和为 ，求解即可．
【详解】解：∵ ， 与 互补，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 互余，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键在于掌握互余两角之和为 ，互补两角
之和为 ．
14．45
8【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义，即和为180度的两个角互为补角，熟练掌握平角的
定义，列出一元一次方程是解题的关键．
15． / 度 同角的余角相等
【分析】根据题意可得 ，由此可利用同角的余角相等得到
．
【详解】解：由三角板中角度的特点可知 ，
∴ （同角的余角相等），
∵ ，
∴ ，
故答案为： ，同角的余角相等．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，正确理解题意是解题的关键．
16.【解析】 (1)∠BOD;∠COD;∠COE;∠AOE.
(2)因为OD平分∠BOC,∠COD=40°,
所以∠BOC=2∠COD=80°,
由题意可知,∠AOB是平角,∠AOB=∠AOC+∠BOC,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-80°=100°,
因为OE平分∠AOC,所以∠COE= ∠AOC=50°.
17.(1)
(2)
【分析】（1）由 、 分别是 和 的平分线，利用角平分线定义可得
， ，从而得出 ，算出 再根据余角的定义
解答即可；
（2）由（1）得出 的度数，根据补角的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵ 、 分别是 和 的平分线，
9∴ ， ，
∴ ，
∴ 的余角的度数是： ；
（2）由（1）得到 ，
∴ 的补角的度数是： ．
【点睛】此题考查了余角、补角和角平分线定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
18.(1)
(2)9
【分析】（1）先利用互余计算出 ，再利用角平分线的定义得到 ；
（2）先利用 是 的中点得到 ，再根据三角形面积公式得到 ，然后解关于
的方程即可．
【详解】（1） ，
，
是 的角平分线．
；
（2） 是 的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及线段中点，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义．
10
